Задание 13 профильного ЕГЭ по математике состоит из двух этапов. Сначала требуется решить тригонометрическое уравнение, а во второй части — найти корни на заданном отрезке. На втором этапе часто теряют баллы из-за неверной штриховки, путаницы со знаками или арифметических ошибок. Разберём, как отбирать корни по окружности быстро и безошибочно. После прочтения ты сможешь уверенно выполнять пункт «б» этого задания.
Как отбирать корни тригонометрического уравнения
Числовая единичная окружность — удобный визуальный инструмент. Представь круговую трассу, по которой мы движемся. Начало отсчёта находится в правой крайней точке на горизонтальной оси (в координате 0). Положительное направление движения идёт всегда против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой стрелке. Полный круг составляет ровно $2\pi$.
Метод единичной окружности — самый быстрый и наглядный способ отбора, если заданный отрезок меньше или равен одному полному кругу. Если отрезок превышает $2\pi$, линии штриховки начнут накладываться друг на друга. В таких ситуациях лучше работает метод двойных неравенств.
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы не путаться на экзамене, используй следующий шаблон действий. Этот алгоритм применим к любому стандартному заданию через окружность.
- Нарисуй круг с осями координат. Отметь на нём левую (меньшее число) и правую (большее число) границы заданного отрезка. Точки обязательно должны быть закрашенными, так как мы работаем с отрезком. Около точек подпиши именно те значения, которые даны в условии.
Штриховать дугу окружности нужно строго от левого (меньшего) значения к правому (большему) против часовой стрелки. Иначе отбор корней будет неверным.
- Взгляни на серии корней, полученные при решении пункта «а». Отметь их точками на графике. Корни, попавшие на заштрихованную дугу, станут окончательным ответом. Точки на пустой части круга нас не интересуют.
- Вычисли точные числовые значения для отмеченных подходящих точек. Для этого отталкивайся от ближайших «опорных» точек на горизонтальной оси абсцисс. Прибавь нужный угол для смещения против часовой стрелки или отними угол для смещения по часовой стрелке.
- Обязательно запиши промежуточные вычисления прямо в бланк ответов. Экспертам ЕГЭ нужно показать логику твоих расчётов.
Примеры решения задания 13 (пункт «б»)
Возьмём три типичные формулировки заданий и разберём их по алгоритму.
Базовая задача
Условие
а) Решите уравнение $\sin 2x = \cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.
Решение
Шаг 1. Сначала решаем пункт «а». Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $2\sin x \cdot \cos x = \cos x$.
Шаг 2. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
$\cos x \cdot (2\sin x-1) = 0$
Шаг 3. Получаем две ветки решения:
- $\cos x = 0$. Корни: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$,
- $\sin x = \frac{1}{2}$. Корни: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4. Переходим к отбору:
- Отмечаем точку $\frac{\pi}{2}$ (строго сверху на вертикальной оси) и точку $2\pi$ (справа на горизонтальной оси).
- Заштриховываем дугу от $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки до $2\pi$. У нас выделяются вторая, третья и четвёртая координатные четверти.
- Размещаем корни на графике. Серия $\frac{\pi}{2} + \pi n$ даёт верхнюю и нижнюю точки на вертикальной оси. Верхняя совпадает с началом дуги ($\frac{\pi}{2}$), а нижняя находится внутри дуги. Серии $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ дают две точки в верхней полуплоскости. Первая четверть у нас пустая, поэтому корень $\frac{\pi}{6}$ отпадает. Вторая четверть заштрихована, точка $\frac{5\pi}{6}$ подходит.
- Вычисляем конкретные значения. Верхняя точка уже известна — $\frac{\pi}{2}$. Левая верхняя точка равна $\frac{5\pi}{6}$. Для нахождения нижней точки прибавим к началу координат целый шаг $\pi$, получим вычисление: $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Ответ для пункта «б»: $\frac{\pi}{2};\, \frac{5\pi}{6};\, \frac{3\pi}{2}$.
Задача с формулами приведения
Условие
а) Решите уравнение $2\cos^2(\frac{3\pi}{2} + x) = \sqrt{3}\sin x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$.
Шаг 1. Решаем пункт «а». Применяем формулу приведения. Функция $\cos(\frac{3\pi}{2} + x)$ меняется на $\sin x$, а так как косинус возводится в квадрат, знак не влияет на выражение.
Шаг 2. Уравнение принимает вид:
$2\sin^2 x-\sqrt{3}\sin x = 0$,
$\sin x(2\sin x-\sqrt{3}) = 0$.
Шаг 3. Получаем два варианта:
- $\sin x = 0$, откуда $x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$,
- $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4. Переходим к отбору:
- Границы отрезка заданы как $\frac{5\pi}{2}$ и $4\pi$. Точка $\frac{5\pi}{2}$ совпадает с верхней точкой вертикальной оси. Точка $4\pi$ совпадает с правой точкой горизонтальной оси.
- Штрихуем дугу от $\frac{5\pi}{2}$ против часовой стрелки до $4\pi$. Штриховка покрывает вторую, третью и четвёртую четверти.
- Отмечаем точки. Корни $\pi n$ лежат на горизонтальной оси (справа и слева). Точки $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$ лежат в верхней полуплоскости.
- Вычисляем значения. Точка $4\pi$ — правым краем, она идёт в ответ. Левая точка на горизонтальной оси расположена на расстоянии $\pi$ перед $4\pi$, вычисляем: $4\pi-\pi = 3\pi$. Теперь смотрим на синусы. Корень в точке $\frac{\pi}{3}$ не попадает в штриховку. Точка $\frac{2\pi}{3}$ попадает на нашу дугу во вторую четверть. Для нахождения точного значения возьмём опорную точку $3\pi$ и вычтем угол $\frac{\pi}{3}$, двигаясь по часовой стрелке: $3\pi-\frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.
Ответ для пункта «б»: $\frac{8\pi}{3};\, 3\pi;\, 4\pi$.
Отбор корней по окружности
Отбор на отрицательном промежутке
Условие
а) Решите уравнение $\cos(\frac{\pi}{2} + 2x) = \sqrt{2}\sin x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; \frac{-7\pi}{2}]$.
Шаг 1. Решаем пункт «а». Снова используем формулу приведения. Угол $\frac{\pi}{2} + 2x$ находится во второй четверти, косинус здесь отрицательный. Получаем $-\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$.
Шаг 2. Раскладываем синус двойного угла:
$-2\sin x \cdot \cos x-\sqrt{2}\sin x = 0$,
$-\sin x(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$.
Шаг 3. Получаем:
- $\sin x = 0$, следовательно $x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$,
- $\cos x = \frac{-\sqrt{2}}{2}$, получаем серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \frac{-3\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4. Делаем графический отбор:
- Левая граница равна $-5\pi$, она располагается слева на горизонтальной оси. Правая граница равна $\frac{-7\pi}{2}$ (это $-3{,}5\pi$), она находится на вертикальной оси сверху.
- Штрихуем строго против часовой стрелки от $-5\pi$ до $\frac{-7\pi}{2}$. Мы проходим через нижнюю полуплоскость и захватываем правую верхнюю часть (третью, четвёртую и первую четверти).
- Наносим корни. Серия $\pi n$ попадает под штриховку целиком. Корень $\frac{3\pi}{4}$ (вторая четверть) остаётся на пустой дуге и исключается. Корень $\frac{-3\pi}{4}$ (третья четверть) попадает на заштрихованную дугу.
- Проводим вычисления. Левая крайняя точка совпадает с границей $-5\pi$. Правая крайняя точка вычисляется прибавлением $\pi$ к левой точке: $-5\pi + \pi = -4\pi$. Для нахождения третьей точки возьмём опору $-5\pi$ и сдвинемся вперёд (против часовой стрелки) на угол $\frac{\pi}{4}$. Расчёт: $-5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{-19\pi}{4}$.
Ответ для пункта «б»: $-5\pi;\, \frac{-19\pi}{4};\, -4\pi$.
Отбор корней по окружности
Типичные ошибки на экзамене
Потерять баллы на ЕГЭ можно из-за мелких ошибок при оформлении. Изучим основные ловушки в оформлении задания 13.
- Неправильное направление штриховки. Движение на рисунке всегда идёт от левой границы промежутка к правой строго против часовой стрелки.
- Отсутствие графических вычислений в чистовике. По критериям проверки ФИПИ без обоснования за пункт «б» выставляется 0 баллов. Нужно графически показать, какая точка взята за опору и какой угол прибавляется, а также записать само вычисление: $2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$.
- Игнорирование области допустимых значений. Если в уравнении был знаменатель (например, в тангенсе) или корень чётной степени, нужно сделать проверку. Точки, которые обращают знаменатель в нуль, отмечаются на окружности выколотыми кружками и в ответ не идут.
- Отсутствие подписей на окружности. Концы отрезка обязательно подписываются теми значениями, которые стоят в условии задачи. Искомые подходящие корни также требуют подписи рядом с найденной точкой.
Тренировка и самопроверка
Ответь на вопросы и реши задачу для самопроверки.
Вопрос 1. В каком направлении требуется штриховать дугу заданного промежутка?
Строго против часовой стрелки от меньшего конца промежутка к большему.
Вопрос 2. Как правильно отмечать точки, не входящие в область допустимых значений уравнения?
Такие точки рисуются на окружности в виде пустых (выколотых) кружочков.
Вопрос 3. Расположи точку $\frac{7\pi}{2}$ на тригонометрическом круге. Где она окажется?
Значение $\frac{7\pi}{2}$ равно $3{,}5\pi$. Точка располагается в самом низу на вертикальной оси.
Задача
В первой части получен корень $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Нужно сделать отбор на отрезке $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$. Вычисли, какое числовое значение пойдёт в ответ.
Шаг 1. Опорной точкой начала промежутка выступает $2\pi$ (правая точка горизонтальной оси). Нам нужно подняться вверх против часовой стрелки на угол $\frac{\pi}{6}$.
Шаг 2. Записываем вычисление: $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{13\pi}{6}$.
Заключение
Метод единичной окружности существенно экономит время на экзамене. Теперь ты умеешь:
- правильно определять границы отрезка и штриховать нужную дугу;
- находить положение корней по координатным четвертям;
- переводить серии корней в конкретные числовые значения с обоснованием расчётов;
- избегать частых ошибок при оформлении задачи в бланке.
Для закрепления навыка рекомендуем выписать 7–10 похожих уравнений из нашего открытого банка и выполнить пункт «б» самостоятельно, отработав алгоритм до автоматизма.
