Задачи с параметром встречаются в задании 18 ЕГЭ по профильной математике. Если решать их только алгебраически, легко получить громоздкие вычисления, потерять корни или забыть про область допустимых значений. Графический метод помогает увидеть, как меняется количество решений при изменении параметра. Один из удобных инструментов для таких задач — пучок прямых.
Что такое пучок прямых
Центрированный пучок прямых — это множество прямых, которые проходят через одну неподвижную точку координатной плоскости. Эту точку называют центром пучка.
Чаще всего такое семейство прямых записывают так: $y-y_0 = a(x-x_0)$.
Здесь точка $(x_0;\, y_0)$ — центр пучка, а $a$ — параметр. Геометрически $a$ — угловой коэффициент прямой: он отвечает за наклон прямой к положительному направлению оси абсцисс.
Когда значение $a$ меняется от $-\infty$ до $+\infty$, прямая вращается вокруг точки $(x_0;\, y_0)$. В задачах с параметром нужно понять, при каких положениях этой прямой она пересекает заданный график нужное количество раз.
Есть одно исключение: уравнение $y-y_0 = a(x-x_0)$ задаёт все прямые, проходящие через центр $(x_0;\, y_0)$, кроме вертикальной прямой $x = x_0$. У вертикальной прямой нет углового коэффициента, поэтому её проверяют отдельно, если она может повлиять на ответ.
Если нужно описать все прямые через точку без исключений, используют общий вид:
$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$.
Алгоритм решения задач
Чтобы не запутаться в задаче с параметром, удобно действовать по плану.
- Раздели уравнение на статическую и динамическую части. Статическая часть не содержит параметра. Это может быть окружность, парабола, отрезок, график модуля. Динамическая часть содержит параметр и обычно задаёт прямую.
- Построй статический график. Сразу учитывай область допустимых значений. Если есть корень чётной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Если есть знаменатель, он не должен обращаться в ноль.
- Найди центр пучка. Приведи уравнение прямой к виду $y-y_0 = a(x-x_0)$ и отметь точку $(x_0;\, y_0)$ на чертеже.
- Проследи, как вращается прямая. Представь, что прямая закреплена в центре пучка и меняет наклон. Нужно найти положения, при которых меняется количество точек пересечения.
- Вычисли пограничные значения параметра. Обычно они возникают при касании, прохождении через конец отрезка, вершину фигуры или при наложении прямой на часть графика.
Пример с окружностью
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x-x^2} = a(x-1)$ имеет хотя бы одно решение.
Решение
Шаг 1. Рассмотрим левую часть: $y = \sqrt{2x-x^2}$. Так как корень арифметический, $y \ge 0$.
Шаг 2. Возведём уравнение в квадрат: $y^2 = 2x-x^2$.
Шаг 3. Перенесём всё в одну сторону и выделим полный квадрат: $x^2-2x + y^2 = 0$, $(x-1)^2 + y^2 = 1$.
Шаг 4. Получили окружность с центром в точке $(1;\, 0)$ и радиусом $1$. Но из условия $y \ge 0$ берём только верхнюю полуокружность.
Шаг 5. Правая часть задаёт прямую: $y = a(x-1)$.
Шаг 6. Это пучок прямых с центром в точке $(1;\, 0)$, потому что при $x = 1$ всегда получается $y = 0$.
Центр пучка совпадает с центром полуокружности. При любом наклоне прямая проходит через центр окружности.
- Если $a \ne 0$, она пересекает верхнюю полуокружность в одной точке.
- Если $a = 0$, получается прямая $y = 0$, которая проходит через две крайние точки полуокружности: $(0;\, 0)$ и $(2;\, 0)$.
По условию нужно хотя бы одно решение. Это выполняется при любом значении параметра.
Ответ: $a \in (-\infty;\, +\infty)$.
Пример с ограниченными отрезками
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:
$\begin{cases} \sqrt{4-y^2} = \sqrt{4-4x^2}, \ y = a(x + 1) + 2. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Разберём первое уравнение: $\sqrt{4-y^2} = \sqrt{4-4x^2}$. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $4-y^2 \ge 0$, значит, $y \in [-2;\, 2]$; $4-4x^2 \ge 0$, значит, $x \in [-1;\, 1]$.
Шаг 2. Возведём обе части в квадрат: $4-y^2 = 4-4x^2$, $y^2 = 4x^2$.
Отсюда: $y = 2x$ или $y = -2x$.
Шаг 3. С учётом ограничений получаем две диагонали внутри квадрата $[-1;\, 1] \times [-2;\, 2]$:
- отрезок $y = 2x$ с концами $(-1;\, -2)$ и $(1;\, 2)$;
- отрезок $y = -2x$ с концами $(-1;\, 2)$ и $(1;\, -2)$.
Шаг 4. Теперь рассмотрим второе уравнение: $y = a(x + 1) + 2$. Перепишем его так: $y-2 = a(x + 1)$. Это пучок прямых с центром в точке $P(-1;\, 2)$. Точка $P$ — конец отрезка $y = -2x$.
Шаг 5. Если $a \ne -2$, прямая пересекает отрезок $y = -2x$ только в точке $P$. Чтобы система имела ровно два решения, нужна ещё одна точка пересечения со вторым отрезком $y = 2x$.
Шаг 6. Найдём, при каких $a$ прямая пересекает отрезок $y = 2x$. Подставим $y = 2x$ во второе уравнение: $2x = a(x + 1) + 2$, $2x = ax + a + 2$, $(2-a)x = a + 2$.
Шаг 7. Если $a \ne 2$, то $x = \dfrac{a + 2}{2-a}$. Точка лежит на отрезке $y = 2x$, когда $x \in [-1;\, 1]$.
Шаг 8. Из неравенства $-1 \le \dfrac{a + 2}{2-a} \le 1$ получаем $a \le 0$. При $a = 0$ прямая $y = 2$ проходит через точки $(-1;\, 2)$ и $(1;\, 2)$, то есть даёт ровно два решения.
Шаг 9. Отдельно проверим $a = -2$. Тогда прямая совпадает с отрезком $y = -2x$, поэтому решений бесконечно много. Это значение нужно исключить.
Ответ: $a \in (-\infty;\, -2) \cup (-2;\, 0]$.
Типичные ошибки
Потерять область допустимых значений. После возведения в квадрат можно случайно построить лишнюю часть графика. Например, выражение $y = \sqrt{2x-x^2}$ задаёт верхнюю полуокружность.
Не заметить наложение прямой на отрезок. Если прямая совпадает с частью статического графика, решений может стать бесконечно много. Такое значение параметра нельзя включать в ответ, если по условию требуется ровно одно или ровно два решения.
Забыть про вертикальную прямую. Пучок вида $y-y_0 = a(x-x_0)$ не описывает прямую $x = x_0$. Если вертикальная прямая может быть граничным случаем, её нужно проверить отдельно.
Неверно включить или исключить границу. Пограничное значение параметра проверяют подстановкой или по рисунку. Если в этот момент появляется нужное количество решений, границу включают. Если возникает касание, наложение или выколотая точка, нужно смотреть условие задачи.
Проверка знаний
Задание на центр пучка
Какая точка является центром пучка для уравнения $y = ax-3a + 5$?
Шаг 1. Сгруппируем слагаемые с параметром: $y = a(x-3) + 5$.
Шаг 2. Перенесём $5$ влево: $y-5 = a(x-3)$.
Шаг 3. Значит, центр пучка — точка $(3;\, 5)$.
Ответ: $(3;\, 5)$.
Задание на прямую через начало координат
Запишите уравнение прямой из пучка $y + 1 = a(x-2)$, которая проходит через начало координат.
Шаг 1. Начало координат — точка $(0;\, 0)$. Подставим её координаты в уравнение: $0 + 1 = a(0-2)$, $1 = -2a$, $a = -0{,}5$.
Шаг 2. Тогда: $y + 1 = -0{,}5(x-2)$, $y + 1 = -0{,}5x + 1$, $y = -0{,}5x$.
Ответ: $y = -0{,}5x$.
Продвинутое задание
Найдите все значения $a$, при которых система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \ y-2 = a(x-2) \end{cases}$ имеет ровно два решения.
Шаг 1. Первое уравнение задаёт окружность с центром $(0;\, 0)$ и радиусом $2$.
Шаг 2. Второе уравнение задаёт пучок прямых с центром $M(2;\, 2)$: $y-2 = a(x-2)$.
Шаг 3. Из точки $M(2;\, 2)$ к окружности можно провести две касательные. Одна из них горизонтальная: $y = 2$. Ей соответствует $a = 0$. При этом система имеет одно решение, поэтому $a = 0$ не подходит.
Шаг 4. Вторая касательная — вертикальная прямая $x = 2$. Она не задаётся уравнением $y-2 = a(x-2)$ ни при каком конечном значении $a$.
Шаг 5. Чтобы прямая пересекала окружность в двух точках, она должна проходить между этими касательными. Это происходит при $a > 0$.
Рисунок к заданию
Ответ: $a \in (0;\, +\infty)$.
Заключение
Пучок прямых помогает заменить громоздкий перебор значений параметра геометрическим анализом. В задачах ЕГЭ по профильной математике этот метод особенно полезен, когда уравнение можно представить как пересечение неподвижного графика и вращающейся прямой. Главное — правильно построить статическую часть, учесть область допустимых значений и проверить пограничные положения. Чтобы закрепить навык, реши несколько задач с параметром в «100балльном банке» и каждый раз отдельно отмечай центр пучка на рисунке.
