Как решать задачи на чётность и нечётность в ЕГЭ по профильной математике

Перед задачами нужно повторить базовые правила. Без них сложно понять, почему один набор чисел возможен, а другой сразу приводит к противоречию.

Сложение и вычитание

Запоминать таблицы не нужно: достаточно понять, что происходит с остатками при делении на два.

• Сумма или разность двух чисел одинаковой чётности всегда чётна ($чётное \pm чётное = чётное$ или $нечётное \pm нечётное = чётное$).
• Сумма или разность чисел разной чётности всегда нечётна ($чётное \pm нечётное = нечётное$).
• Сумма любого количества чётных слагаемых остаётся чётной ($k \cdot чётное = чётное$, где $k$ — чётное).
• Сумма чётного количества нечётных чисел чётна ($k \cdot нечётное = чётное$, где $k$ — чётное).
• Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна ($k \cdot нечётное = нечётное$, где $k$ — нечётное).

Например, сумма пяти нечётных — нечётная, потому что нечётных слагаемых нечётное количество.

Умножение

При умножении правило ещё проще: если среди множителей есть хотя бы одно чётное, всё произведение будет чётным.

Отсюда следует обратное утверждение: если произведение целых нечётное, то каждый множитель в нём нечётный.

Это правило работает для целых значений. С дробями рассуждения о чётности применять нельзя.

Инвариант

Инвариант — это свойство или величина, которые не меняются при действиях, описанных в задаче.

В задачах на чётность инвариантом часто становится чётность суммы, количества нечётных чисел или произведения. Например, если действие в задаче всегда сохраняет чётность суммы, то получить результат с другой чётностью невозможно.

Инвариант помогает отвечать на вопросы вида «может ли такое произойти». Если нужное состояние нарушает неизменное свойство, значит, оно невозможно.

Чтобы не теряться в длинном условии, удобно действовать по шагам.

1. Проверь ограничения. Найди слова «различные», «натуральные», «целые», «положительные». Они часто решают задачу.
2. Определи действие. Посмотри, что происходит с числами: их складывают, умножают, заменяют, переставляют.
3. Проанализируй чётность. Определи, как ведут себя числа после указанного действия.
4. Поищи противоречие. Если условие требует получить нечётную сумму из чётного количества нечётных чисел, задача невозможна.
5. Построй пример, если ответ «да». Когда противоречия нет, нужно показать конкретный набор значений, который подходит под условие.

Пример с поиском числовой комбинации

Условие

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех написанных на доске чисел равна 810. Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

Решение

Шаг 1. Если значение оканчивается на цифру 7, оно нечётное. Значит, в условии предполагается 24 чётных числа и 6 нечётных, которые оканчиваются на 7.

Шаг 2. Сумма 24 чётных чисел чётна. Сумма 6 нечётных — тоже чётна, потому что нечётных слагаемых чётное количество.

Общая сумма должна быть чётной. 810 — чётное, поэтому противоречия по чётности нет.

Шаг 3. Возьмём минимальные различные натуральные числа, оканчивающиеся на 7: $7, 17, 27, 37, 47, 57$.
Их сумма: $7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57 = 192$.

Шаг 4. На 24 чётных числа остаётся: $810-192 = 618$.

Возьмём 23 наименьших чётных натуральных числа: $2, 4, 6, \ldots, 46$.

Их сумма равна: $2 + 4 + 6 + \ldots + 46 = 2(1 + 2 + 3 + \ldots + 23) = 2 \cdot 276 = 552$.

Тогда последнее чётное значение должно быть равно: $618-552 = 66$.

66 — чётное, натуральное, отличается от уже выбранных чисел и не нарушает условие.

Ответ: да, может.

Пример с чередованием по кругу

Условие

На доске по кругу написаны 11 целых чисел. Может ли сумма любых двух соседних чисел быть нечётной?

Решение

Шаг 1. Сумма двух значений нечётна только тогда, когда одно значение чётное, а другое нечётное. Значит, любые соседние значения должны иметь разную чётность.

Шаг 2. Если соседние числа всегда разной чётности, они должны чередоваться: чётное, нечётное, чётное, нечётное и так далее.

Такое чередование в замкнутом круге возможно только при чётном количестве.

Шаг 3. Чисел 11, то есть их количество нечётно. Если начать чередование с первого числа, то первое и одиннадцатое окажутся одной чётности. Но они тоже соседние, потому что числа стоят по кругу.

Сумма первого и одиннадцатого значений будет чётной, а по условию она должна быть нечётной. Получили противоречие.

Ответ: нет, не может.

Пример с произведением сумм на карточках

Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: $-11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19$. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут те же самые числа по одному. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают. Может ли в результате получиться 0?

Решение

Шаг 1. В конце перемножают восемь сумм. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Значит, хотя бы на одной карточке сумма значений на двух сторонах должна быть равна 0.

Шаг 2. Пусть на двух сторонах карточки записаны числа $a$ и $b$. Тогда нужна сумма $a + b = 0$.

Это возможно только при $a=-b$. То есть на одной карточке должны оказаться противоположные числа: например, 11 и $-11$, 14 и $-14$.

Шаг 3. В наборе есть $-11$, но нет числа 11. Есть 12, но нет числа $-12$. Есть 13, но нет числа $-13$.

Ни для одного числа из списка нет противоположного. Значит, ни одна сумма на карточке не может быть равна нулю.

Если ни один множитель не равен нулю, всё произведение тоже не равно нулю.

Ответ: нет, не может.

Игнорирование слова «различные»

Если в условии сказано, что числа различные, нельзя брать один и тот же элемент несколько раз.

Как нельзя: записать десять раз 2 и двадцать раз 5.

Как нужно: следить, чтобы каждое число в наборе было уникальным. Если нужны $N$ различных натуральных чисел, их минимальная возможная сумма связана с первыми $N$ натуральными числами или с первыми $N$ числами нужного типа.

Ответ «нет» без доказательства

Пары неудачных попыток недостаточно, чтобы доказать невозможность.

Как нельзя: попробовать два набора чисел, увидеть, что они не подходят, и написать «нет».

Как нужно: найти общее противоречие. Например, в задаче с 11 числами по кругу противоречие возникает из-за невозможности замкнутого чередования при нечётном количестве элементов.

Забыли про нуль

Ноль делится на два без остатка, поэтому он чётный.

Если в задаче рассматриваются целые числа, нуль может появляться в наборах и влияет на чётность так же, как другие чётные числа.

Применение чётности к дробям

Чётность и нечётность относятся к целым числам.

Если в задаче появляются дроби, нельзя автоматически применять правила вида «чётное плюс нечётное» или «один чётный множитель делает произведение чётным». Сначала нужно убедиться, что все рассматриваемые числа целые.

Реши три короткие задачи.

Задание 1. Сумма семи чисел, не делящихся на два, будет чётной или нечётной?

Задание 2. В произведении 100 целых чисел ровно один множитель делится на два. Каким будет произведение?

Задание 3. В тетради записано 15 натуральных чисел, которые в сумме дают 100. Может ли каждое из этих чисел быть нечётным?

Теперь ты знаешь, как использовать чётность и нечётность в задачах ЕГЭ по профильной математике. Главное — сначала определить, какие свойства сохраняются при действиях из условия, и не подбирать числа наугад. Если ответ «да», нужно привести конкретный подходящий пример. Если ответ «нет», нужно показать противоречие: по чётности суммы, произведения, количества элементов или расположения чисел. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на делимость и инварианты в «100балльном банке».