Симметричные решения в задачах с параметрами: ЕГЭ № 18

1. Что такое инвариантность

Уравнение называется инвариантным относительно преобразования, если после этого преобразования оно не меняется. Самое частое преобразование — замена $x$ на $-x$ (чётность).

Пример: $x^2 + \sin x$ — не чётно и не нечётно, а $x^4 + \cos x$ — чётно.

Если уравнение $f(x) = 0$ инвариантно относительно $x \to −x$, то у него есть важное свойство: если $x_0$ — корень, то и $−x_0$ — корень.

Следствие: если требуется единственный корень, то этим корнем может быть только $x = 0$ (иначе корней будет два).

Аналогично для систем: если система инвариантна относительно замены $x \leftrightarrow y$, то при единственном решении должно быть $x = y$.

2. Лайфхак: как увидеть симметрию

• Чётность: ищем $x^2$, $x^4$, $\cos x$, $|x|$, константы.
• Замена $x \to −x$ и $a \to a$ (параметр не меняется).
• В системах: поменяй местами $x$ и $y$. Если уравнения переходят друг в друга — система симметрична.
• Если в уравнении $x$ и $a$ связаны несимметрично, но замена $x \to k − x$ даёт инвариантность — тоже полезно.

Важно: параметр при преобразовании должен оставаться неизменным.

3. Пошаговый план решения задач на единственность корня

1. Проверить инвариантность относительно $x \to −x$ (или $x \to a − x$, или перестановки переменных).
2. Если инвариантность есть, то единственное решение возможно только на оси симметрии (например, $x = 0$ или $x = y$).
3. Подставить это условие в исходное уравнение, найти значения параметра.
4. Проверить, действительно ли при найденных $a$ исходное уравнение/система имеет ровно один корень (иногда при $x = 0$ решений два из-за других симметрий).

4. Разбор задач

Задача 1: симметрия $x \to 2 − x$

Уравнение:

Шаг 1. Инвариантность

Сделаем замену $t = x − 1$ (или заметим: замена $x \to 2 − x$ переводит $3^x$ в $3^{2−x}$ и наоборот). Левая часть не меняется при $x \to 2 − x$. Значит, если $x_0$ — корень, то $2 − x_0$ — тоже корень.

Шаг 2. Единственность

Чтобы корень был один, нужно $x_0 = 2 − x_0 \Rightarrow x_0 = 1$.

Шаг 3. Подстановка $x = 1$

Левая часть: $3^1 + 3^1 = 3 + 3 = 6$.

Уравнение: $6 = a^2 − 6a + 11 \Rightarrow a^2 − 6a + 5 = 0 \Rightarrow a = 1$ или $a = 5$.

Шаг 4. Проверка

При $a = 1$: правая часть $1 − 6 + 11 = 6$. Уравнение: $3^x + 3^{2−x} = 6$.

Известно, что $3^x + 3^{2−x} \geq 2\sqrt{3^x \cdot 3^{2−x}} = 2\sqrt{9} = 6$, равенство при $3^x = 3^{2−x} \Rightarrow x = 1$. Значит, единственный корень.

При $a = 5$: правая часть $25 − 30 + 11 = 6$ — то же самое. Даёт $x = 1$.

Ответ: $a = 1$, $a = 5$.

Задача 2: чётность по $x$

Заметим: $\sin(\cos x)$ — чётная функция, так как $\cos x$ чётный. $x^2$ — чётная. Всё выражение чётно по $x$. Значит, при замене $x \to −x$ уравнение не меняется.

Единственный корень → корень $x = 0$.

Подставляем $x = 0$: $0 − 4a \cdot \sin(\cos 0) + a^2 = −4a \cdot \sin 1 + a^2 = 0 \Rightarrow a(a − 4\sin 1) = 0$.

$a = 0$ или $a = 4\sin 1$.

Проверка

• При $a = 0$: $x^2 = 0$ → корень $x = 0$ единственный.
• При $a = 4\sin 1$: уравнение $x^2 − 16\sin 1 \cdot \sin(\cos x) + 16\sin^2 1 = 0$. Заметим: $x^2 + 16\sin^2 1 \geq 16\sin^2 1$, а $16\sin 1 \cdot \sin(\cos x) \leq 16\sin^2 1$, равенство лишь при $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$. При $k = 0$ — $x = 0$, при $k \neq 0$ — $x^2$ большое, равенства нет. Значит, только $x = 0$.

Ответ: $a = 0$, $a = 4\sin 1$.

Задача 3 (симметрия $|x − d| + |x + d|$)

Обозначим $d = a − 3$. Тогда $x^2 + d^2 = |x − d| + |x + d|$.

Правая часть — чётная функция по $x$ (сумма расстояний до $d$ и $−d$). Левая часть $x^2 + d^2$ тоже чётна. Всё уравнение чётно по $x$.

Единственный корень → $x = 0$.

Подставляем: $0 + d^2 = |−d| + |d| = 2|d|$.

$d^2 = 2|d| \Rightarrow |d| \cdot (|d| − 2) = 0 \Rightarrow |d| = 0$ или $|d| = 2$.

Возвращаемся к $a$:

• $|a − 3| = 0 \Rightarrow a = 3$
• $|a − 3| = 2 \Rightarrow a = 5$ или $a = 1$

Проверка

• $a = 3$: уравнение $x^2 = 2|x| \Rightarrow |x| \cdot (|x| − 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\ \pm 2$ — три корня, не подходит.
• $a = 1$: $d = -2$, уравнение $x^2 + 4 = |x + 2| + |x − 2|$.
  На отрезке $[−2;\ 2]$ правая часть = 4, левая $x^2 + 4$ → равенство только при $x = 0$. Вне отрезка — решений нет.
• $a = 5$: $d = 2$, аналогично, подходит.

Ответ: $a = 1$, $a = 5$.

Задача 4 (симметрия переменных $x$, $y$ в системе)

Система:

Шаг 1. Инвариантность

Поменяем $x$ и $y$ местами. Первое уравнение становится вторым и наоборот. Система симметрична. Значит, в любом решении либо $x = y$, либо решения разбиваются на пары $(x,\ y)$ и $(y,\ x)$.

Шаг 2. Единственность решения

Если решение одно, то возможно: $x = y$ (иначе была бы пара).

Шаг 3. Подстановка $y = x$

Получаем: $x = (a + 2)x^2 + 2ax + a − 1$.

$(a + 2)x^2 + (2a − 1)x + (a − 1) = 0$

Шаг 4. Когда это квадратное уравнение даёт единственное решение $x$ для системы?

Если это уравнение имеет два разных корня $x_1 \neq x_2$, то в системе будут два решения: $(x_1,\ x_1)$ и $(x_2,\ x_2)$. Нам это не подходит.

Значит, нужно, чтобы уравнение имело один корень.

Разберём:

• Если $a + 2 = 0 \Rightarrow a = −2$: уравнение становится линейным: $(−4 − 1)x + (−3) = −5x − 3 = 0 \Rightarrow x = −0{,}6$, одно решение $(−0{,}6;\ −0{,}6)$ — подходит.
• Если $a \neq −2$: дискриминант $D = (2a−1)^2 − 4(a+2)(a−1) = −8a + 9$. При $D = 0 \Rightarrow −8a + 9 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{9}{8}$. Тогда корень один — подходит. При $D > 0$ — два корня по $x$, значит, два решения вида $(x,\ x)$ → не подходит.

Шаг 5. Проверка пар с $x \neq y$. В симметричной системе при $x \neq y$ решения входят парами. Единственное решение невозможно.

Шаг 6. Ответ: $a = −2$ и $a = \dfrac{9}{8}$.

1. Ошибка: забывают проверить, что при найденном $a$ корень действительно единственный (а не несколько). Как избежать: обязательно подставлять $a$ и решать исходное уравнение хотя бы качественно (графически или оценкой).
2. Ошибка: принимают $x = 0$ как единственную возможность, не проверив, есть ли другие симметрии. Как избежать: учитывать, что симметрия может быть относительно $x = m$, тогда единственный корень $x = m$.
3. Ошибка: в системах с перестановкой $x \leftrightarrow y$ считают, что $x = y$ всегда даёт единственное решение. Как избежать: анализировать, сколько корней даёт подстановка $x = y$ в одно уравнение, и отдельно — возможность $x \neq y$.
4. Ошибка: забывают про случай вырождения (коэффициент при старшей степени = 0). Как избежать: всегда рассматривать отдельно параметры, обнуляющие старший коэффициент.

Теперь ты умеешь:

• находить инвариантности в уравнениях и системах;
• использовать симметрию для сведения задачи к одной точке ($x = 0$ или $x = y$);
• проверять единственность корня при найденных значениях параметра;
• избегать подводных камней с вырождением и лишними решениями.

С такими навыками ты сможешь решать задачи ЕГЭ № 18 на симметричные решения, включая те, что были разобраны выше.

Успехов на экзамене! Параметры перестают быть страшными, когда видишь их скрытые закономерности.