В задании 19 профильного ЕГЭ по математике проверяют логику, понимание свойств чисел и умение ограничивать возможные варианты. Здесь помогает метод перебора и недобора. Ошибки в подобных задачах обычно возникают из-за попыток угадать ответ вслепую. Бесконечный подбор чисел отнимает время на экзамене и редко приводит к правильному результату в сложных пунктах. Разберём алгоритм применения метода перебора и недобора, чтобы не тратить время на экзамене и уверенно решать эту задачу.
Как работает метод ограничения
Прямой перебор подразумевает поочерёдную проверку всех возможных чисел. Этот способ работает, когда вариантов мало. Однако в сложных заданиях вариантов могут быть сотни. Здесь помогает аналитическое ограничение перебора.
Метод недобора описывает ситуацию, когда максимально возможная сумма элементов всё равно оказывается меньше требуемого значения. Это строго доказывает, что решения при заданных условиях не существует.
Метод перебора описывает обратную ситуацию. Метод перебора возникает, когда даже минимально возможные значения уже превышают допустимую границу. Тогда условие задачи выполнить невозможно.
Прямой перебор тратит время, а аналитическое ограничение использует неравенства и свойства делимости для сокращения списка кандидатов до двух или трёх чисел. В профильном экзамене этот подход называется методом «оценка плюс пример». Сначала математически доказывается, что искомое число находится в определённых границах (это оценка). Затем приводится конкретная числовая комбинация, которая подтверждает реальность результата (это пример).
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы не потеряться в условии, используй чёткий алгоритм действий:
- Переведи текст в формулы. Обозначь неизвестные буквами и запиши все условия в виде уравнений или неравенств.
- Выпиши скрытые ограничения. Зафиксируй, какие числа нужно найти: натуральные (целые и положительные) или просто целые. Обрати внимание на слово «различные» в условии.
- Найди края. Подставь самые маленькие или самые большие возможные числа, чтобы проверить крайние границы.
- Сократи список подозреваемых. Используй свойства делимости или неравенства, чтобы оставить всего несколько вариантов.
- Проведи точечный перебор. Проверь оставшиеся варианты вручную.
- Сформулируй пример. Если ответ утвердительный, обязательно напиши конкретный ряд чисел.
Разбор задания на проценты
В результате опроса выяснилось, что примерно 45% опрошенных предпочитают кофе чаю. Число 45 получено с помощью стандартного округления до ближайшего целого.
а) Могло ли участвовать в опросе ровно 24 человека?
б) Могло ли участвовать менее 24 человек?
в) Какое наименьшее число человек могло участвовать в опросе?
Решение пункта «а»
Шаг 1. Пусть общее количество опрошенных равно $n$, а любителей кофе обозначает $k$. Оба числа натуральные. Доля любителей кофе составляет дробь $\frac{k}{n}$.
Шаг 2. Поскольку число 45 процентов получено округлением до целого, точный процент находится в строгих границах от 44,5% до 45,499…%.
Запишем это в виде неравенства:
$0{,}445 \le \dfrac{k}{n} < 0{,}455$.
Шаг 3. Проверим гипотезу $n = 24$. Подставим значение в неравенство:
$0{,}445 \le \dfrac{k}{24} < 0{,}455$.
Шаг 4. Умножим все части неравенства на 24:
$10{,}68 \le k < 10{,}92$.
Шаг 5. Среди чисел от 10,68 до 10,92 нет ни одного целого числа. При этом количество людей $k$ может быть только целым. Возникает недобор до 11 и перебор относительно 10. В опросе не могло участвовать ровно 24 человека.
Решение пункта «б», «в»
Шаг 1. Нужно найти наименьшее возможное $n$. Для этого ищем простую дробь, которая при делении даёт значение из промежутка $[0{,}445;\, 0{,}455)$.
Шаг 2. Здесь применяется метод перебора от меньшего к большему. Проверим знаменатели начиная с малых чисел, чтобы найти первое подходящее совпадение.
- Если $n = 10$, возможные дроби $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$ или $\dfrac{5}{10} = 0{,}5$. Не подходит.
- Если $n = 9$, ближайшая дробь $\dfrac{4}{9} \approx 0{,}444$. Это меньше нижней границы 0,445. Возникает недобор.
- Проверим $n = 11$. Ближайший кандидат $k = 5$. Считаем: $\dfrac{5}{11} \approx 0{,}4545$.
Шаг 3. Число 0,4545 попадает между 0,445 и 0,455. Наименьшее число человек равно — 11, и ответ на пункт «б» — да.
Ответ: а) нет; б) да; в) 11.
Разбор задания на суммы чисел
Даны несколько $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна 123.
Решение пункта «а»
Шаг 1. Арифметическая прогрессия образуется прибавлением одного и того же числа (шага $d$). Числа натуральные и различные, следовательно, $d \ge 1$ и первое число $a_1 \ge 1$.
Шаг 2. Достаточно короткого подбора. Возьмём шаг прогрессии $d = 1$. Проверим числа 2, 3, 4, 5. Их сумма равна $2 + 3 + 4 + 5 = 14$.
Ответ на вопрос пункта «а» — да.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Нужно сделать количество элементов $n$ максимальным. Это значит, что сами числа должны быть как можно меньше. Минимально возможная прогрессия натуральных чисел начинается с единицы и имеет шаг один: 1, 2, 3, 4 и так далее.
Шаг 2. Сумма $n$ таких чисел вычисляется по формуле: $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Шаг 3. По условию сумма меньше 900:
$\dfrac{n(n+1)}{2} < 900 \Rightarrow n(n+1) < 1800$.
Шаг 4. Ограничим перебор: корень из 1800 чуть больше 42. Проверим точные значения:
- Если $n = 41$, то $41 \cdot 42 = 1722$ (подходит).
- Если $n = 42$, то $42 \cdot 43 = 1806$ (сумма превышает допустимую).
Максимально возможное количество чисел равно — 41.
Решение пункта «в»
Шаг 1. Сумма прогрессии равна 123. Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = 123$.
Шаг 2. Умножим уравнение на 2: $n \cdot (2a_1 + d(n-1)) = 246$.
Шаг 3. Число $n$ обязано быть целым делителем числа 246. Разложим 246 на множители: $246 = 2 \cdot 3 \cdot 41$.
Возможные делители: 1, 2, 3, 6, 41, 82, 123, 246.
Шаг 4. В прогрессии должно быть минимум два числа, значит $n \ge 2$.
Из разбора пункта «б» известно, что минимальная сумма для $n$ чисел равна $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
Шаг 5. Если сумма равна 123, то $\dfrac{n(n+1)}{2} \le 123 \Rightarrow n(n+1) \le 246$.
- Подставим $n = 15$, получится $15 \cdot 16 = 240$.
- Подставим $n = 16$, получится $16 \cdot 17 = 272$ (результат превышает допустимый). Значит, $n$ не может превышать 15.
Из списка делителей остаются только числа 2, 3 и 6.
Шаг 6. Осталось проверить каждое из них и привести пример:
- При $n = 2$ уравнение примет вид $2a_1 + d = 123$. Пример: $a_1 = 1,\, d = 121$. Числа: 1 и 122.
- При $n = 3$ уравнение примет вид $\dfrac{3(2a_1 + 2d)}{2} = 123 \Rightarrow a_1 + d = 41$. Пример: $a_1 = 1,\, d = 40$. Числа: 1, 41, 81.
- При $n = 6$ уравнение примет вид $\dfrac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 123 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 41$. Пример: если $a_1 = 3$, то $5d = 35 \Rightarrow d = 7$. Числа: 3, 10, 17, 24, 31, 38. Сумма этих чисел равна 123.
Ответ: а) да; б) 41; в) 2, 3, 6.
Разбор задания на средние значения
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?
б) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.
Решение пункта «а»
Шаг 1. Упорядочим одиннадцать неизвестных чисел по возрастанию: $x_1 < x_2 < \dots < x_{11}$.
Сумма шести наименьших: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 6 \cdot 7 = 42$.
Сумма шести наибольших: $x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_{10} + x_{11} = 6 \cdot 16 = 96$.
Шаг 2. Допустим, самое маленькое число $x_1 = 5$. Так как числа различные, последующие числа должны быть строго больше предыдущих.
Минимально возможный набор: 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Сумма чисел равна: $5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$.
Шаг 3. По условию сумма шести наименьших чисел равна строго 42. Заданная граница пробита, получить такую сумму при минимальном числе 5 невозможно.
Ответ на вопрос пункта «а» — нет.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Нужно найти максимум выражения $S-B$.
$B$ — это шестое число $x_6$.
Шаг 2. Сумма всех чисел складывается из суммы шести малых и суммы шести больших, но при этом шестое число посчитано дважды. Значит, общая сумма равна $42 + 96-x_6 = 138-x_6$.
Шаг 3. Тогда среднее арифметическое $S = \dfrac{138-x_6}{11}$.
Шаг 4. Подставим это в требуемое выражение:
$S-B = \dfrac{138-x_6}{11}-x_6 = \dfrac{138-12x_6}{11}$.
Шаг 5. Чтобы дробь была максимальной, вычитаемое число $x_6$ должно быть минимально возможным.
Оценим значение $x_6$. Известно, что $x_1 + x_2 + \dots + x_6 = 42$. Для минимального $x_6$ предыдущие пять чисел должны быть максимально близки к нему:
$x_5 = x_6-1,\, x_4 = x_6-2 \dots x_1 = x_6-5$.
Шаг 6. При фиксированном $x_6$ максимальная возможная сумма шести наименьших чисел (при условии, что они различны и не превосходят $x_6$) равна: $(x_6-5) + (x_6-4) + (x_6-3) + (x_6-2) + (x_6-1) + x_6 = 6x_6-15$.
Шаг 7. Чтобы можно было набрать сумму 42, эта максимальная сумма должна быть не меньше 42, то есть $6x_6-15 \ge 42 \Rightarrow 6x_6 \ge 57 \Rightarrow x_6 \ge 9{,}5$.
Шаг 8. Поскольку числа натуральные, минимально возможное $x_6 = 10$.
Подтвердим примером. Если $x_6 = 10$, сумма первых пяти чисел равна 32. Пример таких чисел: 4, 5, 6, 8, 9. Сумма наибольших пяти чисел равна 86. Пример таких чисел: 11, 12, 13, 14, 36. Все условия соблюдаются.
Шаг 9. Вычислим конечный ответ:
$S-B = \dfrac{138-12 \cdot 10}{11} = \dfrac{18}{11}$.
Ответ: а) нет; б) $\dfrac{18}{11}$.
Типичные ошибки при оформлении
При оформлении ответов на бланке легко потерять баллы из-за неточностей. Чтобы этого избежать, соблюдай правила:
- Уходи от слепого перебора в сложные доказательства. Не пиши фразы вроде «все числа до ста перебраны, а решение не найдено». Выстраивай алгебраическую оценку, доказывающую факт недобора или перебора. Эксперты не засчитывают перебор вариантов как строгое доказательство отсутствия корней.
- Не записывай в ответ теоретический предел без подтверждения. Обязательно приводи реальный числовой пример. Без примера пункт считается нерешённым.
- Не игнорируй слова «натуральные» или «целые» в условии. На черновике всегда фиксируй область допустимых значений. Натуральные числа начинаются строго с единицы.
- Обращай внимание на слово «различные». Если в условии оно есть, элементы не могут повторяться. Забыв об этом, ты получишь неверную сумму.
Задания для самопроверки
Закрепи понимание метода небольшим тестом. Постарайся сначала решить задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Может ли сумма трёх различных натуральных чисел равняться пяти?
Ответ: нет.
Пояснение: минимально возможная сумма трёх различных натуральных чисел равна $1 + 2 + 3 = 6$. Так как минимальная сумма уже превышает заданную (6 больше 5), возникает перебор допустимой суммы. Таких чисел не существует.
Задание 2. Сумма четырёх различных натуральных чисел равна 12. Чему может равняться самое большое из них?
Ответ: 6.
Пояснение: обозначим самое большое число переменной $x_4$. Чтобы число было максимальным, остальные три числа должны быть минимальными: 1, 2 и 3. Их сумма равна 6. Следовательно, $6 + x_4 = 12 \Rightarrow x_4 = 6$. Самое большое число в этом наборе равно шести.
Заключение
После изучения этого материала можно уверенно решать задание 19 профильного ЕГЭ по математике.
Теперь ты умеешь:
- использовать методы перебора и недобора для ограничения поиска ответа;
- применять математическую оценку для доказательства невозможности условия;
- находить теоретические границы и подкреплять их примерами;
- анализировать область допустимых значений.
Для закрепления темы советуем решить несколько номеров из банка заданий. Обращай внимание на математические формулировки условий и наличие ограничений на виды чисел. Тренировка поможет довести применение метода до автоматизма
