Тема вычисления среднего значения кажется простой: сложить все числа и поделить на их количество умеют почти все. Но когда условия усложняются, легко потеряться в решении. Особенно это касается профильного ЕГЭ по математике, где в задании 19 безобидное правило превращается в сложную задачу на теорию чисел. Разберём универсальный алгоритм, который поможет решать задачи на среднее арифметическое любой сложности и уверенно забирать баллы на экзамене.
Теория с объяснением
Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.
Базовая формула выглядит так:
$m = \dfrac{S}{n}$
Здесь:
- $m$ — искомое среднее значение;
- $S$ — сумма всех элементов набора;
- $n$ — общее количество элементов.
Для решения сложных экзаменационных номеров этого определения недостаточно. Главный метод решения — переход от среднего значения к рассмотрению сумм.
Если переписать стартовую формулу, получим полезное свойство:
$S = m \cdot n$
(сумма слагаемых равна среднему арифметическому, умноженному на количество слагаемых).
Это свойство — основной приём для решения большинства задач. Оно позволяет моментально избавиться от дробей и перейти к вычислениям целых сумм.
Ещё одна полезная формула помогает найти новое значение, если из готового набора убрать одно конкретное число (назовём его $x$).
Новое среднее вычисляется так:
$\dfrac{S-x}{n-1}$
Этот метод регулярно выручает в ситуациях, когда числа стирают с доски или переносят в другую группу.
Пошаговый алгоритм работы
Чтобы прийти к верному ответу, используй чёткий алгоритм:
- Выпиши все данные из условия по трём параметрам: $S$ (сумма), $m$ (среднее), $n$ (количество).
- Если в условии даны среднее арифметическое и количество чисел, сразу умножай их друг на друга. Так ты найдёшь общую сумму набора.
- Обозначь неизвестные элементы буквами. Например, количество положительных чисел возьми за $k$, а отрицательных — за $l$.
- Составь уравнение, опираясь на общую сумму.
- Реши полученное уравнение, используя правила делимости чисел.
Как применять теорию на практике
Разберём применение алгоритма. Начнём с классического примера для средних классов, а затем перейдём к форматам государственной аттестации.
Базовый уровень вычислений
Условие
Найди среднее арифметическое чисел: 26; 23,2; 25,6; 24; 22,7.
Решение
Шаг 1. Сначала находим сумму всех предложенных чисел:
26 + 23,2 + 25,6 + 24 + 22,7 = 121,5.
Шаг 2. Считаем количество элементов. В условии дано 5 чисел.
Делим полученную сумму на количество:
121,5 : 5 = 24,3.
Ответ: 24,3.
Отработка метода сумм
Условие
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7. Чему равна сумма этих шести чисел?
Решение
Шаг 1. У нас есть среднее значение ($m = 7$) и количество элементов ($n = 6$). Применяем главное свойство: умножаем значение на количество.
$7 \cdot 6 = 42$
Шаг 2. Мы узнали, что сумма шести самых маленьких чисел на доске равна 42. Именно от этого числа предстоит отталкиваться при решении полноценной задачи второй части профильного экзамена.
Полный разбор на основе задания 19 профильного ЕГЭ
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
a) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
Решение пункта «а»
Шаг 1. Вводим переменные для количества чисел. Пусть среди написанных чисел будет $k$ положительных, $l$ отрицательных и $m$ нулей. Общее количество чисел равно сумме $k + l + m$.
Шаг 2. Считаем суммы всех трёх групп через умножение.
Сумма положительных равна $4k$.
Сумма отрицательных равна $-8l$.
Сумма нулей равна $0 \cdot m$ (то есть 0).
Шаг 3. Составляем общее уравнение. Сумма всех чисел равна их общему количеству ($k + l + m$), умноженному на общее среднее значение (−3).
Получаем равенство:
$4k-8l+0=-3(k+l+m)$
Шаг 4. Анализируем левую часть уравнения: $4k-8l$. Каждое слагаемое делится на 4 без остатка. Значит, правая часть тоже должна делиться на 4.
Число −3 на 4 не делится. Выходит, переменная $(k + l + m)$, обозначающая количество написанных чисел, должна делиться на 4.
Шаг 5. Вспоминаем условие: количество чисел больше 40, но меньше 48. Единственное число в этом промежутке, которое делится на 4 — это число 44.
Ответ на пункт «а»: 44.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Работаем с основным равенством:
$4k-8l=-3(k+l+m)$
Шаг 2. Раскроем скобки в правой части:
$4k-8l=-3k-3l-3m$
Шаг 3. Перенесём переменные $l$ в левую сторону, а остальные в правую, меняя знаки:
$5l = 7k + 3m$
Шаг 4. Рассуждаем логически. Количество нулей ($m$) всегда больше или равно нулю. Следовательно, выражение $5l \geq 7k$.
Шаг 5. Получаем $l \geq \dfrac{7}{5} \cdot k$. Чтобы равенство соблюдалось, значение $l > k$ при $k > 0$. Это означает, что количество отрицательных чисел ($l$) превышает количество положительных ($k$).
Ответ на пункт «б»: отрицательных.
Типичные ошибки и ловушки
Мы собрали примеры проблемных мест, на которых можно легко потерять баллы.
- Ловушка с нулём. Если одно или несколько чисел равны нулю, их значения не увеличивают общую сумму, но сами нули обязательно учитываются в общем количестве слагаемых ($n$). Если их исключить, знаменатель будет неверным, а ответ исказится.
- Сложение средних арифметических. Нельзя вычислить общее среднее значение двух разных групп, просто сложив их средние показатели и поделив на два. Сначала нужно найти сумму всех элементов первой группы, затем сумму элементов второй группы. Потом сложить эти две суммы и поделить на общее количество всех элементов.
- Неразличение типов чисел. Нужно видеть разницу между целыми и натуральными числами. Натуральные числа применяются для счёта предметов (1, 2, 3 и далее). Целые числа включают в себя натуральные показатели, им противоположные с минусом, а также число ноль. Если в задаче фигурируют только натуральные числа, нулей там быть не может.
Самопроверка
Попробуй решить предложенные примеры самостоятельно, а затем сверься с правильными ответами.
Задание 1. За первый час велосипедист проехал 12 км, за второй час 0 км (отдыхал), за третий час 18 км. Найди среднюю скорость за всё время поездки.
Шаг 1. Сумма пройденного пути составляет: 12 + 0 + 18 = 30 км.
Шаг 2. Время в пути с учётом отдыха — 3 часа.
Шаг 3. Делим общий путь на общее время: 30 : 3 = 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Задание 2. Дано 10 чисел, их среднее значение равно 15. Какова сумма этих десяти чисел?
Применяем умножение среднего значения на количество элементов: $15 \cdot 10 = 150$.
Ответ: 150.
Задание 3. На доске написаны числа. Сумма всех положительных равна 50 (их количество равно 5). Сумма всех отрицательных равна −20 (их количество равно 4). Также на доске написан один ноль. Найди общее среднее арифметическое.
Шаг 1. Общая сумма составит: 50 + (−20) + 0 = 30.
Шаг 2. Общее количество элементов набора с учётом нуля составит: 5 + 4 + 1 = 10 чисел.
Шаг 3. Находим среднее арифметическое, разделив сумму на количество: 30 : 10 = 3.
Ответ: 3.
Заключение
Теперь ты умеешь применять основной математический метод работы со средним арифметическим — переход от деления к вычислению сумм. Поиск общей суммы через умножение помогает в большинстве текстовых задач. Ты знаешь, как правильно считать нули и не допускать типовых ошибок при перегруппировке элементов. Эти навыки позволят решать базовые уравнения и уверенно приступать к заданию 19 профильного ЕГЭ. Чтобы закрепить материал, советуем решить несколько похожих задач из нашего банка заданий.
