Тема последовательностей и прогрессий часто встречается в заданиях профильного ЕГЭ по математике. Ошибки здесь обычно возникают из-за сложного условия и путаницы в формулах с индексами. Разберём, как отличать арифметическую прогрессию от геометрической и как применять математические модели на практике. Изучение этой темы поможет уверенно решать базовые текстовые задачи и справляться со сложным заданием 19.
Базовые понятия
Разберём основные термины.
Числовой последовательностью называют функцию, которая задана на множестве натуральных чисел.
Это ряд чисел, где каждое стоит на своём чётком месте: первое, второе, сто двадцать пятое и так далее. Сами эти числа называют членами последовательности.
В школьной программе используются два вида таких рядов.
Арифметическая прогрессия
Арифметическая модель работает через сложение. Это ряд чисел, где каждый следующий элемент получается прибавлением одного и того же значения к предыдущему. Добавляемое число называют разностью прогрессии и обозначают буквой $d$.
Если представить ступеньки одинаковой высоты, то при подъёме высота каждого нового шага остаётся постоянной.
Формула n-го члена:
$a_n = a_1 + d(n-1)$
Формула суммы первых n членов помогает вычислить результат без сложения элементов по одному:
$S_n = \dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Геометрическая прогрессия
Геометрическая модель работает через умножение. Это числовая последовательность отличных от нуля чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на одно и то же число. Множитель называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой $q$.
В этой прогрессии происходит резкий рост или резкое падение значений.
Формула n-го члена:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
Алгоритм решения текстовых задач
Чтобы не теряться при виде объёмного условия, используй следующую схему:
- Внимательно прочитай условие и найди слова-маркеры. Фразы «на одно и то же число больше» говорят про арифметическую модель, а слова «в одинаковое число раз больше» указывают на геометрическую.
- Запиши всё, что дано по условию, в виде математических обозначений: первый член, разность, количество элементов, итоговая сумма.
- Определи, какую величину нужно найти.
- Запиши соответствующую формулу и подставь в неё известные значения.
- Реши полученное уравнение.
- Выполни проверку. Количество элементов всегда должно быть натуральным числом.
Разбор текстовой задачи профильного ЕГЭ
Закрепим теорию на практике. Решим базовую задачу.
Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
Шаг 1. Фраза «увеличивая норму на одно и то же число» означает, что перед нами арифметическая прогрессия.
Шаг 2. Составим краткую запись. Общая масса щебня — это сумма перевезённого за все дни: $S_n = 60$. Количество дней: $n = 8$. Работа в первый день: $a_1 = 4$.
Шаг 3. Нужно найти работу за пятый день, то есть вычислить $a_5$.
Шаг 4. Воспользуемся формулой суммы: $S_8 = \dfrac{2a_1 + d(8-1)}{2} \cdot 8$.
Шаг 5. Подставляем известные значения: $60 = \dfrac{2 \cdot 4 + 7d}{2} \cdot 8$.
Шаг 6. Упрощаем уравнение: $60 = (8 + 7d) \cdot 4$.
Шаг 7. Раскрываем скобки или делим обе части на 4. Получаем: $15 = 8 + 7d$. Отсюда $7d = 7$, следовательно, $d = 1$. Значит, грузовик прибавлял по одной тонне каждый день.
Шаг 8. Теперь находим пятый день по формуле n-го члена: $a_5 = a_1 + d(5-1) = 4 + 1 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8 тонн.
Разбор задания 19 из профильного ЕГЭ
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (при этом n больше или равно 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Решение пункта «а»
Шаг 1. В первом пункте обычно требуется привести пример. Если пример существует, ответ положительный. Нам нужна арифметическая модель из различных натуральных чисел с итоговой суммой 14.
Шаг 2. Попробуем взять последовательность, начиная с двойки и с шагом один. Сумма первых четырёх элементов: 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Условие выполняется.
Ответ: да, может.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Известно, что сумма строго меньше 900. Чтобы количество элементов n получилось максимально большим, сами элементы должны быть минимальными. Наименьшее натуральное число равно единице, поэтому возьмём $a_1 = 1$.
Шаг 2. Слово «различные» в условии означает, что шаг прогрессии не может быть равен нулю. Наименьший натуральный шаг равен единице, поэтому возьмём $d = 1$.
Шаг 3. Записываем формулу суммы для этих минимальных параметров: $\dfrac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n < 900$.
Шаг 4. Упрощаем неравенство: $\dfrac{n + 1}{2} \cdot n < 900$.
Шаг 5. Умножаем обе части на 2 и раскрываем скобки: $n^2 + n < 1800$.
Шаг 6. Нужно подобрать ближайшее значение n. Возведём 42 в квадрат, получится 1764. Проверим произведение 42 на 43. Оно равно 1806, что больше 1800. Значит, максимально возможное количество слагаемых ограничивается числом 41.
Ответ: 41.
Решение пункта «в»
Шаг 1. Приравняем формулу суммы к числу 123. $\dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 123$.
Шаг 2. Умножим обе части на 2: $n \cdot (2a_1 + d(n-1)) = 246$.
Шаг 3. Произведение двух множителей равно 246. Поскольку условие требует натуральных величин, число n должно быть целым делителем числа 246. Выпишем все натуральные делители числа 246: 1, 2, 3, 6, 41, 82, 123, 246.
Шаг 4. По условию n должно быть не меньше 3. Выражение в скобках $(2a_1 + d(n-1))$ должно быть больше, чем само значение n.
Шаг 5. Проверим делитель 3. Подставим $n = 3$ в скобки: $2a_1 + 2d = 82$. Упрощаем: $a_1 + d = 41$. Можно найти множество натуральных комбинаций для этого равенства, значит, вариант подходит.
Шаг 6. Проверим делитель 6. Подставим $n = 6$ в скобки: $2a_1 + 5d = 41$. Например, если взять шаг $d = 1$, то $2a_1 = 36$, откуда первый член равен 18. Комбинация существует: вариант подходит.
Шаг 7. Проверим следующий делитель 41. Подставим $n = 41$ в скобки: $2a_1 + 40d = 6$. Поскольку первый элемент и разность равны как минимум единице, левая часть выражения будет равна минимум 42. Равенство шести получить невозможно. Остальные крупные делители проверять бессмысленно.
Ответ: 3 или 6.
Типичные ошибки на экзамене
При решении задач на прогрессии легко потерять баллы из-за невнимательности. Ошибки чаще всего допускают в следующих моментах:
- Игнорирование ограничений. Всегда подчёркивай слова «натуральные» или «различные» в бланке. Если числа различные, разность не может равняться нулю. Если натуральные, нельзя использовать дроби или отрицательные значения. Обязательно проверяй свои уравнения на соответствие этим ограничениям.
- Неверный подсчёт количества элементов. Если нужно посчитать, сколько элементов стоят между пятым и пятнадцатым включительно, правильный ответ не 10, а 11. Чтобы узнать точное число членов, нужно вычесть порядковые номера и прибавить единицу.
- Путаница в операциях. Делай секундную самопроверку логики. Если числа растут равномерно, используй сложение (арифметическая прогрессия). Если значения стремительно увеличиваются, применяй умножение (геометрическая прогрессия).
Практика для самопроверки
Реши три задачи самостоятельно, чтобы закрепить материал, а затем сверься с ответами.
Задание 1. В арифметическом ряду первый элемент равен 10, а шаг равен 3. Найди седьмой элемент.
Задание 2. Вычисли сумму первых пяти элементов, если мы начинаем с 2, а шаг равен 4.
Задание 3 (уровень задания 19 ЕГЭ). На доске выписано 30 различных натуральных чисел. Каждое из них чётное. Сумма всех элементов равна 810. Могли ли самые маленькие выписанные числа начинаться с двойки и идти подряд с шагом 2?
Решение задания 1
Применяем формулу n-го члена: $a_7 = 10 + 3 \cdot (7-1) = 28$.
Ответ: 28.
Решение задания 2
Используем формулу суммы: $S_5 = \dfrac{2 \cdot 2 + 4 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5 = 50$.
Ответ: 50.
Решение задания 3
Шаг 1. Найдём минимально возможную сумму 30 различных чётных натуральных чисел. Это арифметическая прогрессия со стартовым значением $a_1 = 2$ и шагом $d = 2$.
Шаг 2. Применяем формулу суммы: $S_{30} = \dfrac{2 \cdot 2 + 2 \cdot (30-1)}{2} \cdot 30$, $S_{30} = \dfrac{4 + 58}{2} \cdot 30 = 930$.
Шаг 3. Минимально возможная сумма равна 930, что значительно превышает 810. Значит, условие невыполнимо.
Ответ: нет.
Заключение
Теперь ты умеешь решать задачи на последовательности и прогрессии из базовой части и подступаться к заданию 19 профильного ЕГЭ по математике.
Для успешного решения заданий на реальном экзамене:
- определяй тип последовательности перед выбором формулы;
- выписывай известные параметры в виде списка;
- контролируй ограничения на натуральность и целочисленность;
- при выполнении задания 19 тестируй простейшие ряды для ответа на пункт «а» и формулы крайних значений для остальных пунктов.
Рекомендуем закрепить тему и решить 8–10 разнотипных задач на арифметические и геометрические свойства из банка заданий ЕГЭ.
