Разберём задание 15 из профильного ЕГЭ по математике. Баллы за это задание часто теряют из-за некорректной записи решения. Эксперты строго оценивают логику переходов, обоснования и работу с ограничениями. Пропуск одного важного шага приведёт к потере всех баллов даже при верном ответе. После прочтения статьи ты научишься правильно оформлять решение неравенств и не дашь экзаменаторам повода снизить оценку.
Базовые правила оформления
Чтобы успешно справляться с неравенствами, нужно применять математические правила и грамотно фиксировать свои действия на бланке.
Ограничения на переменную
Аббревиатура ОДЗ расшифровывается как область допустимых значений. На экзамене использование этой аббревиатуры может привести к потере баллов. Если написать «ОДЗ» и забыть выписать хотя бы одно условие существования выражения, эксперт поставит ноль баллов. Безопаснее писать фразу «ограничения на переменную» или сразу объединять все условия в соответствующую систему.
Метод интервалов
При решении неравенств методом интервалов соблюдай чёткий порядок:
- Перенеси все элементы в левую часть, чтобы справа остался ноль.
- Приведи выражение к общему знаменателю и разложи на простые множители.
- Найди нули числителя и знаменателя.
- Выдели на числовой прямой точки и расставь знаки каждого промежутка.
Помни про кратность корней. Если корень встречается чётное количество раз, знак при переходе через него сохраняется. Если нечётное — меняется на противоположный.
Точки на координатной прямой
При использовании метода интервалов различай виды точек на числовой прямой. При строгих знаках все точки выколотые. При нестрогих знаках корни из числителя нужно отмечать закрашенными точками, а корни из знаменателя — строго выколотыми. На ноль делить нельзя ни при каких обстоятельствах, поэтому корень знаменателя, отмеченный закрашенной точкой, считается грубой ошибкой.
Метод рационализации
Текстовое пояснение обязательно при применении метода рационализации для логарифмических или показательных функций. Достаточно написать предложение: «Перейдём к равносильной системе, применяя метод рационализации». Без такой пометки математический переход считается необоснованным.
Пошаговый алгоритм решения
Двигайся по чёткому шаблону, чтобы не запутаться во время экзамена. Каждое действие логически вытекает из предыдущего:
- Запиши исходное условие.
- Выпиши систему ограничений на переменную и реши её, чтобы найти допустимые промежутки.
- Выполни алгебраические преобразования. Применяемые приёмы обозначай текстовыми пояснениями.
- Реши полученное упрощённое неравенство.
- Найди пересечение решения с ограничениями на общей числовой прямой.
- Запиши финальный ответ и проверь виды скобок у интервалов.
Разбор типичных неравенств
Посмотрим, как алгоритм работает на практике. Для проверки знаний постарайся сначала решить задания самостоятельно, а затем сверяйся с разбором.
Решите неравенство: $\log_2(x^2−4) \leqslant \log_2(3x)$.
Шаг 1. Начни с ограничений. Выражения под знаком логарифма обязаны быть строго положительными. Запиши систему из двух условий: $x^2−4 > 0$ и $3x > 0$.
Шаг 2. Реши систему. Из первого неравенства получаются два промежутка: $x 2$. Из второго выходит $x > 0$. Пересечение интервалов даёт итоговое ограничение: $x > 2$.
Шаг 3. Переходи к основному неравенству. Основания логарифмов одинаковые и больше единицы. Знаки логарифма можно опустить без смены знака неравенства: $x^2−4 \leqslant 3x$.
Шаг 4. Перенеси слагаемые в левую часть: $x^2−3x−4 \leqslant 0$. Корни соответствующего уравнения — числа $−1$ и $4$. Парабола направлена ветвями вверх, по условию нужна часть графика ниже оси абсцисс. Решением квадратного неравенства будет отрезок $[−1; 4]$.
Шаг 5. Наложи полученный отрезок на ограничение $x > 2$.
Решение неравенства на координатной прямой
Ответ: $(2; 4]$. Круглая скобка около двойки ставится из-за строгого ограничения, а квадратная около четвёрки обусловлена нестрогим знаком исходного неравенства.
Решите неравенство: $\frac{x^2−5x + 6}{x−1} \leqslant 0$.
Шаг 1. Ограничением выступает знаменатель: $x−1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
Шаг 2. Найди корни числителя. Приравняй выражение $x^2−5x + 6$ к нулю и реши квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант. Получатся числа $2$ и $3$.
Шаг 3. Начерти координатную прямую. Отметь корни числителя $2$ и $3$ закрашенными точками, так как знак неравенства нестрогий. Корень знаменателя $1$ отметь выколотой точкой.
Шаг 4. Расставь знаки на четырёх получившихся интервалах. При подстановке большого числа из крайнего правого интервала получается плюс. Далее знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус. Выбирай промежутки со знаком минус.
Решение неравенства на координатной прямой
Ответ: $(−\infty; 1) \cup [2; 3]$. Единица выколота, поэтому не включена в интервал.
Решите неравенство: $4^x−5 \cdot 2^x + 4 \geqslant 0$.
Шаг 1. Явных ограничений на переменную $x$ нет, показатель степени может быть любым. Введи замену: $t = 2^x$. Показательная функция строго положительна, поэтому обязательно укажи условие $t > 0$.
Шаг 2. Перепиши исходное неравенство через переменную $t$: $t^2−5t + 4 \geqslant 0$.
Шаг 3. Корни соответствующего квадратного уравнения — числа $1$ и $4$. Отметь их закрашенными точками на числовой прямой и расставь знаки. Подходят два интервала: $t \leqslant 1$ или $t \geqslant 4$. С учётом введённого ограничения $t > 0$ первая ветка принимает вид $0 < t \leqslant 1$.
Решение неравенства на координатной прямой
Шаг 4. Выполни обратную замену.
Первая ветка: $2^x \leqslant 1$. Единица — это $2^0$. Основание больше единицы, поэтому знак неравенства сохраняется: $x \leqslant 0$.
Вторая ветка: $2^x \geqslant 4$. Четвёрка — это $2^2$. Получается $x \geqslant 2$.
Ответ: $(−\infty; 0] \cup [2; +\infty)$.
Типичные ошибки оформления
Разберём частые ошибки, чтобы случайно не потерять баллы на экзамене:
- Игнорирование корней знаменателя. Нельзя ставить закрашенную точку на корне из нижней части дроби даже в том случае, если исходное неравенство нестрогое. Корень знаменателя должен оставаться выколотым.
- Умножение на переменную. Нельзя избавляться от знаменателя умножением левой и правой части на неизвестное выражение. Слагаемые переносят в левую часть и приводят к общему знаменателю. Знак выражения с переменной неизвестен, поэтому прямое умножение приведёт к неверному решению или потере баллов за обоснование.
- Умножение на отрицательное число. При делении или умножении неравенства на любое отрицательное число знак математического неравенства обязательно переворачивается на противоположный.
- Подстановка чисел для ответа. Нельзя подставлять числа из полученных в конце интервалов напрямую в логарифм вместо решения ограничений. Эксперты сочтут метод подстановки логической ошибкой. Сначала строго решают систему ограничений, а затем пересекают её с готовым ответом алгебраической части.
Самопроверка
Ответь на несколько вопросов, чтобы закрепить материал:
- Какими точками отмечаются корни знаменателя на координатной прямой при знаке $\geqslant$?
- Какое словосочетание лучше использовать вместо аббревиатуры ОДЗ?
- Что произойдёт с баллами за задание 15 ЕГЭ, если выписать не все условия существования логарифма?
- Только выколотыми.
- Фраза «ограничения на переменную».
- Эксперт выставит $0$ баллов за всё задание.
Заключение
Теперь ты умеешь правильно оформлять решение задания 15 профильного ЕГЭ по математике. Понимание разницы между ОДЗ и выписыванием ограничений, умение работать с точками на координатной прямой и применять подходящие алгебраические методы позволят избежать потери баллов за оформление. Ты знаешь, как выстраивать пошаговое обоснованное решение: от анализа исходного условия до пересечения итоговых интервалов. Регулярная отработка этого алгоритма на неравенствах из банка ЕГЭ поможет уверенно справиться со второй частью экзамена.
