Построение сечений — фундаментальная тема для решения задания 14. Без правильного чертежа невозможно выполнить вторую часть геометрической задачи, где нужно найти площадь фигуры или расстояние от точки до плоскости. Ошибки здесь часто приводят к потере баллов из-за одного неверно проведённого отрезка. Разберём базовые правила стереометрии и алгоритм действий, который поможет строить сечения любой сложности.
Базовые правила построения
Секущая плоскость многогранника — это плоскость, по обе стороны от которой находятся точки геометрической фигуры.
Сечение многогранника — это многоугольник, который состоит из общих точек многогранника и секущей плоскости.
Вершины сечения всегда находятся на рёбрах многогранника, а стороны лежат на его гранях. Следовательно, количество вершин сечения никогда не превышает количества рёбер самой фигуры.
Чтобы выполнить построение сечений, нужно строго соблюдать два математических правила:
- Через любые две точки, принадлежащие одной грани, можно провести прямую. Эта прямая будет полностью лежать в плоскости данной грани. Если две точки принадлежат одной поверхности куба или пирамиды, их смело можно соединять отрезком.
- Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии её пересечения с этими плоскостями строго параллельны друг другу. Это свойство выручает при работе с кубами, параллелепипедами и призмами.
Пошаговый алгоритм метода следов
Один из самых надёжных способов научиться решать такие задачи — использовать метод следов. Метод основан на поиске линии, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью основания многогранника. Эта линия называется следом.
Как только след найден, построение остальных точек становится вопросом простой техники. Шаблон действий выглядит так:
- Найди две точки секущей плоскости, которые лежат в одной грани, и соедини их прямой.
- Продли эту прямую до пересечения с прямой, лежащей в основании многогранника. Точка их пересечения будет принадлежать секущей плоскости и плоскости основания.
- Повтори процесс для другой пары точек, чтобы получить вторую точку в основании.
- Соедини две полученные точки в плоскости основания. Это и есть след секущей плоскости.
- Из точек следа проведи прямые к оставшимся известным узлам сечения на гранях, чтобы замкнуть многоугольник.
Базовый пример построения сечения
В качестве разминки возьмём классическую конструкцию, где метод следов не требуется, а нужно применить только первое правило о соединении точек в одной грани.
Требуется построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $P$, которые расположены на рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ соответственно.
Шаг 1. Точки $M$ и $N$ лежат на задней грани $DAB$. Соединяем их отрезком $MN$.
Шаг 2. Точки $N$ и $P$ лежат в правой боковой грани $DBC$. Проводим отрезок $NP$.
Шаг 3. Точки $P$ и $M$ лежат в передней левой грани $DAC$. Соединяем их линией $PM$.
Рисунок по итогу построений
Итоговый многоугольник $MNP$ является искомым сечением.
Построение сечения с использованием свойств параллельности
Разберём свойства параллельности на примере задачи.
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ на рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KN$ и параллельна прямой $BC$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $\alpha$.
Шаг 1. Точки $K$ и $N$ лежат в одной плоскости боковой грани $SCD$. Соединяем их. Получаем пока одну сторону сечения — отрезок $KN$.
Шаг 2. По условию плоскость $\alpha$ параллельна ребру $BC$. Применим теорему: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна первой прямой. Плоскость основания $ABCD$ содержит прямую $BC$. Значит, плоскость $\alpha$ должна пересекать основание по линии, параллельной $BC$.
Шаг 3. Через точку $N$ проводим прямую, параллельную $BC$, до пересечения с ребром $AB$. Обозначим новую точку $M$. Отрезок $NM$ принадлежит сечению.
Шаг 4. Плоскость боковой грани $SBC$ также проходит через отрезок $BC$. Значит, секущая плоскость $\alpha$ пересекает грань $SBC$ по прямой, параллельной $BC$. Через точку $K$ проводим линию, параллельную $BC$, до пересечения с ребром $SB$. Обозначим эту точку буквой $L$.
Шаг 5. Остаётся соединить точки $M$ и $L$, так как они обе лежат в плоскости грани $SAB$.
Рисунок по итогам построений
Искомое сечение — это трапеция $KLMN$. Мы выполнили построение, используя только свойства параллельных плоскостей и прямых.
Использование метода следов для призмы
Теперь применим полноценный метод следов.
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ на рёбрах $AB$, $A_{1}D_{1}$ и $C_{1}D_{1}$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно. Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.
Шаг 1. Точки $N$ и $K$ лежат на верхнем основании призмы. Соединяем их отрезком $NK$.
Шаг 2. Верхнее и нижнее основания призмы параллельны. Значит, секущая плоскость оставит на нижнем основании след, параллельный линии $NK$. Через точку $M$, лежащую на нижнем основании, проводим прямую, параллельную $NK$. Пусть она пересечёт ребро $BC$ в точке $L$. Соединяем $M$ и $L$.
Шаг 3. Нужно замкнуть фигуру на боковых гранях. Точки $N$ и $M$ лежат в разных гранях, просто соединить их нельзя. Применим метод следов. Продлим прямую $NK$ (в плоскости верхнего основания) до пересечения с продолжением ребра $A_{1}B_{1}$. Назовём точку пересечения $X$.
Шаг 4. Точка $X$ принадлежит верхнему основанию и секущей плоскости, а также принадлежит плоскости передней грани $ABB_{1}A_{1}$. Точка $M$ тоже лежит на грани $ABB_{1}A_{1}$. Соединяем $X$ и $M$ прямой линией.
Шаг 5. Прямая $XM$ лежит на поверхности передней грани и пересекает боковое вертикальное ребро $AA_{1}$ в некоторой точке $P$. Точки $P$ и $N$ теперь лежат в одной левой боковой грани. Соединяем их.
Шаг 6. Аналогично визуально или с помощью параллельности продлеваем линии на правой стороне. Продлим прямую $NK$ (в плоскости верхнего основания) до пересечения с продолжением ребра $В_{1}С_{1}$. Полученную точку соединяем с точкой $L$ прямой линией.
Шаг 7. Данная прямая лежит на поверхности задней грани и пересекает боковое вертикальное ребро $СС_{1}$ в некоторой точке $Q$. Точки $L$ и $Q$ теперь лежат в одной задней грани. Соединяем их.
Построения
Итоговое сечение — это многоугольник, проходящий через точки на рёбрах. Линии проводятся исключительно по внешним граням, не уходя внутрь фигуры.
Типичные ловушки экзамена
Из года в год при выполнении задания 14 ЕГЭ встречаются одни и те же недочёты в оформлении чертежей.
Воздушный мост
Это попытка провести линию между точками, лежащими на скрещивающихся рёбрах или в непересекающихся гранях. На поверхности рисуют только те линии, которые принадлежат поверхностям фигуры. Чтобы избежать ошибки, нужно найти точку на общем ребре или построить след на плоскости основания.
Обрыв линии вне ребра
Многоугольник не замкнут по вершинам многогранника. Чертёж сечения всегда должен доходить до рёбер фигуры, потому что именно там плоскость переходит с одной грани на другую.
Игнорирование невидимых линий
На экзамене важно сделать чертёж наглядным и точным. Рёбра и линии сечения, находящиеся на переднем плане, рисуются сплошными. Линии на задних, скрытых от глаз гранях обязательно выделяются пунктиром. За сплошную заливку невидимых граней работу воспринимают как математически неточную.
Вопросы для самопроверки
Прочитай вопросы и попробуй мысленно ответить на них, чтобы проверить, как хорошо усвоена логика темы.
Задание 1. У тебя есть куб. Секущая плоскость пересекает левую и правую боковые грани. Какими будут линии пересечения?
Задание 2. На чертеже есть две точки, принадлежащие одной секущей плоскости. Одна лежит на ребре основания, другая — на вершине пирамиды. Можно ли их соединить?
Задание 3. В каких случаях можно построить сечение, не выводя прямые за пределы основания (без поиска следа пересечения лучей снаружи)?
Ответ к заданию 1. Линии пересечения будут параллельными, так как левая и правая грани куба параллельны по определению.
Ответ к заданию 2. Да, можно, так как вершина пирамиды и ребро основания всегда принадлежат одной треугольной боковой грани.
Ответ к заданию 3. Это возможно, если в фигуре есть параллельные плоскости (например, основания призмы), что позволяет сразу проводить параллельные отрезки без построения внешних точек пересечения.
Заключение
Теперь ты знаешь основные алгоритмы построения сечений многогранников. Ты умеешь находить след секущей плоскости на основании фигуры, применять свойства параллельных плоскостей и замыкать линии сечения строго на гранях, не допуская появления отрезков, проведённых внутри фигуры. Без этих умений невозможно получить максимальный балл за стереометрическую задачу на экзамене.
Чтобы отработать навык визуализации и довести построения до автоматизма, порешай задания № 14 в «100балльном банке» — там собраны прототипы ЕГЭ с подробными проверками.
