Задание 19 ЕГЭ по профильной математике: метод оценки и примера

Этот подход всегда состоит из двух частей. Если пропустить хотя бы одну из них, задача считается решённой лишь наполовину.

Представь, что нужно понять, какое максимальное количество людей поместится в лифт. Сначала мы смотрим на техническую табличку грузоподъёмности и рассчитываем средний вес человека. На основе этих вычислений делаем вывод, что больше восьми человек в лифт не войдёт. Так мы оценили величину сверху.

Но оценка сама по себе не гарантирует, что восемь человек действительно смогут там разместиться. Возможно, лифт настолько узкий, что туда физически поместятся только пять пассажиров.

Вернёмся к лифту: нужно фактически завести восемь человек внутрь и показать, что двери закрылись.

Оценка даёт теоретическую границу, а пример подтверждает, что эта граница достижима на практике.

Чтобы не теряться на экзамене, придерживайся чёткого алгоритма:

1. Внимательно прочитай условие и определи, что именно требуется найти: максимум или минимум.
2. Вырази искомую величину через переменные и составь неравенство, опираясь на свойства чисел.
3. Реши полученное неравенство. Найди граничное число. Поскольку в таких задачах речь чаще всего идёт о целых числах, округли границу, найди ближайшее подходящее целое значение и обязательно проверь его примером.
4. Построй конкретный числовой ряд или приведи ситуацию, которая полностью совпадает с найденной границей.
5. Проведи проверку. Убедись, что твой ряд не нарушает ни одного ограничения из условия задачи.

Посмотрим, как применять алгоритм при решении задач из реальной экзаменационной базы.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810. Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Решение

Шаг 1. Пусть количество чисел, заканчивающихся на семёрку, равно $k$. Тогда количество чётных чисел составит $30−k$.

Шаг 2. Для фиксированного значения $k$ построим минимально возможную сумму всех 30 чисел. Если даже эта минимальная сумма превышает 810, то такое значение $k$ невозможно. Для этого берём самые маленькие из возможных чисел. Самые маленькие числа, оканчивающиеся на 7, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 7 и шагом 10. Наименьшие чётные числа — прогрессию с первым членом 2 и шагом 2.

Шаг 3. Найдём сумму $k$ наименьших чисел с семёркой на конце по формуле суммы арифметической прогрессии. Первый член равен 7, шаг равен 10. Последний член запишется как $10k−3$.

Шаг 4. Сумма составит половину от сложения первого и последнего члена, умноженную на их количество. После алгебраических преобразований получаем: $5k^2 + 2k$.

Шаг 5. Теперь найдём сумму наименьших чётных чисел. Их количество составляет $30−k$. Аналогично подставляем значения в формулу суммы прогрессии и получаем: $(30−k)(31−k)$.

Шаг 6. Сумма всех чисел не может быть меньше суммы двух наших минимальных наборов. Складываем выражения: $5k^2 + 2k + (30−k)(31−k)$.

Шаг 7. Раскрываем скобки и получаем общий вид: $6k^2−59k + 930$.

Шаг 8. По условию задачи сумма равна 810. Значит, наш минимальный набор должен быть меньше или равен 810. Решаем квадратное неравенство: $6k^2−59k + 120 \le 0$.

Шаг 9. Корни соответствующего уравнения примерно равны 2,87 и 6,96. Поскольку речь идёт о количестве чисел, нас интересуют только целые значения. Наименьшее возможное целое значение $k$ равно 3. Оценка завершена.

Шаг 10. Проверяем вариант, где $k = 3$. Три минимальных числа с семёркой: 7, 17, 27. Их сумма равна 51. Остаётся 27 чётных чисел. Запишем 26 самых маленьких из них: от 2 до 52. Их сумма равна 702.

Шаг 11. Вычисляем последнее число, чтобы общая сумма была 810: $810−51−702 = 57$. Число 57 нечётное, а по условию оставшиеся числа должны быть чётными. Вариант с тремя числами не подходит.

Шаг 12. Проверяем следующий вариант, где $k = 4$. Четыре числа с семёркой: 7, 17, 27, 37. Сумма равна 88. Остаётся 26 чётных чисел. Берём 25 наименьших: от 2 до 50. Их сумма равна 650.

Шаг 13. Вычисляем последнее число: $810−88−650 = 72$. Число 72 является чётным и не повторяется в составленном ряду. Пример полностью сходится.

Ответ: 4.

Рассмотрим ещё одно задание.

В результате опроса выяснилось, что примерно 45% опрошенных предпочитают кофе чаю (число 45 получено с помощью округления до ближайшего целого числа). Какое наименьшее число человек могло участвовать в опросе?

Решение

Шаг 1. Обозначим общее число участников за $n$, а любителей кофе за $k$. Истинный процент вычисляется по формуле $\frac{100k}{n}$. Так как число округлили до 45 по правилам математики, реальный процент находится в строгих границах: от 44,5 включительно до 45,5 не включительно. Запишем это: $44{,}5 \le \frac{100k}{n} < 45{,}5$.

Шаг 2. Упростим дроби, разделив неравенство на 100: $\frac{89}{200} \le \frac{k}{n} < \frac{91}{200}$.

Шаг 3. Нужно найти минимальное значение знаменателя $n$. Для этого переберём возможные значения числителя $k$.

Шаг 4. Если $k = 1$, то выражение превращается в $\frac{89}{200} \le \frac{1}{n}$. Отсюда $n$ должно быть около 2,25, но тогда правая часть неравенства (число должно быть меньше $\frac{91}{200}$) не выполняется.

Шаг 5. Продолжаем подбор, проверяя значения числителя 2, 3 и 4. Ни одно из них не даёт целого значения знаменателя, которое удовлетворяло бы обеим частям неравенства.

Шаг 6. Берём $k = 5$. В этом случае левая часть требует, чтобы $n$ было не больше 11,2, а правая часть — чтобы $n$ было строго больше 10,9. Единственное целое число в этом промежутке равняется 11.

Шаг 7. Значит, минимальное число опрошенных равняется 11. Пять из них любят кофе. Проведём проверку: $5 : 11 \approx 0{,}4545…$ Переводим в проценты и получаем 45,45%. По правилам округления до целого числа получается ровно 45%.

Ответ: 11.

При оформлении решения на бланке легко потерять баллы на неочевидных деталях. Обязательно учитывай следующие нюансы:

• Интуитивный перебор. Нельзя приводить готовый ряд чисел с формулировкой: «Очевидно, что меньше не получится, проверено перебором». Нужно применять алгебраические неравенства, свойства делимости или формулы прогрессии. Без теоретического доказательства (оценки) теряется половина баллов.
• Ответ без числового ряда. Нельзя просто составить систему уравнений, вычислить границу и сразу написать ответ. Обязательно нужно указать конкретные числа, которые удовлетворяют найденной границе. Бывают ситуации, как в первом примере статьи, где теоретическая граница равна трём, но построить подходящий набор чисел можно только для четырёх.
• Невнимательность к условию. Частая ошибка — игнорировать слово «различные». Всегда строй числовой ряд так, чтобы элементы внутри него не повторялись, иначе выставят ноль баллов.

Попробуй решить эту задачу самостоятельно, чтобы закрепить понимание алгоритма.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7. Может ли самое маленькое из этих одиннадцати чисел равняться 5?

Понимание метода оценки и примера поможет уверенно справляться с заданиями на поиск наибольших и наименьших значений на экзамене.

Теперь ты умеешь:

• находить теоретическую границу искомой величины с помощью формул, неравенств и арифметических правил;
• составлять числовые ряды для практической проверки найденной границы;
• избегать потерь баллов из-за неправильного оформления и игнорирования условий.

Чтобы не сомневаться в своих вычислениях, советуем закрепить изученный алгоритм на 5–7 аналогичных заданиях из банка заданий.