Часто в задании 13 ЕГЭ профильного уровня встречаются уравнения, левая часть которых состоит из суммы синуса и косинуса с некоторыми коэффициентами, а правая равна нулю. Но с помощью возведения в квадрат или применения основного тригонометрического тождества решить такое уравнение не получается.
Именно так выглядят однородные тригонометрические уравнения первой степени, которые регулярно попадаются в заданиях ЕГЭ. Для их решения существует один универсальный и понятный алгоритм, изучив который, ты сможешь гарантированно получать баллы за первый пункт задания 13.
Главные признаки уравнения
Однородные тригонометрические уравнения первой степени имеют общий вид $a \sin{x} + b \cos{x} = 0$. Коэффициенты $a$ и $b$ здесь обозначают любые действительные числа, которые не равны нулю. Степень каждого слагаемого (синуса и косинуса) равна единице, поэтому уравнение называется уравнением первой степени. Также важно, что с правой стороны уравнения находится ноль, иначе получится другой тип уравнений.
Пример однородного уравнения первой степени: $3\sin{x} + 4\cos{x} = 0$. Здесь мы видим первую степень у обеих функций, а правая часть равна нулю.
Деление на косинус
Главный метод решения заключается в делении всего выражения на косинус (или на синус). В результате получится уравнение, содержащее только тангенс (или котангенс). Но не потеряем ли мы корни при таком делении? Ведь косинус может быть равен нулю, а делить на ноль запрещено правилами математики.
Докажем, что в этом случае деление безопасно. Допустим, что при некотором значении аргумента $\cos{x} = 0$. Подставим этот ноль в начальное уравнение $a\sin{x} + b \cos{x} = 0$. Мы получим $a \sin{x} + b \cdot 0 = 0$. Значит, $\sin{x} = 0$.
Из основного тригонометрического тождества мы помним, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла всегда равна единице ($\cos^2{x}+\sin^2{x}=1$). Если обе эти функции равны нулю, мы получаем $0 + 0 = 1$, что неверно. Следовательно, наше изначальное предположение ошибочно. Косинус точно не равен нулю, и мы имеем полное право делить на него обе части уравнения.
Детальный алгоритм решения
Для решения подобных уравнений воспользуйся проверенным планом:
- Убедись, что справа находится ноль, а функции имеют первую степень.
- Проверь коэффициенты $a$ и $b$. Если один из них равен нулю, реши эту задачу как простейшее уравнение.
- Напиши обоснование, почему косинус не равен нулю. Это критически важно для проверяющих.
- Раздели каждое слагаемое на $\cos{x}$.
- Синус, делённый на косинус, равен тангенсу, а косинус сократится. В итоге получится уравнение $a \cdot tg {x} + b = 0$.
- Вырази тангенс из уравнения: $tg\, x = — \dfrac{b}{a}$.
- Найди корни для простейшего уравнения с тангенсом.
Разбор реального задания ЕГЭ
Рассмотрим пример из задания 13 профильного уровня. Нужно решить уравнение: $\sqrt{3} \sin{x} -\cos{x} = 0$.
Шаг 1. Анализируем условие
Перед нами классическое однородное уравнение первой степени: справа стоит ноль, степени функций единичные.
Шаг 2. Пишем обоснование
В бланке нужно обязательно написать проверку:
Рассмотрим случай, когда $\cos{x} = 0$. Тогда уравнение примет вид $\sqrt{3} \sin{x} -0 = 0$. Значит, $\sin{x} = 0$. Согласно основному тригонометрическому тождеству синус и косинус одного аргумента не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, $\cos{x} \neq 0$. Можем разделить уравнение на $\cos{x}$.
Шаг 3. Делим и преобразуем
Делим каждое слагаемое на $\cos{x}$:
$\sqrt{3} \cdot \dfrac{ \sin{x} } { \cos{x}} - \dfrac{ \cancel {\cos{x}} } { \cancel {\cos{x}}} = 0; \ \sqrt{3} \cdot tg {x} - 1 = 0.$
Шаг 4. Находим ответ
Переносим единицу вправо и выражаем функцию:
$\sqrt{3} \cdot tg {x} = 1; \ tg {x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}; \ tg {x} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}; \ x = \dfrac{\pi }{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$
Ответ: $x = \dfrac{\pi }{6} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
В некоторых случаях аргументом выступает не просто переменная $x$, а целая функция, например, $\dfrac{\pi}{2} + 2x$. Здесь следует взять замену $t = \dfrac{\pi}{2} + 2x$ и воспользоваться тем же алгоритмом, а в конце не забыть взять обратную замену и определить $x$.
Также если функция в аргументе содержит, например, дроби или логарифмы, перед тем, как брать замену, нужно найти ограничения на переменную $x$.
Типичные ошибки и ловушки
Знание опасных мест поможет сохранить баллы на экзамене.
Ловушка 1. Молчаливое деление
Как нельзя: разделить всё выражение на функцию без объяснений.
Как нужно: написать короткое доказательство невозможности обнуления обеих функций. Эксперты очень строго оценивают полноту решения.
Ловушка 2. Игнорирование правой части
Как нельзя: применять алгоритм деления к выражению вида $2\sin{x} + 3\cos{x} = 5$.
Как нужно: проверить наличие нуля справа. Если там стоит другое число, нужно воспользоваться другими методами решения (например, введением вспомогательного угла).
Ловушка 3. Потеря периода при записи ответа
Как нельзя: написать в ответ просто $x = \dfrac{\pi }{4}$.
Как нужно: функция тангенса повторяет свои значения через половину окружности, поэтому обязательно нужно прибавить период $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В ответ запишем $x = \dfrac{\pi }{4}+\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Тест на проверку
Вопрос 1. Выберите однородное уравнение первой степени:
А) $\sin {x} -\cos {x} = 0$;
Б) $\sin {x} + 3 \cos {x} = -1$;
В) $\sin^2 {x} + 3 \cos^2 {x} = 0$.
В уравнении А правая сторона равна нулю, степени синуса и косинуса — единицы. Значит, это однородное уравнение первой степени.
Уравнение Б не подходит, так как справа не ноль.
Уравнение В содержит вторые степени синуса и косинуса, поэтому не является уравнением первой степени.
Ответ: Уравнение А.
Вопрос 2. Решите уравнение $\sin {x} + \cos {x} = 0$.
Так как синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, $\cos{x} \neq 0$. Тогда можем разделить обе части уравнения на $\cos{x}$.
$\dfrac{ \sin{x} } { \cos{x}} + \dfrac{ \cancel {\cos{x}} } { \cancel {\cos{x}}} = 0;$
$tg {x} + 1 = 0;$
$tg {x} = -1;$
$x = -\dfrac{\pi }{4}+\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$
Ответ: $x = -\dfrac{\pi }{4}+\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Вопрос 3. Решите уравнение $2\sin {2x} + \sqrt{12} \cos {2x} = 0$.
Введём замену $t = 2x$.
$2\sin {t} + \sqrt{12} \cos {t} = 0$.
Так как синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, $\cos{t} \neq 0$. Тогда можем разделить обе части уравнения на $\cos{t}$.
$2 \cdot \dfrac{ \sin{t} } { \cos{t}} + \sqrt{12} \cdot \dfrac{ \cancel {\cos{t}} } { \cancel {\cos{t}}} = 0;$
$2\, tg {t} + \sqrt{12} = 0;$
$2\, tg {t} + 2\sqrt{3} = 0;$
$tg {t} = -\sqrt{3};$
$t = -\dfrac{\pi }{3}+\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.$
Сделаем обратную замену переменной и найдём $x$.
$2x = -\dfrac{\pi }{3}+\pi k, \, k \in \mathbb{Z};$
$x = -\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi k }{2}, \, k \in \mathbb{Z}.$
Ответ: $x = -\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi k }{2}, \, k \in \mathbb{Z}$.
Коротко о главном
После изучения этого материала можно уверенно решать тригонометрические однородные уравнения первой степени на экзамене.
Теперь ты умеешь:
- распознавать однородное уравнение первой степени;
- решать уравнения этого типа по изученному алгоритму;
- правильно оформлять решение, чтобы не потерять за него баллы и избежать типичных ошибок.
Чтобы закрепить тему, советуем решить 5–7 подобных уравнений из нашего банка заданий ЕГЭ.
