Решение смешанных уравнений в задании 13 ЕГЭ по математике: полная теория и разбор задач

Если перед тобой сложное уравнение с несколькими функциями, сначала упрости его вид. Для этого есть два метода:

• Разложение на множители. Если уравнение можно привести к виду произведения нескольких скобок, равного нулю, задача распадается на несколько более простых. Выражение в каждой скобке приравнивается к нулю, а корни полученных уравнений проверяются на соответствие ограничениям исходного условия.
• Замена переменной. Этот метод применяется, если в записи есть повторяющееся выражение. Обозначь этот элемент новой буквой, найди корни, а затем сделай обратную замену.

Такие уравнения содержат тригонометрические функции в показателе степени. Основной метод решения — приведение обеих частей к одинаковому основанию.

Пример. Решите уравнение $4^{\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$.
Преобразуем левую часть. Представим $4$ как $2^2$ и воспользуемся свойствами степени:

$(2^2)^{\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$;
$2^{2\sin x} = 2^{\sqrt{3}\cos x}$.
Основания степеней равны, можем приравнять показатели:
$2\sin x = \sqrt{3}\cos x$.

Получили однородное уравнение первой степени. Если $\cos x =0$, то и $\sin x=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, $\cos x \neq0$ и можем разделить обе части равенства на $\cos x$:

$2 \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{\cos x}{\cos x}$;
$2\, tg\, x =\sqrt{3}$;
$tg\, x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдём значение $x$ через арктангенс:
$x=arctg \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)+ \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=arctg \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)+ \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В таких уравнениях обязательно нужно поставить ограничения на основание и аргумент логарифма, если они зависят от переменной.

Пример. Решите уравнение $\log_2(\sin x)=-1$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма, так как он зависит от переменной:
$\sin x > 0$.

Преобразуем исходное выражение по определению логарифма:
$\sin x = 2^{-1}$;
$\sin x = \dfrac{1}{2}$.

Так как $\frac{1}{2}>0$, то все корни $\sin x = \frac{1}{2}$ удовлетворяют ограничению $\sin x > 0$. Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ и запишем ответ:
$x=\dfrac{\pi}{6} +2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;

$x=\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{6} +2\pi k, \, x=\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n, \, k, \, n \in \mathbb{Z}$.

Основной метод решения уравнений, у которых переменная находится и в показателе степени, и внутри логарифма, — это почленное логарифмирование обеих частей.

Пример. Решите уравнение $x^{\log_3 x} = 9x$.
Поставим ограничение на аргумент логарифма:
$x>0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию три:
$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(9x)$.

Воспользуемся свойствами логарифма и упростим запись:
$\log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 9 + \log_3 x$;
$\log^2_3 x = 2 + \log_3 x$;
$\log^2_3 x-\log_3 x-2=0$.

Возьмём замену $t= \log_3 x$:
$t^2-t-2=0$.

Решим квадратное уравнение:
$D=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9$;
$t_1=\dfrac{-(-1)-\sqrt9}{2\cdot 1}=-1$;
$t_2=\dfrac{-(-1)+\sqrt9}{2\cdot 1}=2$.

Сделаем обратную замену:
$\log_3 x=-1$;
$\log_3 x=2$.

Решим полученные уравнения:
$x=\dfrac{1}{3}$;
$x=9$.

Оба значения удовлетворяют ограничениям $x>0$. Значит, они являются корнями.

Ответ: $x=\dfrac{1}{3}$; $x=9$.

Решите уравнение $2\log_3^2 (2\cos x)-5\log_3 (2\cos x) + 2 = 0$.

1. Запишем ограничение на аргумент логарифма:
   $2\cos x>0$;
   $\cos x>0$.
   Пусть $t=\log_3 (2\cos x)$, получим:
   $2t^2-5t + 2 = 0$.

2. Решим это квадратное уравнение:
   $D=(-5)^2-4\cdot 2 \cdot 2=25-16=9$;
   $t_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt9}{2\cdot 2}=\dfrac{1}{2}$;
   $t_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt9}{2\cdot 2}=2$.

3. Сделаем обратную замену:
   $\log_3 (2\cos x) = \dfrac{1}{2}$;
   $\log_3 (2\cos x) = 2$.

4. Преобразуем первое уравнение по определению логарифма:
   $\log_3 (2\cos x) = \dfrac{1}{2}$;
   $2\cos x=3^{\frac{1}{2}}$;
   $\cos x=\dfrac{\sqrt 3}{2}$.

5. Аналогично преобразуем второе равенство:
   $\log_3 (2\cos x) = 2$;
   $2\cos x=3^2$;
   $\cos x=\dfrac{9}{2}$ — нет корней, так как значение косинуса не может превышать единицу.

6. Остаётся $\cos x=\frac{\sqrt 3}{2}$. Так как $\frac{\sqrt 3}{2}>0$, корень удовлетворяет ограничению. Найдём его:
   $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разберём самые частые ошибки, которые допускают ученики:

• Ловушка множителей.
  Как нельзя: в записи вида $\log_2(\sin x) \cdot \cos x = 0$ приравнять оба множителя к нулю и записать все полученные корни в ответ.
  Как нужно: для $\cos x =0$ оставить только корни, которые удовлетворяют ограничению на аргумент логарифма $\sin x >0$.
• Обратная замена.
  Как нельзя: находить значения $t$ и не брать обратную замену.
  Как нужно: после нахождения $t$ взять обратную замену и вычислить $x$.
• Поиск ограничений.
  Как нельзя: решать уравнение, не поставив ограничения и не проверив корни.
  Как нужно: перед началом решения поставить ограничения, а после нахождения корней проверить, соответствуют ли они записанным условиям.

Задание 1

Каким методом следует найти корни $5^{2\sin x} = 25^{\cos x}$?

Задание 2

Решите уравнение $x^{\log_2 x} = 4x$.

Задание 3

Решите уравнение $\log^2_5(\cos x) + \log_5 \left(\dfrac{25}{\cos x} \right) = 2$.

Теперь ты умеешь:

• решать уравнения с разными комбинациями функций;
• применять методы замены переменной и разложения на множители;
• применять универсальный алгоритм решения уравнений с любыми комбинациями функций;
• избегать основных ловушек при решении подобных заданий на ЕГЭ.

Регулярная практика поможет тебе уверенно решать такие задачи на экзамене!