Метод координат в математическом пространстве: нахождение углов, теория и разбор заданий

Любую фигуру можно поместить в декартову систему координат. После этого каждая точка получает точный адрес. В пространстве он состоит из трёх координат: $x$, $y$ и $z$.

Когда координаты точек известны, геометрические свойства фигуры можно вычислять через векторы. Главный инструмент — скалярное произведение.

Пусть даны два вектора:

Косинус угла $\alpha$ между ними находится по формуле:

Числитель — это скалярное произведение векторов, а знаменатель — произведение их длин.

Прямые в пространстве могут пересекаться или быть скрещивающимися. Угол между прямыми всегда считают острым или прямым, то есть от $0^{\circ }$ до ${90}^{\circ }$.

Направляющие векторы этих прямых могут образовывать тупой угол. Чтобы знак скалярного произведения не испортил ответ, в формулу добавляют модуль:

Если скалярное произведение в числителе равно нулю, прямые перпендикулярны, а угол между ними равен ${90}^{\circ }$.

Плоскость в пространстве задаётся уравнением:

Коэффициенты $A$, $B$ и $C$ дают координаты вектора нормали:

Нормаль перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если направляющий вектор прямой имеет координаты $\overrightarrow{s}(x_0;y_0;z_0)$, то:

В задачах повышенного уровня, например в заданиях с параметром, координатный метод на плоскости тоже бывает удобен.

В уравнении прямой

коэффициент $a$ равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$:

Если параметр стоит на месте углового коэффициента, задачу часто можно решить через диапазон углов.

Алгоритм:

1. Ввести систему координат. Начало координат удобно помещать в вершину прямого угла, центр основания или другую симметричную точку фигуры.
2. Найти координаты нужных точек. Координаты выражаются через длины рёбер, высоты, радиусы или другие данные из условия.
3. Построить векторы. Для этого из координат конца вектора вычитают координаты его начала.
4. Выбрать формулу. Для векторов и прямых используется формула косинуса, для прямой и плоскости — формула синуса.
5. Выполнить вычисления. Нужно аккуратно посчитать скалярное произведение, длины векторов и получить угол.

Векторы на координатной плоскости

Условие
Даны векторы $\overrightarrow{a}(1;\sqrt{3})$ и $\overrightarrow{b}(\sqrt{3};1)$. Найдите угол между ними. Ответ дайте в градусах.

Решение

Шаг 1. Применим формулу косинуса угла между векторами. Модуль здесь не нужен, потому что ищется угол именно между векторами, а не между прямыми.

Шаг 2. Найдём числитель: $1·\sqrt{3}+\sqrt{3}·1=2\sqrt{3}.$

Шаг 3. Найдём длины векторов:
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2,$
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2.$

Шаг 4. Подставим значения в формулу:
$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{2·2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Значит, $\alpha ={30}^{\circ }.$

Ответ: ${30}^{\circ }$.

Стереометрия

Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны $1$. Найдите угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$.

Решение

Шаг 1. Введём прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с центром основания пирамиды, точкой $O$. Ось $Ox$ направим параллельно ребру $AD$, ось $Oy$ — параллельно ребру $AB$, ось $Oz$ — вдоль высоты $SO$.

Шаг 2. Так как основание пирамиды — квадрат со стороной $1$, получаем координаты: $A(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}};0),$ $B(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}};0),$ $C\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}};0\right).$
Высота $SO$ в такой пирамиде равна ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, поэтому $S\left(0;0;{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right).$

Шаг 3. Найдём направляющие векторы.
Для прямой $SA$ возьмём вектор $\overrightarrow{SA}$: $\overrightarrow{SA}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}).$
Для прямой $BC$ возьмём вектор $\overrightarrow{BC}$: $\overrightarrow{BC}=(1;0;0).$

Шаг 4. Вычислим скалярное произведение по модулю: $|-{\displaystyle \frac{1}{2}}·1+(-{\displaystyle \frac{1}{2}})·0+(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})·0|={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Шаг 5. Длина вектора $\overrightarrow{SA}$ равна $1$, потому что боковое ребро пирамиды равно $1$. Длина вектора $\overrightarrow{BC}$ тоже равна $1$.

Шаг 6. Найдём косинус угла: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1·1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.$
Значит, $\alpha ={60}^{\circ }.$

Ответ: ${60}^{\circ }$.

Параметры через координатные углы

Условие
Определите значения параметра $a$, при которых прямая $y=ax$ имеет общие точки с отрезком $MN$, где $M(1;\sqrt{3})$ и $N(\sqrt{3};1)$.

Решение

Шаг 1. Прямая $y=ax$ всегда проходит через начало координат. Коэффициент $a$ отвечает за угол наклона $\alpha$ этой прямой: $a=tg\alpha .$

Шаг 2. Найдём граничный угол для точки $M$.
Если прямая проходит через $M(1;\sqrt{3})$, то $a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1}}=\sqrt{3}.$

Такому значению соответствует угол ${60}^{\circ }$.

Шаг 3. Найдём граничный угол для точки $N$.
Если прямая проходит через $N(\sqrt{3};1)$, то $a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}.$
Такому значению соответствует угол ${30}^{\circ }$.

Шаг 4. Чтобы прямая пересекала отрезок $MN$, она должна занимать положение между двумя граничными прямыми. Значит, коэффициент $a$ принимает значения от ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ до $\sqrt{3}$ включительно:
$a\in \left[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}};\sqrt{3}\right].$

Ответ: $a\in \left[{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}};\sqrt{3}\right]$.

Угол между прямыми находят без модуля

Как нельзя делать: вычислять скалярное произведение направляющих векторов со знаком минус и получать тупой угол.

Как нужно делать: при работе с прямыми брать числитель по модулю. Угол между прямыми должен быть острым или прямым.

Путают косинус и синус

Как нельзя делать: использовать косинус для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Как нужно делать: применять формулу с синусом, потому что угол между прямой и плоскостью связан с углом между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.

Ошибаются в координатах с нулями

Как нельзя делать: пропускать координаты, равные нулю, при вычислении длин векторов или скалярного произведения.

Как нужно делать: проверять каждую координату. Нули не меняют сумму, но помогают не перепутать порядок координат.

Реши задания самостоятельно, а затем проверь ответы.

Задание 1
Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{c}(2;-3;4)$ и $\overrightarrow{d}(0;5;1)$.

Задание 2
Известно, что косинус угла между двумя прямыми равен ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Чему равен угол между ними в градусах?

Задание 3
В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ найдите угол между прямыми $A_1{C}_1$ и $BC$.

Метод координат позволяет заменить сложные построения вычислениями с векторами. Теперь ты знаешь, как вводить координаты в пространственной фигуре, находить направляющие векторы и применять формулы для углов. При нахождении угла между прямыми важно брать модуль скалярного произведения, а для угла между прямой и плоскостью — использовать синус. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на векторы и стереометрию в «100балльном банке».