Геометрическая прогрессия: теория и разбор задания 19 ЕГЭ профильного уровня

Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают латинской буквой $q$. Знаменатель также не может быть равен нулю.

Формула $n$-го члена прогрессии:

где $b_1$ — первое число ряда, $n$ — номер искомого элемента.

В геометрической прогрессии квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению его соседей:

Сумму $n$ первых членов обозначают как $S_n$.

Основная формула:

Также есть формула, которую можно использовать, когда неизвестно $n$:

Если значение знаменателя прогрессии по модулю строго меньше единицы ($|q|<1$), последовательность называется бесконечно убывающей. Так как числа в ней стремятся к нулю, сумма такой прогрессии при бесконечном количестве элементов равна конкретному числу:

Вот универсальный план решения задач:

1. Прочитай условие и запиши исходные данные.
2. Каждое сложное выражение или далёкий элемент ряда распиши через $b_1$ и $q$ с помощью формулы $n$-го члена.
3. Составь систему уравнений. В ней должны остаться только две неизвестные переменные: $b_1$ и $q$.
4. Реши систему и найди $b_1$ и $q$.
5. Вычисли искомые элементы прогрессии.

Рассмотрим решение аналога задания 19 «а».

Пример. Может ли сумма $n$ различных натуральных чисел, составляющих геометрическую прогрессию ($n\ge 3$), быть равной $14$?

Решение

Шаг 1. Составление модели

Предположим, что $n=3$: $b_1$, $b_2$, $b_3$. Выразим их через первый элемент $b_1$ и знаменатель $q$:

Шаг 2. Запись уравнения

Запишем сумму этих элементов, зная, что она равна $14$:

Шаг 3. Подбор решения

Так как по условию числа различные, $q\ne 1$. Возьмём следующее возможное целое значение $q=2$:

Отсюда получили, что $b_1=2$.

Шаг 4. Контрольная проверка

Выпишем полученную последовательность: $2$, $4$, $8$.

Все числа натуральные и различные. Их сумма: $2+4+8=14$. Требуемый пример найден, условие выполнено.

Ответ: да, может.

Обрати внимание на эти моменты, чтобы получить полный балл за решение:

• Натуральные числа. Внимательно читай условия. Если сказано, что ряд состоит из натуральных чисел, то он содержит только положительные целые числа.
• Потеря знаков при отрицательном знаменателе. Если $q<0$, последовательность будет знакочередующейся. Нужно внимательно следить за знаками при возведении отрицательного числа в чётную и нечётную степени.
• Применение формулы суммы бесконечной прогрессии без проверки. Считать сумму ряда можно по формуле $S=\frac{b_1}{1-q}$, только если известно, что $|q|1$ эта формула даст неверный ответ.

Чтобы закрепить материал, реши несколько практических заданий и сверь свои ответы с разбором.

Задание 1. Первый элемент геометрической прогрессии равен $3$, а её знаменатель — $2$. Найди её пятый элемент.

Задание 2. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии первый член равен $10$, а знаменатель — $0,5$. Найди её сумму.

Задание 3. Является ли последовательность чисел $5$, $10$, $20$ геометрической прогрессией?

После изучения этого материала можно уверенно приступать к задачам на геометрическую прогрессию. Теперь ты умеешь:

• выражать любой элемент прогрессии через первый член и знаменатель;
• применять свойство прогрессии для проверки последовательностей;
• использовать формулы для вычисления суммы элементов;
• анализировать свойства целых чисел и подбирать решения в задании 19 профильного ЕГЭ.

Чтобы надёжно закрепить теорию, рекомендуем решить 5–8 разнотипных задач из нашего банка заданий, опираясь на разобранные алгоритмы.