Задание 16 ЕГЭ по профильной математике: как работать с процентами

Существует три базовых типа вычислений:

• Нахождение части от числа. Чтобы найти $p$ процентов от заданного числа $A$, нужно умножить это число на дробь $\frac{p}{100}$. Математическая формула выглядит так: $B = A \cdot \frac{p}{100}$.
• Нахождение исходного числа по его части. Чтобы найти исходное число $A$, если известно, что $p$ процентов от него равны $B$, нужно разделить число $B$ на дробь $\frac{p}{100}$. Формула приобретает вид: $A = \frac{B}{\frac{p}{100}}$.
• Нахождение процентного отношения двух чисел. Одно число делится на другое, а результат умножается на 100%.

Для решения экономических заданий старшей школы удобнее использовать повышающие и понижающие коэффициенты. Если на товар сделали скидку в 15%, значит, его стоимость составляет $100\%-15\% = 85\%$ от первоначальной. Решать задачу будет быстрее, если сразу перевести эту долю в десятичную дробь и умножить начальную цену на коэффициент $k = 0{,}85$. Точно так же работает надбавка. При увеличении цены на 10% коэффициент составит $k = 1{,}1$.

При многократных изменениях величины на один и тот же процент применяются формулы простых и сложных процентов:

1. Формула простых процентов описывает ситуацию, когда начисления происходят только на исходную сумму при каждом расчётном периоде: $S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$. Здесь $S_0$ обозначает начальное значение, $p$ означает процентную ставку, а $n$ показывает количество периодов. В заданиях ЕГЭ почти всегда используется схема сложных процентов (капитализация), поэтому формула простых процентов применяется редко.
2. Формула сложных процентов применяется, когда начисление происходит на текущую сумму с учётом ранее начисленных средств (процесс капитализации): $S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$. Именно эта математическая связь — базовая модель для банка заданий ЕГЭ.

Чтобы не теряться в условиях текстовых заданий, полезно применять фиксированный шаблон действий:

1. Прочитай текст задания и переведи все данные из процентов в десятичные дроби или коэффициенты.
2. Определи главную базу. Выясни, какая именно величина принимается за начальные 100% на каждом этапе.
3. Составь математическую модель. Запиши все изменения последовательно с помощью умножения на коэффициенты роста или падения.
4. Сформируй уравнение или неравенство на основе связи, указанной в тексте.
5. Реши полученное выражение и обязательно проверь, отвечает ли найденное число на главный вопрос задачи.

Для начала закрепим понимание коэффициентов на классическом сюжете.

Условие

В магазине телевизор стоил 20 000 рублей. Во время распродажи его цена снизилась на 15%. Сколько стал стоить телевизор?

Решение

Шаг 1. Переводим проценты в доли. Снижение на 15% означает, что от базовой цены осталось 85%. В виде дроби это $0{,}85$.

Шаг 2. За базу принимаем изначальную стоимость, равную 20 000 рублей.

Шаг 3. Составляем математическое выражение с использованием коэффициента.

Ответ: 17 000 рублей.

Этот метод гораздо быстрее стандартного вычисления по действиям, что экономит время на экзамене.

Задание 16 ЕГЭ по профильной математике — это текстовая задача с экономическим содержанием. Разберём два реальных типа этих заданий.

Задание на банковский вклад с неравенством

Планируется открыть вклад на 4 года, положив на счёт целое число миллионов рублей. В конце каждого года сумма, лежащая на вкладе, увеличивается на 10%, а в начале третьего и четвёртого года вклад пополняется на 3 миллиона рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более 5 миллионов рублей.

Решение

Шаг 1. Введём переменные. Пусть $S$ — первоначальный вклад в миллионах рублей (по условию это целое число). Ставка банка составляет 10%, значит, коэффициент увеличения равен $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1$.

Шаг 2. Распишем изменения по годам:

• Конец первого года: сумма на счёте становится $1{,}1S$.
• Конец второго года: банк снова начисляет проценты, получаем $1{,}1 \cdot (1{,}1S) = 1{,}21S$.
• Начало третьего года: клиент добавляет 3 миллиона, сумма становится $1{,}21S + 3$.
• Конец третьего года: на всю новую сумму начисляются проценты. Счёт равен $1{,}1 \cdot (1{,}21S + 3) = 1{,}331S + 3{,}3$.
• Начало четвёртого года: снова добавляется 3 миллиона. Сумма равна $1{,}331S + 3{,}3 + 3 = 1{,}331S + 6{,}3$.
• Конец четвёртого года: финальное начисление. Счёт равен $1{,}1 \cdot (1{,}331S + 6{,}3) = 1{,}4641S + 6{,}93$. Это итоговая сумма.

Шаг 3. Выразим начисленные проценты. Сумма начисленных процентов вычисляется как разница между итоговой суммой и всеми вложенными клиентом деньгами.

Всего клиент внёс: $S$ изначально плюс дважды по 3 миллиона, то есть $S + 6$.

Сумма равна математической разности: $(1{,}4641S + 6{,}93)-(S + 6) = 0{,}4641S + 0{,}93$.

Шаг 4. Составим и решим неравенство. Сумма процентов должна быть строго больше 5 миллионов.

$0{,}4641S + 0{,}93 > 5$,

$0{,}4641S > 4{,}07$.

Умножим обе части на 10 000:

$4641S > 40700$,

$S > \frac{40700}{4641}$.

При делении получаем значение $S > 8{,}769…$

Шаг 5. Проанализируем результат. По условию вклад — целое число миллионов. Наименьшее целое число, которое строго больше $8{,}769…$, равно 9.

Ответ: 9 миллионов рублей.

Задание на кредит с дифференцированными платежами

В задачах на кредиты выделяют две основные схемы погашения: аннуитетные платежи (равные суммы выплат) и дифференцированные платежи. При дифференцированных платежах сумма основного долга уменьшается равномерно. Проценты всегда начисляются на текущий остаток, поэтому первая выплата будет самой большой, а последняя минимальной.

Планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Правила таковы: каждый месяц долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего; затем выплачивается часть долга; после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга предыдущего месяца. Общая сумма выплат после полного погашения оказалась на 40% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.

Решение

Шаг 1. Сформируем модель. Пусть $S$ — размер взятого кредита. Выплаты идут 15 месяцев, а долг убывает равномерно. Каждый месяц тело кредита уменьшается ровно на $\frac{S}{15}$.

Шаг 2. Изучим структуру переплаты. Общая сумма выплат состоит из возврата исходного долга $S$ и процентов, которые банк начислил за 15 месяцев. Общая выплата больше изначальной на 40%. Переплата (сумма всех начисленных процентов) равна $0{,}4S$.

Шаг 3. Высчитаем проценты:

• В первый месяц проценты начисляются на всю сумму $S$. Величина начисленных денег равна $\frac{r \cdot S}{100}$.
• Ко второму месяцу долг уменьшился на одну пятнадцатую часть, остаток составляет $\frac{14S}{15}$. Начисленные проценты равны $\frac{r}{100} \cdot \frac{14S}{15}$.
• В последний месяц остаток долга равен $\frac{S}{15}$, а проценты составят $\frac{r}{100} \cdot \frac{S}{15}$.

Шаг 4. Найдём сумму процентов:

Общая сумма $= \frac{r}{100} \cdot \left(S + \frac{14S}{15} + \dots + \frac{S}{15}\right)$.

В скобках находится сумма арифметической прогрессии. Она рассчитывается как полусумма крайних членов, умноженная на их количество.

Значение в скобках: $\frac{S + \frac{S}{15}}{2} \cdot 15 = \frac{\frac{16S}{15}}{2} \cdot 15 = \frac{16S}{30} \cdot 15 = 8S$.

Шаг 5. Приравняем сумму процентов к известной переплате:

$\frac{r}{100} \cdot 8S = 0{,}4S$.

Разделим обе части уравнения на $S$ и выразим неизвестную ставку:

$\frac{8r}{100} = 0{,}4$,

$8r = 40$,

$r = 5$.

Ответ: 5.

Чтобы сохранить баллы, важно знать особенности математических ловушек в тексте заданий.

• Сложение ставок. Если товар подорожал на 20%, а потом ещё на 20%, общая наценка не равна 40%. Нужно применять последовательное умножение коэффициентов: товар стал стоить $1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$ от исходной цены, то есть подорожал на 44%.
• Ошибки с определением базы. Запрещено считать проценты от нового значения цены, если в задаче спрашивают про изменения относительно старой стоимости. База (100%) всегда идёт после предлога «от» или слова «чем».
• Потерянные ограничения на числа. В экономических моделях количество месяцев, купленных деталей или сумма минимального вклада часто являются целыми числами. Округлять значения нужно с опорой на смысл задачи. Если выплата должна быть не менее определённой суммы и вычисления дают $S > 5{,}1$, минимальное целое значение будет равно 6.
• Слепая подстановка в формулы. Заучивание громоздких итоговых дробей для дифференцированных платежей вредит решению. Лучше выводить логику самостоятельно. Составителям экзаменов достаточно добавить условие, при котором выплата в середине цикла отличается от стандартной, и заученная формула перестанет работать.

Попробуй решить пару коротких примеров самостоятельно.

Задание 1. Акция упала в цене на 10%, а затем выросла в цене на 10%. Изменилась ли её исходная стоимость?

Задание 2. Известно, что 30% от числа $A$ равны 45. Найдите число $A$.

Теперь ты понимаешь механизмы работы с долями и коэффициентами, а также умеешь строить математические модели к текстовым заданиям. Ты можешь уверенно переводить проценты в десятичные дроби, разбивать процессы на этапы и отличать аннуитетные платежи от дифференцированных. Эти навыки помогут решать даже запутанные задачи без стресса. Чтобы закрепить материал на практике, порешай задачи № 16 в «100балльном банке» — там собраны прототипы экономической задачи разного уровня сложности.