Определения и знаки синуса, косинуса и тангенса угла в заданиях 7 и 13 ЕГЭ по математике

Рассмотрим окружность с радиусом, равным единице. Центр единичной окружности совпадает с началом прямоугольной системы координат $0xy$. Началом отсчёта будем считать положительное направление оси $0x$. Любому углу $\alpha$ соответствует точка на этой окружности.

• Косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе этой точки (координате $x$).
• Синус угла $\alpha$ обозначает ординату этой точки (координате $y$).
• Тангенс угла $\alpha$ равен отношению координаты $y$ к координате $x$. Формула тангенса выглядит так: =.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Координатная плоскость делится осями на четыре равные четверти. Знак тригонометрической функции зависит от того, в какую именно область попадает заданный угол. Рассмотрим каждую четверть.

• Первая четверть. В этой четверти $x>0$ и $y>0$, поэтому $\cos \alpha >0$ и $\sin \alpha >0$, также > 0.
• Вторая четверть. Здесь $x<0$, а $y>0$. То есть $\cos \alpha <0$ и $\sin \alpha >0$. Следовательно, < 0.
• Третья четверть. $x<0$ и $y<0$. Значит, $\cos \alpha <0$ и $\sin \alpha 0$.
• Четвёртая четверть. $x>0$, а $y<0$, поэтому $\cos \alpha >0$ и $\sin \alpha <0$, также < 0.

Зависимость между функциями одного угла

Главная формула — основное тригонометрическое тождество:

С помощью этой формулы можно вычислить синус, зная косинус, и наоборот. Но при извлечении корня важно поставить $\pm$, а затем выбрать нужный знак в зависимости от четверти, в которой находится определяемая функция:
$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.

Также важно запомнить формулу, связывающую косинус и тангенс:

Чтобы найти значение одной тригонометрической функции по известному значению другой, используй алгоритм:

1. Запиши известное (или заданное) значение функции и интервал, которому принадлежит угол.
2. Определи, в какой четверти лежит заданный угол.
3. Выпиши нужную формулу связи функций.
4. Вырази неизвестную функцию через формулу с квадратным корнем и поставь перед корнем правильный знак.
5. Подставь числовые значения и вычисли ответ.

Разберём реальные задания экзамена.

Пример 1 (задание 7)

Найдите $\cos \alpha$, если $\sin \alpha =-0,8$ и $\alpha \in (\pi ;\frac{3\pi }{2})$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Из основного тригонометрического тождества выразим косинус:

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$;

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$;

$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.

Шаг 2. Так как $\alpha \in (\pi ;\frac{3\pi }{2})$, угол находится в третьей четверти. В ней значение косинуса отрицательное, выбираем формулу с минусом:

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.

Шаг 3. Вычислим значение косинуса, подставив $\sin \alpha =-0,8$:

$\cos \alpha =-\sqrt{1-(-0,8{)}^2}=-\sqrt{1-0,64}=-\sqrt{0,36}=-0,6$.

Ответ: $-0,6$.

Пример 2 (задание 7)

Найдите , если $\cos \alpha =\frac{5\sqrt{26}}{26}$ и угол $\alpha \in (\frac{3\pi }{2};2\pi )$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Из формулы связи косинуса и тангенса выразим :

1 + 2 = 1 2;

2 = 1 2 -1;

= ± 1 2 -1.

Шаг 2. По условию угол находится в четвёртой четверти, где тангенс отрицателен. Выбираем знак минус:

=- 1 2 -1.

Шаг 3. Найдём значение тангенса по полученной формуле:

=- 1 ( 5 2626 ) 2-1=- 1 2526-1=- 2625-1=- 125=- 15=-0,2.

Ответ: $-0,2$.

Пример 3 (задание 13)

Решите уравнение $2{\sin }^{2}x-\cos x-1=0$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. По основному тригонометрическому тождеству заменим синус в квадрате на косинус (${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$):

$2(1-{\cos }^{2}x)-\cos x-1=0$.

Шаг 2. Раскроем скобки в уравнении:

$2-2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$;

$-2{\cos }^{2}x-\cos x+1=0$;

$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$.

Шаг 3. Введём замену переменной $t=\cos x$:

$2t^2+t-1=0$.

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$D=1^2-4·2·(-1)=1+8=9$;

$t_1={\displaystyle \frac{-1-\sqrt{9}}{2·2}}=-{\displaystyle \frac{4}{4}}=-1$;

$t_2={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{9}}{2·2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Шаг 5. Сделаем обратную замену:

$\cos x=-1$;

$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Шаг 6. Решим первое полученное уравнение:

$\cos x=-1$;

$x=\pi +2\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$.

Шаг 7. Решим второе полученное уравнение:

$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$;

$x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi +2\pi k$; $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, где $k\in \mathbb{Z}$.

В тригонометрии выпускники чаще всего ошибаются в нескольких моментах:

• Выбор знака перед корнем. Распространённая ошибка — писать формулу $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$ всегда с плюсом, игнорируя четверть. Перед извлечением корня нужно посмотреть на заданный промежуток угла и выбрать знак.
• Перепутанные оси. Помни, что косинус соответствует значениям по оси $Ox$, а синус — по оси $Oy$.
• Неправильная формула тангенса. При вычислении тангенса ошибочно делить косинус на синус (это функция котангенса). Нужно всегда делить синус на косинус.
• Ограничение значений синуса и косинуса. Помни, что синус и косинус принимают значения от $-1$ до $1$ включительно. Если при решении уравнения получилось, что $\sin x=2$, оно не имеет решений.

Потренируйся на этих заданиях для закрепления знаний.

Задание 1. Вычисли $\sin \beta$, если $\cos \beta =-\sqrt{0,96}$ и угол $\beta$ принадлежит второй четверти.

Задание 2. Какой знак имеет 11 12?

Задание 3. Известно, что = 2 и угол $\alpha$ лежит в первой четверти. Найди $\cos \alpha$.

Теперь ты понимаешь, как устроена единичная числовая окружность и за какую ось отвечает каждая из тригонометрических функций. Главное правило при поиске значения через формулу квадрата — обращать внимание на координатную четверть угла, чтобы не потерять знак минус. Это убережёт от досадных ошибок и потери баллов на экзамене. В уравнениях второй части всегда помни про основное тождество и ограничение значений функций синуса и косинуса от $-1$ до $1$ включительно.

Чтобы закрепить навыки применения тригонометрических формул, порешай задачи из нашего банка заданий — там собраны прототипы, которые регулярно встречаются на ЕГЭ. Регулярная практика поможет довести алгоритмы вычислений до автоматизма.