В задании 14 профильного ЕГЭ по математике проверяют стереометрию и умение строго оформлять решение. За эту задачу можно получить до трёх первичных баллов, но итог зависит и от верного ответа, и от качества доказательств и записи. В статье разберём, как строить решение: от чертежа и пункта «а» до вычислений в пункте «б». Затем посмотрим три примера и частые ошибки, из-за которых теряются баллы.
Как устроено задание и какие правила важны
Задача обычно состоит из двух пунктов. В пункте «а» нужно доказать геометрический факт: например, параллельность прямых, перпендикулярность плоскостей или вид сечения. В пункте «б» требуется выполнить вычисления: найти угол, расстояние, площадь или объём. Правила:
- Аккуратный и читаемый чертёж. Видимые рёбра изображают сплошными линиями, скрытые — пунктиром. Если чертёж искажает объёмную фигуру, эксперту сложнее проверить ход рассуждений.
- Все дополнительные построения нужно пояснять. Если проводишь прямую, плоскость или достраиваешь сечение, запиши, зачем это сделано. Эксперт должен видеть, откуда появляются новые точки, прямые и плоскости.
- Каждое существенное утверждение подтверждается теоремой, признаком или свойством. Например, при доказательстве перпендикулярности прямой и плоскости нужно сослаться на признак: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Алгоритм оформления решения
- Сделай крупный чертёж. Мелкие детали на маленьком рисунке часто сливаются и мешают решению.
- Запиши блок «Дано». Это не обязательное требование, но он помогает структурировать условие.
- Разбери пункт «а». Записывай каждое действие и указывай теорему, признак или свойство, на которое опираешься.
- Выполни расчёты в пункте «б». Используй геометрический факт, доказанный в первой части.
- После слова «Ответ» запиши только результат вычислительной части, если в пункте «а» требовалось доказательство.
Разбор задач из базы ЕГЭ
Ниже — три примера с разными многогранниками. В каждом разборе обращай внимание на саму идею и на то, как она записана.
Правильная шестиугольная пирамида
Дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
а) Докажите, что угол между прямыми $SB$ и $CD$ равен углу $SBE$.
б) Если стороны основания равны $1$, а боковые рёбра равны $2$, найдите угол между прямыми $SB$ и $CD$.
Решение пункта «а»
Шаг 1. Нужно найти угол между скрещивающимися прямыми. По определению это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.
Шаг 2. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ прямая $CD$ параллельна большой диагонали $BE$. Значит, угол между прямыми $SB$ и $CD$ равен углу между прямыми $SB$ и $BE$.
Шаг 3. Прямые $SB$ и $BE$ пересекаются в точке $B$ и образуют угол $SBE$. Утверждение доказано.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Рассмотрим треугольник $SBE$. По условию боковые рёбра равны: $SB = 2$, $SE = 2$.
Шаг 2. Найдём $BE$. Большая диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны. Так как сторона основания равна $1$, получаем: $BE = 2$.
Шаг 3. В треугольнике $SBE$ все три стороны равны $2$, значит, он равносторонний. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
Правильная четырёхугольная пирамида
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $4$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём отношение длин отрезков $DN : NC = SK : KC = 1 : 3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SA$.
Шаг 1. Рассмотрим грань $SCD$. По условию точки $N$ и $K$ делят рёбра в одинаковом отношении: $DN : NC = 1 : 3$, $SK : KC = 1 : 3$.
Отсюда: $CN : CD = 3 : 4$, $CK : CS = 3 : 4$.
Шаг 2. В треугольнике $SCD$ треугольник $CNK$ подобен треугольнику $CDS$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними: угол при вершине $C$ общий.
Шаг 3. Из подобия следует, что соответственные углы равны. Значит, прямая $NK$ параллельна прямой $SD$.
Шаг 4. По условию плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$, после построения пусть $\alpha = QMKN$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AD \parallel BC$.
Шаг 5. Значит, плоскость $\alpha$ пересекает основание пирамиды по прямой $QN \parallel AD$.
Шаг 6. Теперь рассмотрим плоскость $SAD$. Плоскость $\alpha$ содержит две пересекающиеся прямые:
- $KN \parallel SD$;
- $NQ \parallel AD$.
Шаг 7. В плоскости $SAD$ прямые $SD$ и $AD$ пересекаются. По признаку параллельности плоскостей плоскость $\alpha \parallel SAD$.
Шаг 8. Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAD$. Следовательно, плоскость $\alpha \parallel SA$. Утверждение доказано.
Сечение в правильной треугольной пирамиде
Дана правильная треугольная пирамида $DABC$ с вершиной $D$. Боковое ребро пирамиды равно $\sqrt{46}$, высота равна $\sqrt{19}$.
а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины рёбер $BD$, $AC$ и $AD$, является прямоугольником.
Построение сечения
Шаг 1. Обозначим середину ребра $BD$ точкой $M_1$, середину ребра $AC$ — точкой $M_2$, середину ребра $AD$ — точкой $M_3$.
Шаг 2. Соединим точки $M_1$ и $M_3$. Отрезок $M_1M_3$ — средняя линия треугольника $ABD$, поэтому: $M_1M_3 \parallel AB$.
Шаг 3. Соединим точки $M_2$ и $M_3$. Отрезок $M_2M_3$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому: $M_2M_3 \parallel DC$.
Шаг 4. Аналогично отметим середину ребра $BC$ точкой $M_4$ и достроим сечение. Получим четырехугольник $M_1M_3M_2M_4$, у которого стороны параллельны рёбрам $AB$ и $CD$, следовательно $M_1M_3 \parallel M_2M_4$ и $M_1M_4 \parallel M_2M_3$. Поэтому $M_1M_3M_2M_4$ — параллелограмм.
Доказательство прямого угла
Шаг 5. Чтобы доказать, что параллелограмм является прямоугольником, нужно доказать перпендикулярность его смежных сторон. Для этого достаточно показать, что скрещивающиеся рёбра $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
Шаг 6. Опустим высоту из вершины $D$ в центр основания. Обозначим основание высоты точкой $H$.
Шаг 7. Точка $H$ лежит на медиане основания $CM$, проведённой к стороне $AB$. В правильном треугольнике медиана совпадает с высотой, поэтому: $CM \perp AB$.
Шаг 8. Отрезок $CM$ является ортогональной проекцией наклонной $CD$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно: $CD \perp AB$.
Шаг 9. Стороны построенного сечения параллельны прямым $CD$ и $AB$, поэтому смежные стороны сечения тоже перпендикулярны. Параллелограмм $M_1M_3M_2M_4$ является прямоугольником. Утверждение доказано.
Типичные ошибки оформления
Нет письменных пояснений к построениям. Нельзя просто нарисовать плоскость и сразу начать считать её площадь. Нужно записать, что именно проводится: например, «через точку $K$ проведём прямую, параллельную стороне основания».
Доказательство заменено словом «очевидно». Фразы «как известно» и «несложно заметить» не заменяют ссылку на геометрический факт. Если используешь признак параллельности, перпендикулярности или свойство средней линии, лучше прямо назвать его.
Неверно понята система оценивания. Если ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, часть баллов может сохраниться. Арифметической ошибкой считается сбой в сложении, вычитании, умножении или делении чисел. Ошибка в логике доказательства опаснее: из-за неё решение могут не засчитать.
Сложные факты используются без вывода. Базовые факты планиметрии подробно расписывать не нужно. Но свойства многогранников, сечений и дополнительных построений лучше обосновывать прямо в решении.
Самопроверка
Вопрос 1. Будет ли корректным чертёж, на котором невидимые линии нарисованы как обычные сплошные?
Вопрос 2. Что произойдёт, если ответ совпадает с ключом, но в решении нет ссылок на геометрические признаки?
Ответ к вопросу 1: нет. Такой чертёж искажает восприятие объёмной фигуры. Невидимые рёбра нужно обозначать пунктиром.
Ответ к вопросу 2: оценку могут снизить. В задании 14 проверяется и результат, и логика решения.
Заключение
Задание 14 ЕГЭ по математике начинается с аккуратного чертежа и строгого доказательства в пункте «а». Каждое дополнительное построение нужно фиксировать в тексте решения, чтобы эксперт видел ход рассуждений. В вычислительной части можно опираться на факт, доказанный ранее. Даже вычислительная ошибка не всегда обнуляет работу, если геометрическая логика записана верно. Чтобы закрепить навык оформления, реши несколько стереометрических задач в «100балльном банке».
