Метод координат помогает решать стереометрические задачи ЕГЭ по математике профильного уровня без сложных дополнительных построений. Вместо сечений и долгих геометрических рассуждений фигуру помещают в систему координат, а угол находят через векторы. В статье разберём формулы для угла между векторами, прямыми, прямой и плоскостью, а затем решим три типовых примера. В конце есть блок самопроверки, чтобы закрепить алгоритм.
Как работают координаты
Любую фигуру можно поместить в декартову систему координат. После этого каждая точка получает точный адрес. В пространстве он состоит из трёх координат: $x$, $y$ и $z$.
Когда координаты точек известны, геометрические свойства фигуры можно вычислять через векторы. Главный инструмент — скалярное произведение.
Пусть даны два вектора:
$\vec{a}(x_1; y_1; z_1), \quad \vec{b}(x_2; y_2; z_2).$
Косинус угла $\alpha$ между ними находится по формуле:
$\cos \alpha = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$
Числитель — это скалярное произведение векторов, а знаменатель — произведение их длин.
Угол между двумя прямыми
Прямые в пространстве могут пересекаться или быть скрещивающимися. Угол между прямыми всегда считают острым или прямым, то есть от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Направляющие векторы этих прямых могут образовывать тупой угол. Чтобы знак скалярного произведения не испортил ответ, в формулу добавляют модуль:
$\cos \alpha = \frac{|x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}.$
Если скалярное произведение в числителе равно нулю, прямые перпендикулярны, а угол между ними равен $90^\circ$.
Угол между прямой и плоскостью
Плоскость в пространстве задаётся уравнением:
$Ax + By + Cz + D = 0.$
Коэффициенты $A$, $B$ и $C$ дают координаты вектора нормали:
$\vec{n}(A; B; C).$
Нормаль перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если направляющий вектор прямой имеет координаты $\vec{s}(x_0; y_0; z_0)$, то:
$\sin \alpha = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}}.$
Для угла между двумя прямыми обычно используется косинус, а для угла между прямой и плоскостью — синус.
Углы на координатной плоскости
В задачах повышенного уровня, например в заданиях с параметром, координатный метод на плоскости тоже бывает удобен.
В уравнении прямой
$y = ax + b.$
коэффициент $a$ равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$:
$a = \operatorname{tg} \alpha.$
Если параметр стоит на месте углового коэффициента, задачу часто можно решить через диапазон углов.
Алгоритм решения задач методом координат
Алгоритм:
- Ввести систему координат. Начало координат удобно помещать в вершину прямого угла, центр основания или другую симметричную точку фигуры.
- Найти координаты нужных точек. Координаты выражаются через длины рёбер, высоты, радиусы или другие данные из условия.
- Построить векторы. Для этого из координат конца вектора вычитают координаты его начала.
- Выбрать формулу. Для векторов и прямых используется формула косинуса, для прямой и плоскости — формула синуса.
- Выполнить вычисления. Нужно аккуратно посчитать скалярное произведение, длины векторов и получить угол.
Примеры решения задач
Векторы на координатной плоскости
Условие
Даны векторы $\vec{a}(1; \sqrt{3})$ и $\vec{b}(\sqrt{3}; 1)$. Найдите угол между ними. Ответ дайте в градусах.
Решение
Шаг 1. Применим формулу косинуса угла между векторами. Модуль здесь не нужен, потому что ищется угол именно между векторами, а не между прямыми.
Шаг 2. Найдём числитель: $1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}.$
Шаг 3. Найдём длины векторов:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2,$
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.$
Шаг 4. Подставим значения в формулу:
$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
Значит, $\alpha = 30^\circ.$
Ответ: $30^\circ$.
Стереометрия
Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $1$. Найдите угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$.
Решение
Шаг 1. Введём прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с центром основания пирамиды, точкой $O$. Ось $Ox$ направим параллельно ребру $AD$, ось $Oy$ — параллельно ребру $AB$, ось $Oz$ — вдоль высоты $SO$.
Шаг 2. Так как основание пирамиды — квадрат со стороной $1$, получаем координаты: $A\left(-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{1}{2};\, 0\right),$ $B\left(-\dfrac{1}{2};\, \dfrac{1}{2};\, 0\right),$ $C\left(\dfrac{1}{2};\, \dfrac{1}{2};\, 0\right).$
Высота $SO$ в такой пирамиде равна $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому $S\left(0;\, 0;\, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$
Шаг 3. Найдём направляющие векторы.
Для прямой $SA$ возьмём вектор $\vec{SA}$: $\vec{SA} = \left(-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$
Для прямой $BC$ возьмём вектор $\vec{BC}$: $\vec{BC} = (1; 0; 0).$
Шаг 4. Вычислим скалярное произведение по модулю: $\left|-\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot 0 + \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0\right| = \dfrac{1}{2}.$
Шаг 5. Длина вектора $\vec{SA}$ равна $1$, потому что боковое ребро пирамиды равно $1$. Длина вектора $\vec{BC}$ тоже равна $1$.
Шаг 6. Найдём косинус угла: $\cos \alpha = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}.$
Значит, $\alpha = 60^\circ.$
Ответ: $60^\circ$.
Параметры через координатные углы
Условие
Определите значения параметра $a$, при которых прямая $y = ax$ имеет общие точки с отрезком $MN$, где $M(1; \sqrt{3})$ и $N(\sqrt{3}; 1)$.
Решение
Шаг 1. Прямая $y = ax$ всегда проходит через начало координат. Коэффициент $a$ отвечает за угол наклона $\alpha$ этой прямой: $a = \operatorname{tg} \alpha.$
Шаг 2. Найдём граничный угол для точки $M$.
Если прямая проходит через $M(1; \sqrt{3})$, то $a = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}.$
Такому значению соответствует угол $60^\circ$.
Шаг 3. Найдём граничный угол для точки $N$.
Если прямая проходит через $N(\sqrt{3}; 1)$, то $a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Такому значению соответствует угол $30^\circ$.
Шаг 4. Чтобы прямая пересекала отрезок $MN$, она должна занимать положение между двумя граничными прямыми. Значит, коэффициент $a$ принимает значения от $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ до $\sqrt{3}$ включительно:
$a \in \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};\, \sqrt{3}\right].$
Ответ: $a \in \left[\dfrac{1}{\sqrt{3}};\, \sqrt{3}\right]$.
Типичные ошибки на экзамене
Угол между прямыми находят без модуля
Как нельзя делать: вычислять скалярное произведение направляющих векторов со знаком минус и получать тупой угол.
Как нужно делать: при работе с прямыми брать числитель по модулю. Угол между прямыми должен быть острым или прямым.
Путают косинус и синус
Как нельзя делать: использовать косинус для нахождения угла между прямой и плоскостью.
Как нужно делать: применять формулу с синусом, потому что угол между прямой и плоскостью связан с углом между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.
Ошибаются в координатах с нулями
Как нельзя делать: пропускать координаты, равные нулю, при вычислении длин векторов или скалярного произведения.
Как нужно делать: проверять каждую координату. Нули не меняют сумму, но помогают не перепутать порядок координат.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1
Найдите скалярное произведение векторов $\vec{c}(2;-3; 4)$ и $\vec{d}(0; 5; 1)$.
Задание 2
Известно, что косинус угла между двумя прямыми равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Чему равен угол между ними в градусах?
Задание 3
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $BC$.
Задание 1
$2 \cdot 0 + (-3) \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 0-15+4=-11.$
Ответ: $-11$.
Задание 2
Если $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2},$ то $\alpha = 45^\circ.$
Ответ: $45^\circ$.
Задание 3
Шаг 1. Диагональ $A_1C_1$ параллельна диагонали $AC$ основания куба. Поэтому можно найти угол между $AC$ и $BC$.
Шаг 2. Пусть ребро куба равно $1$. Возьмём направляющие векторы: $\vec{AC} = (1; 1; 0), \, \vec{BC} = (0; 1; 0).$
Шаг 3. Их скалярное произведение: $1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1.$
Шаг 4. Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{2}, \, |\vec{BC}| = 1.$
Шаг 5. Тогда $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Значит, $\alpha = 45^\circ.$
Рисунок к заданию
Ответ: $45^\circ$.
Заключение
Метод координат позволяет заменить сложные построения вычислениями с векторами. Теперь ты знаешь, как вводить координаты в пространственной фигуре, находить направляющие векторы и применять формулы для углов. При нахождении угла между прямыми важно брать модуль скалярного произведения, а для угла между прямой и плоскостью — использовать синус. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на векторы и стереометрию в «100балльном банке».
