Задание 18 профильного ЕГЭ по математике: как определять расположение корней квадратного уравнения с параметром

Каждое квадратное уравнение вида $f(x) = ax^2 + bx + c$ можно представить в виде графика — параболы. Её ветви смотрят вверх при положительном старшем коэффициенте $a$ и вниз при отрицательном. Точки пересечения параболы с осью $X$ – это искомые корни.

Рассмотрим три базовых сценария.

Оба корня больше заданного числа $M$

Если нужно найти параметры, при которых оба решения больше числа $M$, графически это означает, что часть параболы, пересекающая ось $X$, находится правее точки $M$. Для выполнения этого требования нужно проверить три условия:

• Дискриминант квадратного трёхчлена должен быть положительным ($D > 0$).
• Вершина квадратичной функции должна находиться правее требуемого числа ($x_{в} > M$).
• Произведение старшего коэффициента на значение функции в точке $M$ обязано быть положительным ($a \cdot f(M) > 0$). Это гарантирует, что график ветвями уходит вверх или вниз строго в нужной полуплоскости.

Оба корня меньше заданного числа $M$

Для выполнения этого требования нужно проверить три условия:

• Дискриминант квадратного трёхчлена должен быть положительным ($D > 0$).
• Вершина квадратичной функции должна находиться левее требуемого числа ($x_{в} < M$).
• Произведение старшего коэффициента на значение функции в точке $M$ обязано быть положительным ($a \cdot f(M) > 0$). Это гарантирует, что график ветвями уходит вверх или вниз строго в нужной полуплоскости.

Заданное число $M$ находится между корнями

Иногда требуется, чтобы одно решение было меньше числа $M$, а другое — больше. Графически парабола пересекает ось $X$ по разные стороны от выбранной точки.

Здесь всё решается проще: достаточно, чтобы произведение старшего коэффициента на значение функции в точке $M$ было строго отрицательным ($a \cdot f(M) < 0$). Проверять дискриминант в такой ситуации не нужно. Ветви параболы направлены в одну сторону, а точка лежит с другой стороны от оси. График неизбежно пересечёт ось $X$ ровно два раза.

Корни находятся на заданном отрезке

Чтобы оба решения оказались строго внутри интервала от $M$ до $N$, объединим правила. Нужно проверить дискриминант ($D > 0$), убедиться, что вершина лежит внутри интервала ($M < x_{в} 0$ и $a \cdot f(N) > 0$).

Этот шаблон действий подходит для любой задачи на расположение параболы.

1. Перенеси все элементы в левую часть, чтобы справа остался только ноль. Выдели коэффициенты $a$, $b$ и $c$.
2. Проверь коэффициент перед $x^2$. Если он содержит параметр, обязательно рассмотри случай равенства этого коэффициента нулю.
3. Нарисуй черновик графика. Отметь координатные оси, нужные граничные точки и примерное положение параболы.
4. Составь систему неравенств на основе визуального расположения графика.
5. Реши полученную систему методом интервалов, найди пересечение промежутков.

Разберём примеры.

Оба корня больше заданного числа

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^2−(2a + 4)x + 8a = 0$ имеет два различных действительных корня, каждый из которых больше $3$.

Решение

Шаг 1. Перед нами функция $f(x) = x^2−(2a + 4)x + 8a$. Старший коэффициент равен единице, следовательно, ветви всегда направлены вверх.

Шаг 2. Для получения двух различных корней дискриминант обязан быть строго больше нуля ($D > 0$). Оба корня больше трёх, значит, вершина параболы лежит правее ($x_{в} > 3$). Так как ветви направлены вверх ($a = 1$), значение функции в точке $3$ должно быть положительным ($f(3) > 0$).

Шаг 3. Вычислим дискриминант:

$D = (2a + 4)^2−4 \cdot 1 \cdot 8a = 4a^2 + 16a + 16−32a = 4a^2−16a + 16$.

Применим формулу квадрата разности: $D = (2a−4)^2$. Условие $D > 0$ выполняется при $a \neq 2$ (при $a = 2$ уравнение имеет два совпадающих корня, что противоречит условию наличия различных корней).

Шаг 4. Вычислим координату вершины параболы по формуле $x_{в} = -\dfrac{b}{2a}$:

$x_{в} = \dfrac{2a + 4}{2} = a + 2$.

Подставим результат в неравенство $a + 2 > 3$, откуда получаем $a > 1$.

Шаг 5. Найдём значение функции в точке $3$:

$f(3) = 3^2−(2a + 4) \cdot 3 + 8a = 9−6a−12 + 8a = 2a−3$.

Условие $f(3) > 0$ даёт неравенство $2a−3 > 0$, откуда $a > 1{,}5$.

Шаг 6. Отметим полученные промежутки на координатной прямой и найдём их пересечение. Нам подходят числа строго больше $1{,}5$, но нужно исключить точку $2$.

Ответ: $a \in (1{,}5;\, 2) \cup (2;\, +\infty)$.

Корни на заданном отрезке

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2−4x + a = 0$ имеет два различных корня, принадлежащих интервалу $(0; 5)$.

Решение

Шаг 1. Ветви параболы направлены вверх. Корни должны находиться строго внутри указанного интервала. Выпишем нужные условия.

Шаг 2. Дискриминант должен быть строго положительным.

$D = 16−4a > 0$, следовательно, $a < 4$.

Шаг 3. Проверим вершину параболы.

$x_{в} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Условие $0 < x_{в} < 5$ сводится к $0 < 2 < 5$. Это верное числовое неравенство, оно выполняется при любых значениях параметра.

Шаг 4. Функция в левой границе обязана быть положительной.

$f(0) = 0^2−4 \cdot 0 + a > 0$, отсюда получаем $a > 0$.

Шаг 5. Функция в правой границе также должна быть положительной.

$f(5) = 25−20 + a > 0$, откуда $5 + a > 0$, следовательно, $a > -5$.

Шаг 6. Пересечём условия $a 0$ и $a > -5$. Общее решение — интервал от нуля до четырёх.

Ответ: $a \in (0;\, 4)$.

Число между корнями

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $ax^2 + 2x−3 = 0$ имеет ровно один положительный и ровно один отрицательный корень.

Решение

Шаг 1. Положительный корень находится правее нуля, а отрицательный — левее. Это означает, что число ноль находится строго между корнями уравнения.

Шаг 2. Коэффициент перед независимой переменной в квадрате содержит параметр $a$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным $2x−3 = 0$ и имеет всего один корень $x = 1{,}5$. Этот случай не подходит по условию задачи. Значит, мы работаем только со свойствами параболы (при $a \neq 0$).

Шаг 3. Чтобы число ноль находилось строго между корнями, должно выполняться неравенство $a \cdot f(0) < 0$.

Шаг 4. Вычислим значение функции от нуля:

$f(0) = a \cdot 0^2 + 2 \cdot 0−3 = -3$.

Шаг 5. Подставим полученное значение: $a \cdot (−3) 0$.

Ответ: $a \in (0;\, +\infty)$.

На мелких недочётах теряет баллы:

• Поиск дискриминанта, когда точка лежит строго между корнями. Это забирает время и повышает вероятность арифметической ошибки. Достаточно использовать условие $a \cdot f(M) < 0$.
• Потеря старшего коэффициента. Решение начинается с рассмотрения выражения перед квадратом икса. Если там есть параметр, всегда подставляй число, обнуляющее его. В ряде случаев линейное уравнение может дать ответ, подходящий под условие.
• Путаница в знаках неравенств. Если в условии корень принадлежит отрезку (указаны квадратные скобки), то значения функции в граничных точках могут равняться нулю. В таком случае знак неравенства нужно сделать нестрогим.

Реши эти небольшие задания самостоятельно, чтобы закрепить материал.

Задание 1. Уравнение $x^2 + 4x + a = 0$ имеет корни. Ветви соответствующей параболы направлены вверх или вниз?

Задание 2. Требуется найти условия, при которых корни параболы $f(x) = x^2−x + a$ находятся строго по разные стороны от числа $2$. Какое неравенство будет ключевым для решения?

Задание 3. Составь систему неравенств для ситуации, когда оба корня уравнения $-x^2 + 2x + a = 0$ строго положительны. Вычислять результат не нужно, только запиши математические условия.

После изучения этого материала можно уверенно приступать к решению задач с графическими условиями в задании 18 ЕГЭ. Теперь ты можешь:

• применять геометрические свойства параболы вместо громоздких алгебраических преобразований;
• оценивать направление ветвей и существование квадратичной функции через старший коэффициент;
• составлять точные системы неравенств, опираясь на черновик графика.

Чтобы полностью закрепить навык, рекомендуем прорешать 5–7 типичных номеров из банка заданий, обязательно выполняя визуализацию графика от руки перед составлением неравенств.