В задании № 13 ЕГЭ по профильной математике важны верный ответ и чёткое соблюдение критериев оценивания. Можно получить ноль баллов за полностью решённое уравнение из-за незакрашенной дуги на тригонометрической окружности или пропущенного обоснования перехода. Разберём алгоритм работы с уравнениями второй части экзамена, типичные ловушки и способы их избежать. После изучения материала ты сможешь уверенно решать эти задания с полным обоснованием каждого этапа.
Основы оформления задания № 13
Задание традиционно делится на два этапа. В пункте «а» нужно решить уравнение, а в пункте «б» — выполнить отбор найденных корней для заданного промежутка. Эксперты строго оценивают обе части.
При использовании аббревиатуры ОДЗ (область допустимых значений) нужно выписать абсолютно все существующие в уравнении ограничения и решить итоговую систему. Пропуск хотя бы одного условия комиссия сочтёт логической ошибкой и обнулит результат всего задания. Безопаснее использовать формулировку «ограничения на переменную» или делать проверку полученных корней подстановкой.
При решении тригонометрических уравнений всегда указывай принадлежность параметра множеству целых чисел. Конструкция $n \in \mathbb{Z}$ должна сопровождать каждую серию корней.
В пункте «б» отбор разрешено проводить любым математически верным способом. Самый популярный — метод тригонометрической окружности. Чтобы эксперт засчитал метод, на рисунке обязательно должны присутствовать:
- выделенная дуга рассматриваемого отрезка;
- отмеченные и подписанные границы заданного отрезка;
- отмеченные и чётко подписанные числовые значения найденных корней.
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы успешно справляться с номерами этого типа, применяй следующий порядок действий:
- Анализ условия. Внимательно посмотри на функцию. Если есть знаменатели, корни чётной степени или логарифмы, сразу зафиксируй ограничения.
- Решение пункта «а»: упрости исходное выражение при помощи формул приведения или формул двойного угла, приведи уравнение к одному базовому виду функции (только синусы или только косинусы), используй метод вынесения за скобки общего множителя или замену переменной, реши простейшие тригонометрические уравнения и запиши серии корней обязательно с указанием того, что параметр принадлежит множеству целых чисел.
- Выбор метода для пункта «б». Для малых промежутков используй окружность. Если промежуток большой или содержит сложные дроби, надёжнее сработает метод двойных неравенств.
- Визуализация. Нарисуй окружность или напиши неравенство, детально показывая вычисления. Проверяющий должен видеть происхождение итогового значения.
- Запись ответа. Структурируй финальную строчку, чётко разделяя результаты пунктов «а» и «б».
Детальный разбор примеров задач
Применим теорию к реальным экзаменационным задачам, которые часто вызывают затруднения.
Тригонометрическое уравнение
Условие:
а) Решите уравнение $2 \cos^2 \left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3} \sin x$.
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\, 4\pi\right]$.
Шаг 1. В левой части есть формула приведения. Косинус суммы меняется на синус, а так как функция возводится в квадрат, знак результата всегда будет положительным. Уравнение принимает вид:
$2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin x$.
Шаг 2. Перенеси слагаемые в одну сторону и вынеси общий множитель:
$2 \sin^2 x-\sqrt{3} \sin x = 0$,
$\sin x (2 \sin x-\sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
- Первый случай: $\sin x = 0$. Отсюда получаем серию корней $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
- Второй случай: $2 \sin x-\sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Эта функция даёт две серии: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4. Выполни отбор с помощью тригонометрической окружности. Черти окружность. Отметь границы отрезка: $\dfrac{5\pi}{2}$ на верхней полуоси и $4\pi$ на правой. Заштрихуй дугу от меньшего значения к большему против часовой стрелки.
Шаг 5. Теперь переносим найденные серии точек. Серия $\pi k$ попадает на горизонтальную ось слева и справа. В заданный отрезок входят точки $3\pi$ и $4\pi$.
Шаг 6. Серия $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ не попадает на заштрихованную область.
Шаг 7. Точка из серии $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m$ ложится прямо на нужную дугу во второй четверти. Вычисляем её точное значение: $2\pi + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{8\pi}{3}$.
Ответ:
а) $\pi k; \, \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n; \, \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m$, где $k, n, m \in \mathbb{Z}$.
б) $\dfrac{8\pi}{3}; \, 3\pi; \, 4\pi$.
Отбор корней по окружности
Смешанное уравнение с логарифмом
Условие:
а) Решите уравнение $3 \log_8^2 (\sin x)-5 \log_8 (\sin x)-2 = 0$.
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$.
Шаг 1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Записываем условие: $\sin x > 0$.
Шаг 2. Пусть $\log_8 (\sin x) = t$. Получаем квадратное уравнение:
$3t^2-5t-2 = 0$.
Дискриминант: $D = 25-4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49$.
Корни: $t_1 = 2, \, t_2 =-\dfrac{1}{3}$.
Шаг 3.
- Первый случай: $\log_8 (\sin x) = 2$, значит $\sin x = 64$. Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не превышает единицу.
- Второй случай: $\log_8 (\sin x) =-\dfrac{1}{3}$. По определению логарифма: $\sin x = 8^{-\frac{1}{3}}$. Так как $8 = 2^3$, получаем $\sin x = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$.
Шаг 4. Полученное значение синуса положительно, начальное ограничение соблюдается. Записываем решение для пункта «а»:
$x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$,
$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5. Проверим первую серию. Подставим её в границы отрезка:
$-\dfrac{7\pi}{2} \le \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \le-2\pi$ (разделим всё на $\pi$),
$-\dfrac{21}{6}-\dfrac{1}{6} \le 2k \le-\dfrac{12}{6}-\dfrac{1}{6}$,
$-\dfrac{22}{6} \le 2k \le-\dfrac{13}{6}$,
$-\dfrac{22}{12} \le k \le-\dfrac{13}{12}$.
В промежутке от $-1\dfrac{10}{12}$ до $-1\dfrac{1}{12}$ нет целых чисел.
Подходящих корней здесь нет.
Шаг 6. Проверим вторую серию:
$-\dfrac{7\pi}{2} \le \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n \le-2\pi$,
$-\dfrac{21}{6}-\dfrac{5}{6} \le 2n \le-\dfrac{12}{6}-\dfrac{5}{6}$,
$-\dfrac{26}{6} \le 2n \le-\dfrac{17}{6}$,
$-\dfrac{26}{12} \le n \le-\dfrac{17}{12}$,
В промежутке от $-2\dfrac{2}{12}$ до $-1\dfrac{5}{12}$ единственное целое число — это $n =-2$.
Подставляем его в начальную серию: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-2) = \dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{24\pi}{6} =-\dfrac{19\pi}{6}$.
Ответ:
а) $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k; \, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
б) $-\dfrac{19\pi}{6}$.
Показательное уравнение
Условие:
а) Решите уравнение $8^x-9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\, \log_5 20]$.
Шаг 1. Представим все элементы через основание $2$:
$2^{3x}-9 \cdot 2 \cdot 2^x + \dfrac{2^5}{2^x} = 0$,
$2^{3x}-18 \cdot 2^x + \dfrac{32}{2^x} = 0$.
Шаг 2. Пусть $2^x = t$, при этом $t > 0$.
Получаем уравнение: $t^3-18t + \dfrac{32}{t} = 0$. Умножим выражение на $t$, опираясь на условие $t > 0$:
$t^4-18t^2 + 32 = 0$.
Шаг 3. Сделаем замену $y = t^2$, где $y > 0$. По теореме Виета для уравнения $y^2-18y + 32 = 0$ корнями будут числа $16$ и $2$.
Шаг 4. Возвращаемся к параметру $t$:
- $t^2 = 16 \Rightarrow t = 4$ (отрицательный корень $-4$ не подходит под условие $t > 0$).
- $t^2 = 2 \Rightarrow t = \sqrt{2}$.
Шаг 5.
- $2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$.
- $2^x = \sqrt{2} \Rightarrow 2^x = 2^{0{,}5} \Rightarrow x = 0{,}5$.
Шаг 6. Нужно определить, входят ли числа $2$ и $0{,}5$ в диапазон $[\log_5 2;\, \log_5 20]$.
Шаг 7. Используем свойства логарифмов:
- Число $0{,}5$ можно записать как $\log_5 5^{0{,}5}$ или $\log_5 \sqrt{5}$. Корень из пяти больше двух, значит $\log_5 \sqrt{5} > \log_5 2$. При этом $\sqrt{5}$ меньше $20$, значит граница соблюдена. Корень $0{,}5$ подходит.
- Число $2$ можно представить как $\log_5 5^2$ или $\log_5 25$. Так как $25$ больше $20$, этот логарифм выпадает за правую границу диапазона. Корень $2$ не подходит.
Ответ:
а) $0{,}5; \, 2$.
б) $0{,}5$.
Типичные ошибки при оформлении
Различай вычислительные и математические ошибки. Согласно критериям оценки, за ошибку в арифметике (например, неверное сложение) теряется один балл. Если же перепутаны знаки в формулах приведения, это считается грубым нарушением математического аппарата, и вся задача оценивается в ноль баллов.
Чтобы не терять баллы, соблюдай следующие правила оформления:
- Не используй аббревиатуру ОДЗ. Ошибочно писать словосочетание «ОДЗ» и указывать только часть ограничений (например, учесть корень, но забыть про знаменатель). Эксперт поставит ноль баллов. Как нужно делать: использовать слово «Ограничения» или просто записывать систему условий без лишних слов.
- Не теряй корни. Ошибочно сокращать (делить) обе части уравнения на синус или косинус без проверки того факта, что переменная может равняться нулю. Как нужно делать: всегда переносить слагаемые в одну сторону и выносить функцию за скобку.
- Используй разные буквы параметра. Ошибочно в системах уравнений, где нужно найти пересечение решений, писать везде букву $k$. Как нужно делать: для разных тригонометрических серий в одной системе использовать разные буквы ($k, n, m$).
- Не пиши голый ответ при отборе. Ошибочно начертить окружность, не выделить дугу и просто написать три итоговых числа. Как нужно делать: выделить нужный кусок окружности, подписать его начало и конец, проставить точки и рядом написать арифметические расчёты для их получения.
- На тригонометрической окружности подписывай пересчитанные значения точек, которые соответствуют нужному витку спирали из пункта «б».
- Обязательно штрихуй дугу, по которой ищешь ответ, и отмечай её края. Рисунок без выделенной области поиска признаётся необоснованным методом.
Самопроверка
Проверь себя, ответив на вопросы без подглядывания в теорию.
Вопрос 1. В уравнении получена серия ответов $\dfrac{\pi}{4} + \pi n$. В ответе к пункту «а» не указано, что параметр принадлежит целым числам. Зачтут ли это решение?
Нет. Если не указать множество целых чисел, баллы снизят до нуля.
Вопрос 2. При отборе корней через окружность заштрихована верная область, найдено правильное итоговое число, но не подписана одна из границ дуги. Сохранится ли балл за пункт «б»?
Балл будет потерян. Рисунок без подписанных границ интервала считается необоснованным решением.
Вопрос 3. В бланке написано слово «ОДЗ», указано условие неравенства знаменателя нулю, а ограничение для логарифма пропущено. Что решит комиссия?
Комиссия поставит ноль баллов за задачу. Под аббревиатурой нужно выписывать абсолютно все ограничивающие условия без исключений.
Заключение
После изучения этого материала можно уверенно приступать к решению тригонометрических и смешанных уравнений. Теперь ты понимаешь логику оформления сложной задачи: умеешь грамотно фиксировать ограничения, обосновывать шаги решения и корректно использовать метод тригонометрической окружности. Чтобы закрепить навык, советуем решить 5–7 примеров задания № 13 из нашего банка задач ЕГЭ, уделяя основное внимание записям в чистовике.
