Разложение на множителей в тригонометрических уравнениях

• в чём кроется главная идея метода разложения на множители,
• универсальный пошаговый алгоритм для решения любого подобного уравнения,
• детальный пример с решением заданий из реального экзамена,
• типичные ошибки учеников и способы их избежать,
• мини-тест для самостоятельной проверки знаний.

Главная цель метода — собрать все элементы уравнения с одной стороны от знака равенства, оставив с другой стороны нуль. После этого полученное выражение нужно представить в виде произведения двух или более скобок.

Если записать это формулой, то уравнение вида $f(x)g(x)=0$ распадается на два независимых сценария:

1. Либо $f(x)=0$.
2. Либо $g(x)=0$.

Чаще всего для создания нужных скобок применяют вынесение общего множителя, объединение элементов в группы или формулы сокращённого умножения. Чтобы элементы стали одинаковыми, предварительно используют формулы приведения или формулы двойного угла.

Чтобы не запутаться во время экзамена, достаточно запомнить чёткую последовательность действий. Этот алгоритм можно применять пошагово к абсолютному большинству задач № 13.

1. Перенос всех элементов. Собери все слагаемые в левой части уравнения, чтобы справа остался только нуль.
2. Замена аргументов. Если углы внутри функций разные, приведи их к одному виду. Для этого отлично подходят формулы двойного угла. Углы с добавлением долей числа необходимо преобразовать с помощью формул приведения.
3. Поиск общего элемента. Найди функцию, которая повторяется в нескольких слагаемых, и вынеси её за скобки.
4. Расщепление уравнения. Приравняй каждый полученный множитель к нулю по отдельности.
5. Решение и проверка. Реши получившиеся простейшие тригонометрические уравнения и сверь ответы с областью допустимых значений, если в исходном задании были дроби или корни.

Пример номер один — использование двойного угла

Условие. Решите уравнение $2\sin x \cos x = \sin x$.

Решение

Шаг 1. Переносим синус из правой части в левую с противоположным знаком. Получаем: $2\sin x \cos x -\sin x = 0$.

Шаг 2. Мы видим, что функция синуса есть в обоих слагаемых. Выносим её за общую скобку: $\sin x(2\cos x -1) = 0$.

Шаг 3. Теперь приравниваем к нулю каждый множитель. Первый сценарий: $\sin x = 0$. Второй сценарий: $2\cos x -1 = 0$.

Шаг 4. Из первого уравнения сразу получаем ответ: $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. Во втором уравнении переносим единицу и делим на два. Получаем $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}, \quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку в исходном выражении нет тангенсов, корней или знаменателей, область допустимых значений включает все действительные числа. Все корни смело записываем в ответ.

Пример номер два: комбинация с формулами приведения

Решите уравнение $2\cos^2\!\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt3\sin x$.

Решение

Шаг 1. Внутри косинуса находится сумма угла и выражения $\dfrac{3\pi}{2}$. Применяем правило приведения: функция меняется с косинуса на синус. Угол $\dfrac{3\pi}{2} + x$ находится в четвёртой четверти, где исходный косинус положителен. Значит, знак перед новой функцией оставляем прежним. Если бы знак и поменялся, квадрат всё равно сделал бы его положительным. Преобразованное выражение принимает вид: $2\sin^2 x$.

Шаг 2. Переписываем уравнение целиком, перенося правую часть влево:

Шаг 3. Общим множителем здесь выступает $\sin x$. Выносим его:

Шаг 4. Приравниваем каждую часть к нулю. Первая часть: $\sin x = 0$. Отсюда $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. Вторая часть: $2\sin x -\sqrt3 = 0$. Выражаем функцию: $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$. Такое значение даёт нам две серии корней. $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

Все три полученные серии корней являются итоговым ответом для пункта «а».

Ответ: $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}, \quad x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

Пример номер три: скрытый минус и двойной угол

Решите уравнение $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) = \sqrt{2}\sin x$.

Решение

Шаг 1. Имеем аргумент $\dfrac{\pi}{2} + 2x$. Наличие $\dfrac{\pi}{2}$ означает, что косинус меняется на синус. Угол попадает во вторую четверть, где косинус отрицательный. Появляется знак минус. Получаем: $-\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$.

Шаг 2. Перенесём все функции в левую часть: $-\sin 2x -\sqrt{2}\sin x = 0$.

Шаг 3. Ради удобства домножим всё на минус единицу, чтобы работать с положительными значениями: $\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 0$.

Шаг 4. Раскладываем синус двойного угла по стандартной формуле:

Шаг 5. Вновь выносим синус за скобки: $\sin x(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$.

Шаг 6. Первый множитель: $\sin x = 0$, следовательно $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. Второй множитель: $2\cos x + \sqrt{2} = 0$. Переносим число и делим на два. Получаем косинус $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Ответом будут углы во второй и третьей четвертях: $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$ и $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

Все ответы полностью правильные и готовы к записи в чистовик.

Ответ: $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}, \quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}, \quad x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi m, \, m \in \mathbb{Z}$.

Знать правильный алгоритм важно, но ещё важнее понимать, где именно ученики теряют баллы.

Ловушка 1. Сокращение на функцию. На экзамене часто совершают ошибку: видят одинаковый косинус слева и справа и просто зачёркивают его. Как нельзя и как нужно:

• Нельзя делить обе части на $\cos x$. При таком действии ты теряешь целую ветку ответов, когда $\cos x = 0$.
• Нужно всё перенести в одну сторону и вынести этот косинус за скобку.

Ловушка 2. Потеря знака при формулах приведения. Очень часто функцию меняют на родственную, но забывают определить знак исходной четверти. Как нельзя и как нужно:

• Нельзя смотреть четверть по новой написанной функции.
• Нужно определять знак строго по первоначальной функции, которая была дана в условии до всех изменений.

Ловушка 3. Игнорирование знаменателей и подкоренных выражений. Если приравнять множитель к нулю, не оглядываясь на соседей по уравнению, можно записать в ответ посторонний корень. Как нельзя и как нужно:

• Нельзя записывать в ответ значения, при которых косинус равен нулю, если в исходном уравнении присутствует тангенс (ведь тангенс — это деление на косинус).
• Нужно выписывать ОДЗ в самом начале решения или делать обязательную проверку полученных корней подстановкой.

Закрепи полученный материал, найди следующий правильный шаг для предложенного уравнения.

Задание для проверки. Ты решаешь уравнение $\sin 2x + \cos x = 0$. Каким будет следующее корректное действие?

Варианты: А) Разделить всё на $\cos x$. Б) Перенести косинус вправо и сократить. В) Расписать синус двойного угла и вынести общий косинус за скобку.

Теперь ты умеешь решать тригонометрические уравнения методом разложения на множители. Ты знаешь, как применять формулы приведения и двойного угла, чтобы найти общий множитель, и понимаешь, почему нельзя делить обе части уравнения на функцию. Чтобы закрепить навык, советуем решить 5–7 подобных задач из банка ЕГЭ. Внимательность и последовательность — твои лучшие помощники на пути к высоким баллам.