Задание 19 профильного ЕГЭ по математике: множества чисел

В математике используются несколько основных групп:

• Натуральные числа обозначаются буквой N. Эти числа используются для счёта реальных предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Важно запомнить строгое правило на ЕГЭ: число 0 не является натуральным. Наименьшее натуральное число всегда равно 1.
• Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Эта группа включает абсолютно все натуральные числа, им противоположные отрицательные значения и нуль.
• Рациональные числа обозначаются буквой Q. Сюда входят значения, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, где числитель — целое число, знаменатель — натуральное.
• Действительные числа обозначаются буквой R. Они объединяют все рациональные и иррациональные значения (например, корни, которые не извлекаются без остатка).

В задании 19 экзамена чаще всего фигурируют натуральные или целые числа. Поэтому важно внимательно читать условие.

Задание 19 профильного экзамена проверяет знание теории чисел и свойств числовых последовательностей. Структура обычно включает три пункта.

Пункт «а» содержит вопрос «Может ли?». Если правильный ответ утвердительный, для полного решения достаточно привести лишь один подходящий пример. В решении не нужно расписывать процесс подбора — сам подходящий набор чисел уже служит доказательством для экспертов.

Пункт «б» звучит аналогичный вопрос, но чаще всего верный ответ здесь отрицательный. Просто сказать «нет» нельзя. Привести один неудачный пример тоже недостаточно, строгое доказательство всегда выигрывает у частного случая. Нужно строго математически обосновать, почему такая ситуация невозможна. Обычно доказательство строится от противного с использованием признаков делимости или чётности.

В пункте «в» нужно применить метод оценки. Требуется найти наибольшее или наименьшее возможное значение величины. Решение должно состоять из двух этапов. Сначала нужно доказать, что искомая величина не может превышать найденного пограничного значения или быть меньше него. Затем — привести конкретный пример набора чисел, где это значение достигается.

Если видишь задание про числовые наборы, не пытайся сразу составлять сложные уравнения. Процесс пойдёт легче, если действовать пошагово:

1. Выдели главные ограничения в тексте. Найди слова «различные», «натуральные» или «целые». От этого зависит, могут ли числа повторяться и есть ли среди них нуль или отрицательные значения.
2. Попробуй решить пункт «а» прямым подбором с самых маленьких чисел. Начинай перебор с единицы, двигаясь по возрастанию.
3. Для пункта «б» проверь сумму. Посчитай, даёт ли комбинация чётных и нечётных элементов нужную чётность итоговой суммы.
4. Для пункта «в» используй математическую оценку минимума или максимума. Если задано много различных элементов, сложи их по порядку, начиная с самого маленького, чтобы определить нижнюю границу суммы.

Разберём три задачи.

Анализ чётности элементов

Условие

Известно, что в конечном наборе находится 30 различных натуральных чисел. Сумма элементов равна 800. Может ли в этом наборе быть ровно 15 чётных чисел?

Решение

Шаг 1. Проанализируем условие. Нам нужно составить группу из 15 чётных и 15 нечётных различных значений.

Шаг 2. Проверим сумму нечётных значений. Сумма 15 нечётных чисел всегда нечётна.

Шаг 3. Проверим сумму чётных элементов. Сумма любого количества чётных слагаемых всегда чётна. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.

Шаг 4. По условию общая сумма равна 800. Число 800 — чётное. Получили противоречие. Значит, в этом наборе не может быть ровно 15 чётных чисел.

Ответ: нет.

Ограничения через среднее арифметическое

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7. Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

Решение

Шаг 1. Среднее арифметическое — это сумма всех выбранных компонентов, делённая на их количество. Если среднее значение для шести минимальных элементов равно 7, то их сумма равна результату умножения 6 на 7. Получаем 42.

Шаг 2. Проверим предположение из вопроса задачи. Допустим, самое маленькое значение равно 5. Возьмём самые маленькие возможные числа. Так как по условию все значения различные натуральные, следующие компоненты должны быть строго больше. Наименьший плотный ряд после пятёрки выглядит так: 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Шаг 3. Посчитаем сумму получившегося ряда: $5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$.

Шаг 4. Сумма шести самых маленьких компонентов оказалась равна 45. По условию она должна строго равняться 42. Мы взяли максимально плотный ряд из наименьших возможных значений, поэтому сделать сумму ещё меньше не получится.

Ответ: нет.

Использование арифметической прогрессии

Даны несколько различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию. Может ли сумма всех этих значений быть равной 14?

Решение

Шаг 1. Для пункта «а» нужно подобрать пример. Арифметическая прогрессия означает, что каждое следующее значение увеличивается на определённый постоянный шаг.

Шаг 2. Попробуем взять самую простую прогрессию с шагом, равным 1. Начнём перебор с небольших значений. Пусть первое значение равно 2. Тогда следующие значения будут равны 3, 4 и 5.

Шаг 3. Найдём сумму четырёх выбранных элементов: $2 + 3 + 4 + 5 = 14$.

Шаг 4. Мы нашли ряд, который подходит под все заданные условия. Это натуральные различные значения, и они образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: да, пример состоит из чисел 2, 3, 4, 5.

Баллы часто теряются из-за невнимательности к терминам.

• Игнорирование слова «различные». Ошибка: брать в пример набор из одинаковых двоек. Правильно — если написано слово «различные», каждое значение в ряду должно встречаться ровно один раз.
• Путаница в натуральных значениях и нуле. Ошибка: начинать счёт или подбор с нуля при условии поиска натуральных значений. Правильно: помнить, что 0 не входит в группу натуральных чисел. Наименьшее доступное значение для подбора всегда равно 1.
• Неполное доказательство метода оценки. Ошибка: написать «максимальное количество элементов равно 10, потому что больше не влезает». Правильно: сначала составить уравнение или неравенство, математически доказать ограничение числа 10, а затем обязательно выписать пример ряда из 10 элементов, сумма которых удовлетворяет условию.
• Доказательство от частного случая в пункте «б». Ошибка: написать «у меня при подборе не вышло, значит, это невозможно». Правильно: использовать правила чётности, делимости или неравенства, которые охватывают все возможные комбинации.

Попробуй ответить на несколько вопросов, чтобы закрепить материал.

Вопрос 1. Относится ли нуль к натуральным числам?

Вопрос 2. Будет ли сумма двадцати нечётных чисел чётной?

Вопрос 3. В задаче сказано про «набор целых чисел». Можно ли использовать отрицательные значения?

Задание повышенной сложности

Можно ли собрать сумму, равную 20, из шести различных натуральных чисел?

После изучения этого материала можно уверенно решать задание 19 в профильном ЕГЭ по математике. Теперь ты умеешь классифицировать числовые множества, использовать свойства чётности и среднего арифметического для доказательств, а также применять метод оценки. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить 8–10 аналогичных прототипов из нашего банка заданий. Обязательно обращай внимание на слова, определяющие тип числовой группы, и всегда проверяй возможность подбора простого примера.