Расстояние между скрещивающимися прямыми встречается в стереометрии профильного ЕГЭ по математике, чаще всего в задании № 14. Ошибки в этой теме обычно появляются из-за того, что прямые в пространстве трудно представить на плоском чертеже. Разберём, что такое общий перпендикуляр, как заменять прямые плоскостями и когда удобнее перейти к координатам или объёмам. После статьи ты сможешь выбирать подходящий метод и аккуратно доводить решение до ответа.
Теория
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются и не параллельны друг другу. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Общий перпендикуляр — это отрезок, концы которого лежат на заданных прямых, а сам отрезок перпендикулярен каждой из них. Такой отрезок всегда существует, и он единственный.
На чертеже общий перпендикуляр часто трудно построить напрямую. Поэтому в задачах используют три основных подхода: переход к параллельной плоскости, координаты и объём тетраэдра.
Основные методы
Геометрический метод
Расстояние между прямыми можно заменить расстоянием от точки одной прямой до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой.
Для этого нужно построить плоскость так, чтобы:
- одна из данных прямых лежала в этой плоскости;
- другая прямая была параллельна этой плоскости.
Тогда расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки первой прямой до этой плоскости.
Координатный метод
Если фигура удобна для координат, например это куб, прямоугольный параллелепипед или правильная призма, можно ввести систему координат.
Обычно порядок такой:
- Выбрать начало координат и оси.
- Найти координаты точек, через которые проходят прямые.
- Построить плоскость, содержащую одну прямую и параллельную другой.
- Найти расстояние от точки второй прямой до этой плоскости.
Формула расстояния от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$
Метод объёмов
Если из двух скрещивающихся прямых можно выбрать по отрезку и получить тетраэдр, удобно использовать объём.
Для тетраэдра справедлива формула:
$V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot d \cdot \sin \varphi.$
Здесь:
- $a$ и $b$ — длины отрезков на скрещивающихся прямых;
- $d$ — расстояние между этими прямыми;
- $\varphi$ — угол между прямыми.
Если объём тетраэдра можно найти обычным способом, через площадь основания и высоту, то после этого из формулы легко выразить $d$.
Алгоритм решения
Если в задаче нужно найти расстояние между прямыми в пространстве, действуй по шагам.
- Проверь взаимное расположение прямых. Убедись, что они действительно скрещиваются.
- Посмотри, нет ли очевидного общего перпендикуляра. В кубах, призмах и пирамидах он иногда совпадает с ребром, высотой или отрезком внутри грани.
- Проверь возможность перейти к плоскости. Если через одну прямую легко провести плоскость, параллельную другой прямой, задача сводится к расстоянию от точки до плоскости.
- Используй координаты для стандартных фигур. Кубы, прямоугольные параллелепипеды и правильные призмы часто удобно решать алгебраически.
- Применяй метод объёмов для пирамид. Он особенно полезен, когда известны длины рёбер и угол между прямыми.
Примеры задач формата ЕГЭ
Геометрический способ
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $2$. В основании лежит правильный треугольник $ABC$. Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.
Решение
Шаг 1. Рассмотрим подходящую плоскость. Прямая $BC_1$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$.
Шаг 2. Докажем параллельность. Прямая $AA_1 \parallel BB_1$, так как это боковые рёбра правильной призмы. Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$.
Значит, прямая $AA_1 \parallel BCC_1B_1$.
Шаг 3. Заменим расстояние между прямыми расстоянием до плоскости. Расстояние между $AA_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AA_1$ до плоскости $BCC_1B_1$. Например, за точку возьмём $A$.
Шаг 4. Вычислим расстояние. Боковое ребро правильной призмы перпендикулярно основанию. Поэтому проекция плоскости $BCC_1B_1$ на основание — это прямая $BC$.
Значит, искомое расстояние равно высоте правильного треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.
Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Подставим $a = 2$: $h = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.$
Ответ: $\sqrt{3}$.
Координатный способ
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$. Вычислите расстояние между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Решение
Шаг 1. Введём систему координат.
Пусть вершина $B$ — начало координат $(0; 0; 0)$. Оси направим вдоль рёбер:
- $BA$ — ось $x$;
- $BC$ — ось $y$;
- $BB_1$ — ось $z$.
Тогда координаты нужных точек:
$A(1; 0; 0), \, B_1(0; 0; 1), \, B(0; 0; 0), \, C_1(0; 1; 1).$
Шаг 2. Найдём направляющие векторы прямых.
Для прямой $AB_1$: $\vec{AB_1} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1).$
Для прямой $BC_1$: $\vec{BC_1} = (0-0; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1).$
Шаг 3. Построим плоскость. Нужна плоскость, которая проходит через прямую $BC_1$ и параллельна прямой $AB_1$.
Эта плоскость проходит через точку $B(0; 0; 0)$, поэтому свободный коэффициент в уравнении плоскости равен $0$.
Найдём вектор нормали $\vec n = (p; q; r)$, который перпендикулярен обоим направляющим векторам:
$\vec n \perp (-1; 0; 1), \, \vec n \perp (0; 1; 1).$
Шаг 4. Получаем систему:
$-p + r = 0,$
$q + r = 0.$
Отсюда:
$p = r, \, q = -r.$
Пусть $r = -1$. Тогда:
$p = -1, \, q = 1.$
Значит, нормаль можно взять такой:
$\vec n = (-1; 1; -1).$
Уравнение плоскости:
$-x + y-z = 0.$
Шаг 5. Найдём расстояние от точки до плоскости. Возьмём точку $A(1; 0; 0)$, которая лежит на прямой $AB_1$.
Подставим координаты точки в формулу расстояния до плоскости:
$\rho = \frac{|-1 \cdot 1 + 1 \cdot 0-1 \cdot 0|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2}}.$
Получаем:
$\rho = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$
Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Метод объёмов
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $3$, а боковое ребро равно $\sqrt{7}$. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$.
Решение
Шаг 1. Найдём угол между прямыми. В правильной треугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания $O$.
Проекция прямой $SA$ на плоскость основания — это отрезок $AO$. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $AO$ лежит на медиане, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$. Эта медиана — высота, поэтому:
$AO \perp BC.$
Шаг 2. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $AO$ наклонной $SA$. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах:
$SA \perp BC.$
Значит, угол между прямыми равен $90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1.$
Шаг 3. Найдём объём пирамиды обычным способом. Основание — равносторонний треугольник со стороной $3$:
$S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}.$
Высота равностороннего треугольника со стороной $3$ равна:
$h = \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Центр основания делит медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины. Поэтому:
$AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.$
Шаг 4. Теперь найдём высоту пирамиды $SO$ из прямоугольного треугольника $SAO$:
$SO = \sqrt{SA^2-AO^2}.$
Подставим значения:
$SO = \sqrt{7-(\sqrt{3})^2} = \sqrt{7-3} = 2.$
Объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot SO.$
Получаем:
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Шаг 5. Применим формулу объёма через скрещивающиеся рёбра.
Используем формулу:
$V = \frac{1}{6} \cdot SA \cdot BC \cdot d \cdot \sin \varphi.$
Подставим известные значения:
$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{7} \cdot 3 \cdot d \cdot 1.$
Упростим правую часть:
$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot d.$
Выразим $d$:
$d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{3\sqrt{21}}{7}.$
Ответ: $\dfrac{3\sqrt{21}}{7}$.
Ловушки экзамена и типичные ошибки
Пытаться построить общий перпендикуляр любой ценой.
В сложной пирамиде или призме такой отрезок может быть плохо виден на чертеже. Если построение не получается быстро, лучше перейти к параллельной плоскости, координатам или методу объёмов.
Забывать модуль в формуле расстояния от точки до плоскости.
Расстояние не может быть отрицательным, поэтому числитель всегда берётся по модулю:
$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$
Опускать перпендикуляр на случайную прямую на чертеже.
Отрезок может выглядеть как расстояние между прямыми, но этого недостаточно. Нужно доказать, что выбранный отрезок перпендикулярен обеим прямым, или обосновать переход к плоскости.
Ошибаться в знаках при работе с векторами.
После нахождения нормали проверь её скалярным произведением с направляющими векторами. Если нормаль выбрана верно, оба скалярных произведения равны нулю.
Самопроверка
Вопрос 1. Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, чему равно расстояние между ними?
Вопрос 2. Что означает $\varphi$ в формуле объёма тетраэдра? $V = \dfrac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot d \cdot \sin \varphi$.
Задача для тренировки. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро равно $4$. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $CD$.
Ответ к вопросу 1. Оно равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.
Ответ к вопросу 2. Это угол между скрещивающимися прямыми, на которых лежат отрезки $a$ и $b$.
Решение к задаче. Прямые лежат на гранях куба. Отрезок $AD$ перпендикулярен и ребру $AA_1$, и ребру $CD$. Значит, $AD$ является общим перпендикуляром. Его длина равна ребру куба.
Ответ: $4$.
Заключение
Расстояние между скрещивающимися прямыми не всегда нужно искать через прямое построение общего перпендикуляра. Теперь ты знаешь три рабочих инструмента: переход к параллельной плоскости, координатный метод и метод объёмов. В задачах на кубы и прямоугольные параллелепипеды чаще всего удобно использовать координаты, а в правильных пирамидах — объём. Перед экзаменом советуем потренироваться выбирать метод по виду фигуры на задачах из нашего банка заданий: это сэкономит время и снизит риск ошибок в вычислениях.
