Экономические задачи в профильном ЕГЭ по математике часто вызывают трудности из-за путаницы в банковских схемах или попыток заучить готовые решения наизусть. В задании 16 чаще всего встречается дифференцированный платёж. Разберём, как работает равномерное уменьшение долга, чтобы находить ответы быстро, составлять грамотную математическую модель и получать максимальный балл на экзамене без зазубривания формул.
Теория: как работает банк
Чтобы понимать логику любого кредитного договора, достаточно разделить ежемесячный платёж на две независимые части.
Первая часть всегда идёт на погашение основного долга.
Основным долгом или «телом кредита» называют ту исходную сумму, которую клиент изначально взял у банка. Банк ежемесячно начисляет проценты на остаток долга перед очередной выплатой.
Показателем нашей схемы в условиях задачи выступает фраза: «Долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на то же число предыдущего месяца». Это означает, что тело кредита уменьшается в виде убывающей арифметической прогрессии.
Обозначим сумму кредита величиной $S$, а срок выплаты — $n$ периодов (месяцев или лет). В таком случае каждый период клиент стабильно возвращает банку часть основного долга, равную $\dfrac{S}{n}$. Благодаря этому долг убывает равномерной лесенкой: $S$, затем $S-\dfrac{S}{n}$, затем $S-\dfrac{2S}{n}$, и так далее вплоть до полного погашения.
Проценты считаются каждый раз от нового остатка. В первый месяц процент начислят на всю сумму $S$, а во второй — уже на меньшую сумму $S-\dfrac{S}{n}$. Платежи с каждым периодом становятся всё меньше. Общая сумма выплат за весь срок состоит из возвращённого первоначального долга и абсолютно всех уплаченных банку процентов.
Универсальный алгоритм решения
Алгоритм поможет не запутаться в значениях и покажет экспертной комиссии строгую модель:
- Введи переменные. Обозначь сумму кредита, процентную ставку и срок. Обязательно напиши, что означает каждая буква.
- Запиши изменения долга. Составь ряд остатков или таблицу, где будет видно регулярное уменьшение суммы.
- Вычисли проценты. Составь выражение для начисленных процентов за каждый период работы кредита.
- Составь уравнение. Используй условие задачи. Чаще всего требуется найти общую сумму процентов с помощью формулы суммы арифметической прогрессии и связать числа между собой.
- Найди неизвестное. Реши уравнение и проверь итоговое число на здравый смысл.
Разбор примеров
Перейдём к практике и выполним подробный разбор реальных задач государственного экзамена.
Классическая схема
Планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего; со 2-го по 14-е число нужно выплатить часть кредита; 15-го числа долг должен быть на одну и ту же величину меньше предыдущего. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения на 40% больше взятой суммы. Найдите $r$.
Шаг 1. Введи переменную $S$ для первоначальной суммы. Срок составляет 15 месяцев. Следовательно, каждый месяц основной долг становится меньше ровно на величину $\dfrac{S}{15}$.
Шаг 2. Распиши остатки по кредиту на каждый месяц. Они выглядят так: $\dfrac{15S}{15}$, $\dfrac{14S}{15}$, $\dfrac{13S}{15}$, $\dfrac{12S}{15}$ и так далее до $\dfrac{S}{15}$ в последний платёжный месяц.
Шаг 3. Запиши проценты. Банк берёт ставку $\dfrac{r}{100}$ от каждого остатка. Переплата по кредиту состоит исключительно из суммы начисленных процентов. По условию она равна $0{,}4 \cdot S$. Сумма всех процентов:
Шаг 4. Вынеси общий множитель за скобки. Получится выражение: $\dfrac{S \cdot r}{100 \cdot 15} \cdot (15 + 14 + \dots + 1)$. В скобках находится сумма арифметической прогрессии от 1 до 15. Вычисли её по правилу суммы: $\dfrac{1 + 15}{2} \cdot 15 = 120$. Следовательно, общая сумма процентов равна: $\dfrac{S \cdot r \cdot 120}{1500} = 0{,}08 \cdot S \cdot r$.
Шаг 5. Приравняй найденную величину к размеру переплаты:
Раздели обе части уравнения на $S$ и найди неизвестное значение процентной ставки: $0{,}08 \cdot r = 0{,}4$, откуда $r = 5$.
Ответ: 5%.
$\left(S \cdot \frac{r}{100}\right) + \left(\frac{14S}{15} \cdot \frac{r}{100}\right) + \dots + \left(\frac{S}{15} \cdot \frac{r}{100}\right).$
$0{,}08 \cdot S \cdot r = 0{,}4 \cdot S.$
Табличный формат
Планируется взять кредит на 6 месяцев в размере 1 миллиона рублей. Условия: каждый месяц долг увеличивается на $r$% (где $r$ — целое число); затем нужно выплатить часть; итоговый долг формируется в соответствии с таблицей:
Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 Долг 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0 Найдите наименьшее значение ставки, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 миллиона.
Шаг 1. Обрати внимание на таблицу. Долг убывает на $0{,}1$ миллиона первые пять месяцев, а в последний платёж закрывается сразу на $0{,}5$ миллиона. Перед нами комбинированная математическая модель.
Шаг 2. Общая сумма выплат состоит из возвращённого миллиона (основной долг) и начисленных процентов. Посчитай проценты на остатки из таблицы. Первый процент начислят на $1$, второй — на $0{,}9$, затем на $0{,}8$, $0{,}7$, $0{,}6$ и на последний остаток $0{,}5$. Общие проценты равны:
Шаг 3. Выполни сложение в скобках. Сумма равна $4{,}5$. Общая переплата составляет $0{,}045 \cdot r$.
Шаг 4. Условие требует, чтобы сумма выплат была строго больше суммы $1{,}2$ миллиона:
Выполнив деление, получаем $r > 4{,}44$.
Шаг 5. По условию требуется указать наименьшее целое число, которое больше $4{,}44$. Это число $5$.
Ответ: 5%.
$\frac{r}{100} \cdot (1 + 0{,}9 + 0{,}8 + 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}5).$
$1 + 0{,}045 \cdot r > 1{,}2, \ 0{,}045 \cdot r > 0{,}2, \ r > \frac{0{,}2}{0{,}045}.$
Смена процентной ставки
В июле 2025 года взят кредит на 8 лет. В 2026, 2027, 2028 и 2029 годах долг возрастает на 24%. В 2030, 2031, 2032 и 2033 годах долг возрастает на 20%. Каждый год долг уменьшается на одну и ту же величину. Общая сумма выплат составила 1,421 миллиона рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.
Шаг 1. Срок кредитования составляет 8 лет. Долг уменьшается регулярно. Значит, каждый год тело долга уменьшается на величину $\dfrac{S}{8}$. Ряд остатков выглядит так: $\dfrac{8S}{8},\,\dfrac{7S}{8},\,\dfrac{6S}{8},\,\dfrac{5S}{8},\,\dfrac{4S}{8},\,\dfrac{3S}{8},\,\dfrac{2S}{8},\,\dfrac{S}{8}$.
Шаг 2. Запиши проценты для первых четырёх лет с учётом ставки 24%, то есть $0{,}24$:
Шаг 3. Запиши проценты для оставшихся четырёх лет по ставке 20%, то есть $0{,}2$:
Шаг 4. Сложи найденные проценты за весь срок: $0{,}78S + 0{,}25S = 1{,}03S$.
Шаг 5. Вся сумма выплат равна исходному долгу $S$ плюс проценты: $S + 1{,}03S = 2{,}03S$. Теперь приравняй это выражение к значению из условия задания:
Вырази неизвестное: $S = \dfrac{1{,}421}{2{,}03} = 0{,}7$.
Ответ: первоначальная сумма составляет 0,7 миллиона рублей.
$0{,}24 \cdot \left(\frac{8S}{8} + \frac{7S}{8} + \frac{6S}{8} + \frac{5S}{8}\right) = 0{,}24 \cdot \frac{26S}{8} = 0{,}78S.$
$0{,}2 \cdot \left(\frac{4S}{8} + \frac{3S}{8} + \frac{2S}{8} + \frac{S}{8}\right) = 0{,}2 \cdot \frac{10S}{8} = 0{,}25S.$
$2{,}03S = 1{,}421.$
Типичные ошибки и ловушки экзамена
При оформлении задачи 16 важно избегать обидных ошибок, из-за которых теряются важные баллы:
- Ловушка аннуитета. Не используй возведение в степень и не перемножай скобки при равномерном убывании долга. Логика дифференцированного платежа строится исключительно на суммировании элементов арифметической прогрессии.
- Слепое доверие таблицам. Не думай, что наличие в тексте задания таблицы всегда гарантирует идеально ровное убывание суммы. Вычти из каждого столбца последующее значение, чтобы проверить величину платежей на равномерность.
- Отсутствие модели. Не подставляй числа в готовую формулу из интернета без объяснений. Последовательно описывай введение новых переменных. Если проверяющие увидят готовую, но не выведенную из логики формулу, баллы могут быть снижены.
- Ошибки в знаках неравенства. Внимательно читай условия. Фразы «не более» и «меньше» требуют разных математических знаков. Словосочетание «не более 1 миллиона» означает знак $\le 1$.
Практика и самопроверка
Проверь свои знания. Ответь на вопросы самостоятельно и сверься с ответами под кнопками.
- Если кредит регулярно уменьшается на одну и ту же величину в течение 20 месяцев, какую долю от первоначального долга возвращает клиент банку ежемесячно?
- Что означает фраза «общая сумма выплат» в рамках математической модели?
- За что эксперты могут обнулить баллы в задании 16, даже если финальный ответ оказался верным?
- Ежемесячно выплачивается ровно одна двадцатая часть первоначальной суммы кредита ($\dfrac{S}{20}$).
- В эту сумму входит возвращённый изначальный долг и все начисленные банковские проценты суммарно.
- За использование готовой формулы без построения математической модели последовательного изменения долгов перед банком.
Задача для проверки
Планируется взять кредит на 10 месяцев. Ставка банка 10%. Долг уменьшается равномерно. Найди отношение суммы всех выплат к изначальной сумме кредита.
Остатки по долгу идут от $S$ до $0{,}1S$. Сумма всех процентов равна:
Итоговая сумма выплат равна сумме долга и процентов: $S + 0{,}55S = 1{,}55S$. Искомое отношение равно $1{,}55$.
Ответ: 1,55.
$0{,}1 \cdot \frac{S}{10} \cdot (10 + 9 + \dots + 1) = 0{,}01S \cdot 55 = 0{,}55S.$
Заключение
Теперь ты понимаешь внутреннюю логику вычислений при дифференцированных платежах и можешь уверенно приступать к решению экономической задачи 16 профильного ЕГЭ по математике.
Ты умеешь вводить переменные, расписывать таблицу убывающих остатков и вычислять общую переплату банку через арифметическую прогрессию. Чтобы закрепить успех, реши 5–7 подобных заданий из нашего банка ЕГЭ и обрати особое внимание на формулировки о досрочных и неравномерных выплатах.
