Экономические задачи в профильном ЕГЭ по математике часто вызывают трудности из-за путаницы в банковских схемах или попыток заучить готовые решения наизусть. В задании 16 чаще всего встречается дифференцированный платёж. Разберём, как работает равномерное уменьшение долга, чтобы находить ответы быстро, составлять грамотную математическую модель и получать максимальный балл на экзамене без зазубривания формул.
Теория: как работает банк
Чтобы понимать логику любого кредитного договора, достаточно разделить ежемесячный платёж на две независимые части.
Первая часть всегда идёт на погашение основного долга.
Показателем нашей схемы в условиях задачи выступает фраза: «Долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на то же число предыдущего месяца». Это означает, что тело кредита уменьшается в виде убывающей арифметической прогрессии.
Обозначим сумму кредита величиной $S$, а срок выплаты — $n$ периодов (месяцев или лет). В таком случае каждый период клиент стабильно возвращает банку часть основного долга, равную $\dfrac{S}{n}$. Благодаря этому долг убывает равномерной лесенкой: $S$, затем $S-\dfrac{S}{n}$, затем $S-\dfrac{2S}{n}$, и так далее вплоть до полного погашения.
Проценты считаются каждый раз от нового остатка. В первый месяц процент начислят на всю сумму $S$, а во второй — уже на меньшую сумму $S-\dfrac{S}{n}$. Платежи с каждым периодом становятся всё меньше. Общая сумма выплат за весь срок состоит из возвращённого первоначального долга и абсолютно всех уплаченных банку процентов.
Универсальный алгоритм решения
Алгоритм поможет не запутаться в значениях и покажет экспертной комиссии строгую модель:
- Введи переменные. Обозначь сумму кредита, процентную ставку и срок. Обязательно напиши, что означает каждая буква.
- Запиши изменения долга. Составь ряд остатков или таблицу, где будет видно регулярное уменьшение суммы.
- Вычисли проценты. Составь выражение для начисленных процентов за каждый период работы кредита.
- Составь уравнение. Используй условие задачи. Чаще всего требуется найти общую сумму процентов с помощью формулы суммы арифметической прогрессии и связать числа между собой.
- Найди неизвестное. Реши уравнение и проверь итоговое число на здравый смысл.
Разбор примеров
Перейдём к практике и выполним подробный разбор реальных задач государственного экзамена.
Классическая схема
Планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего; со 2-го по 14-е число нужно выплатить часть кредита; 15-го числа долг должен быть на одну и ту же величину меньше предыдущего. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения на 40% больше взятой суммы. Найдите $r$.
Шаг 1. Введи переменную $S$ для первоначальной суммы. Срок составляет 15 месяцев. Следовательно, каждый месяц основной долг становится меньше ровно на величину $\dfrac{S}{15}$.
Шаг 2. Распиши остатки по кредиту на каждый месяц. Они выглядят так: $\dfrac{15S}{15}$, $\dfrac{14S}{15}$, $\dfrac{13S}{15}$, $\dfrac{12S}{15}$ и так далее до $\dfrac{S}{15}$ в последний платёжный месяц.
Шаг 3. Запиши проценты. Банк берёт ставку $\dfrac{r}{100}$ от каждого остатка. Переплата по кредиту состоит исключительно из суммы начисленных процентов. По условию она равна $0{,}4 \cdot S$. Сумма всех процентов:
Шаг 4. Вынеси общий множитель за скобки. Получится выражение: $\dfrac{S \cdot r}{100 \cdot 15} \cdot (15 + 14 + \dots + 1)$. В скобках находится сумма арифметической прогрессии от 1 до 15. Вычисли её по правилу суммы: $\dfrac{1 + 15}{2} \cdot 15 = 120$. Следовательно, общая сумма процентов равна: $\dfrac{S \cdot r \cdot 120}{1500} = 0{,}08 \cdot S \cdot r$.
Шаг 5. Приравняй найденную величину к размеру переплаты:
Раздели обе части уравнения на $S$ и найди неизвестное значение процентной ставки: $0{,}08 \cdot r = 0{,}4$, откуда $r = 5$.
Ответ: 5%.
Табличный формат
Планируется взять кредит на 6 месяцев в размере 1 миллиона рублей. Условия: каждый месяц долг увеличивается на $r$% (где $r$ — целое число); затем нужно выплатить часть; итоговый долг формируется в соответствии с таблицей:
Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 Долг 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0 Найдите наименьшее значение ставки, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 миллиона.
Шаг 1. Обрати внимание на таблицу. Долг убывает на $0{,}1$ миллиона первые пять месяцев, а в последний платёж закрывается сразу на $0{,}5$ миллиона. Перед нами комбинированная математическая модель.
Шаг 2. Общая сумма выплат состоит из возвращённого миллиона (основной долг) и начисленных процентов. Посчитай проценты на остатки из таблицы. Первый процент начислят на $1$, второй — на $0{,}9$, затем на $0{,}8$, $0{,}7$, $0{,}6$ и на последний остаток $0{,}5$. Общие проценты равны:
Шаг 3. Выполни сложение в скобках. Сумма равна $4{,}5$. Общая переплата составляет $0{,}045 \cdot r$.
Шаг 4. Условие требует, чтобы сумма выплат была строго больше суммы $1{,}2$ миллиона:
Выполнив деление, получаем $r > 4{,}44$.
Шаг 5. По условию требуется указать наименьшее целое число, которое больше $4{,}44$. Это число $5$.
Ответ: 5%.
Смена процентной ставки
В июле 2025 года взят кредит на 8 лет. В 2026, 2027, 2028 и 2029 годах долг возрастает на 24%. В 2030, 2031, 2032 и 2033 годах долг возрастает на 20%. Каждый год долг уменьшается на одну и ту же величину. Общая сумма выплат составила 1,421 миллиона рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.
Шаг 1. Срок кредитования составляет 8 лет. Долг уменьшается регулярно. Значит, каждый год тело долга уменьшается на величину $\dfrac{S}{8}$. Ряд остатков выглядит так: $\dfrac{8S}{8},\,\dfrac{7S}{8},\,\dfrac{6S}{8},\,\dfrac{5S}{8},\,\dfrac{4S}{8},\,\dfrac{3S}{8},\,\dfrac{2S}{8},\,\dfrac{S}{8}$.
Шаг 2. Запиши проценты для первых четырёх лет с учётом ставки 24%, то есть $0{,}24$:
Шаг 3. Запиши проценты для оставшихся четырёх лет по ставке 20%, то есть $0{,}2$:
Шаг 4. Сложи найденные проценты за весь срок: $0{,}78S + 0{,}25S = 1{,}03S$.
Шаг 5. Вся сумма выплат равна исходному долгу $S$ плюс проценты: $S + 1{,}03S = 2{,}03S$. Теперь приравняй это выражение к значению из условия задания:
Вырази неизвестное: $S = \dfrac{1{,}421}{2{,}03} = 0{,}7$.
Ответ: первоначальная сумма составляет 0,7 миллиона рублей.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
При оформлении задачи 16 важно избегать обидных ошибок, из-за которых теряются важные баллы:
- Ловушка аннуитета. Не используй возведение в степень и не перемножай скобки при равномерном убывании долга. Логика дифференцированного платежа строится исключительно на суммировании элементов арифметической прогрессии.
- Слепое доверие таблицам. Не думай, что наличие в тексте задания таблицы всегда гарантирует идеально ровное убывание суммы. Вычти из каждого столбца последующее значение, чтобы проверить величину платежей на равномерность.
- Отсутствие модели. Не подставляй числа в готовую формулу из интернета без объяснений. Последовательно описывай введение новых переменных. Если проверяющие увидят готовую, но не выведенную из логики формулу, баллы могут быть снижены.
- Ошибки в знаках неравенства. Внимательно читай условия. Фразы «не более» и «меньше» требуют разных математических знаков. Словосочетание «не более 1 миллиона» означает знак $\le 1$.
Практика и самопроверка
Проверь свои знания. Ответь на вопросы самостоятельно и сверься с ответами под кнопками.
- Если кредит регулярно уменьшается на одну и ту же величину в течение 20 месяцев, какую долю от первоначального долга возвращает клиент банку ежемесячно?
- Что означает фраза «общая сумма выплат» в рамках математической модели?
- За что эксперты могут обнулить баллы в задании 16, даже если финальный ответ оказался верным?
- Ежемесячно выплачивается ровно одна двадцатая часть первоначальной суммы кредита ($\dfrac{S}{20}$).
- В эту сумму входит возвращённый изначальный долг и все начисленные банковские проценты суммарно.
- За использование готовой формулы без построения математической модели последовательного изменения долгов перед банком.
Задача для проверки
Планируется взять кредит на 10 месяцев. Ставка банка 10%. Долг уменьшается равномерно. Найди отношение суммы всех выплат к изначальной сумме кредита.
Остатки по долгу идут от $S$ до $0{,}1S$. Сумма всех процентов равна:
Итоговая сумма выплат равна сумме долга и процентов: $S + 0{,}55S = 1{,}55S$. Искомое отношение равно $1{,}55$.
Ответ: 1,55.
Заключение
Теперь ты понимаешь внутреннюю логику вычислений при дифференцированных платежах и можешь уверенно приступать к решению экономической задачи 16 профильного ЕГЭ по математике.
Ты умеешь вводить переменные, расписывать таблицу убывающих остатков и вычислять общую переплату банку через арифметическую прогрессию. Чтобы закрепить успех, реши 5–7 подобных заданий из нашего банка ЕГЭ и обрати особое внимание на формулировки о досрочных и неравномерных выплатах.
