Задание 18 с модулем в профильном ЕГЭ по математике

Поскольку расстояние не может быть отрицательным, результат всегда будет положительным или равным нулю.

Как это записывается математически:

• $|x| = x$, если $x \ge 0$.
• $|x|=-x$, если $x \le 0$.

Ключевые свойства модуля:

1. $|x| \ge 0$ для любого значения $x$. Это базовое правило, с которого начинается проверка корней.
2. $|-x| = |x|$. Расстояние от нуля до числа 5 и до числа −5 абсолютно одинаковое.
3. $|x^2| = |x|^2 = x^2$. Квадрат делает выражение неотрицательным, поэтому скобки или вертикальные линии здесь играют одинаковую роль.
4. $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$. Произведение внутри модуля можно разбить на два отдельных множителя.
5. $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ при условии, что $y$ не равен нулю.
6. Неравенство треугольника: $|x + y| \le |x| + |y|$. Сумма двух чисел под одним знаком никогда не превышает сумму их отдельных значений.

Для решения задач с модулями применяют два основных метода.

• Графический метод удобно применять для визуализации количества корней. Для этого нужно построить график функции $y = f(x)$, а затем всю часть, которая оказалась ниже оси абсцисс, зеркально отразить наверх.
• Аналитический метод требует последовательного раскрытия выражений на интервалах. Если внутри модуля стоит функция, нужно найти точки, в которых эта функция равна нулю, и проверить знаки на каждом получившемся интервале.

Алгоритм решения аналитическим методом для классического уравнения вида $|f(x)| = g(x)$:

1. Запиши обязательное условие: $g(x) \ge 0$. Правая часть не может быть отрицательной, иначе уравнение не имеет смысла.
2. Разбей уравнение на два возможных сценария: $f(x) = g(x)$ и $f(x)=-g(x)$.
3. Реши полученные уравнения по отдельности.
4. Сверь найденные корни с условием из первого шага и отсей те, которые ему не удовлетворяют.

Иногда объёмные задачи из второй части ЕГЭ решаются в несколько действий благодаря свойствам функций.

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $2^{|x|}-|x| = a$ имеет нечётное количество корней.

Решение

Шаг 1. Функция в левой части уравнения — чётная. Если подставить вместо $x$ значение $-x$, выражение не изменится.

Шаг 2. Свойство чётности означает, что если у уравнения есть корень $x$, то обязательно будет и симметричный корень $-x$.

Шаг 3. Чтобы количество корней было нечётным, пара должна совпасть. Это происходит только в одном случае: когда корень равен нулю.

Шаг 4. Подставим $x = 0$ в исходное выражение. Получим: $2^0-0 = a$. Отсюда $a = 1$.

Шаг 5. Выполним проверку для найденного параметра. Подставим $a = 1$ обратно: $2^{|x|}-|x| = 1$.

Шаг 6. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид $2^t = t + 1$.

Шаг 7. График показательной функции $y = 2^t$ и прямая $y = t + 1$ пересекаются в двух точках: $t = 0$ и $t = 1$.

Шаг 8. Возвращаемся к переменной $x$. Если $t = 0$, то $x = 0$ (один корень). Если $t = 1$, то $x = 1$ и $x=-1$ (ещё два корня). В сумме уравнение имеет ровно три корня. Число 3 — нечётное, условие задачи выполнено.

Ответ: $a = 1$.

Визуализация помогает избежать длинных и громоздких алгебраических вычислений системы неравенств.

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2-4x+3| = x-a$ имеет ровно три различных корня.

Решение

Шаг 1. Выразим параметр через $x$. Перепишем выражение в виде $a = x-|x^2-4x+3|$. Теперь можно исследовать график в координатной плоскости $(x; a)$.

Шаг 2. Найдём корни внутреннего квадратного трёхчлена $x^2-4x+3 = 0$. По теореме Виета это числа 1 и 3. Они разбивают числовую прямую на интервалы.

Шаг 3. Раскроем модуль на разных интервалах. Для участков $x \le 1$ и $x \ge 3$ выражение неотрицательное. Функция принимает вид $a = x-(x^2-4x+3)=-x^2 + 5x-3$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Шаг 4. Для интервала $1 < x < 3$ подмодульное выражение отрицательное. Раскрываем его с противоположным знаком: $a = x + (x^2-4x+3) = x^2-3x + 3$. График — парабола, ветви которой направлены вверх.

Шаг 5. Найдём вершины и важные точки. Вершина параболы на интервале от 1 до 3 вычисляется по формуле $x_B = \frac{-b}{2a}$ и находится в точке $x = 1{,}5$. Значение функции в ней: $a(1{,}5) = 0{,}75$. Точки излома (границы): при $x = 1$ значение равно 1, при $x = 3$ значение равно 3.

Шаг 6. Проведём горизонтальные прямые $a = c$ (где $c$ — некое число). Горизонтальная прямая $a = c$ показывает количество решений исходного уравнения. Требуется, чтобы линия пересекла построенный график ровно три раза. Ровно три пересечения возникают:

• либо при касании внутренней ветви,
• либо при прохождении через точку излома.

Шаг 7. При $a = 0{,}75$ прямая касается вершины внутренней параболы и пересекает правую и левую ветви (всего три общих точки). При $a = 1$ прямая проходит через левую точку излома и пересекает две другие ветви графика.

Ответ: $a = 0{,}75$ и $a = 1$.

Рассмотрим классическую задачу, содержащую популярную ловушку из банка заданий экзамена.

Условие

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x-2a-1| + |x-2a+1|)^2 + a(|x-2a-1| + |x-2a+1|) + a^2-48 = 0$ имеет ровно два различных корня.

Решение

Шаг 1. В уравнении находится объёмная повторяющаяся конструкция. Введём замену: $t = |x-2a+1| + |x-2a-1|$. Уравнение превратится в квадратное: $t^2 + at + a^2-48 = 0$.

Шаг 2. Проанализируем геометрический смысл переменной $t$. Это сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек, координаты которых равны $2a + 1$ и $2a-1$.

Шаг 3. Расстояние между двумя фиксированными точками постоянно и равно 2 (разность координат). Если квадратное уравнение относительно $t$ имеет корень $t = 2$, то каждому $x \in [2a-1;\, 2a+1]$ соответствует решение, поэтому исходное уравнение имеет бесконечно много корней.

Шаг 4. Если точка $x$ находится снаружи отрезка, сумма расстояний будет строго больше двух. Каждому значению $t > 2$ будет соответствовать ровно два значения $x$ в силу симметрии функции.

Шаг 5. По условию требуется найти ровно два различных корня. Значит, новое квадратное уравнение относительно переменной $t$ должно иметь ровно один корень, который строго больше 2.

Шаг 6. Введём функцию $f(t) = t^2 + at + a^2-48$. Уравнение будет иметь один подходящий корень (больше двух) и один неподходящий (меньше двух), если значение функции в точке $t = 2$ будет строго меньше нуля.

Шаг 7. Вычислим: $f(2) = 4 + 2a + a^2-48 = a^2 + 2a-44 < 0$. Корнями этого трёхчлена являются $-1-3\sqrt{5}$ и $-1 + 3\sqrt{5}$. Получаем первый интервал для параметра $a$.

Шаг 8. Оценим сценарий, когда дискриминант равен нулю и существует всего один двукратный корень, который тоже должен быть больше 2. Найдём дискриминант уравнения $t^2 + at + a^2-48 = 0$: $D=-3a^2 + 192 = 0$. Отсюда $a = 8$ или $a=-8$.

Шаг 9. Выполним проверку этих значений. Подставим $a = 8$ в уравнение $t^2 + at + a^2-48 = 0$. Получим $t^2 + 8t + 16 = 0$, отсюда единственный корень $t=-4$ меньше 2. Поэтому исходное уравнение не имеет корней. При $a=-8$ получаем $t^2-8t + 16 = 0$ и единственный корень $t = 4$, который больше 2, что действительно даёт ровно два значения переменной $x$.

Ответ: $a$ принадлежит интервалу $(-1-3\sqrt{5};\,-1 + 3\sqrt{5}) \cup \{-8\}$.

В преобразованиях выражений с модулем легко допустить неточность. Обращай внимание на следующие правила:

• Нельзя переходить от $|f(x)| = g(x)$ сразу к независимым уравнениям $f(x) = g(x)$ и $f(x)=-g(x)$. Всегда прописывай начальное условие $g(x) \ge 0$. Правая часть не может быть отрицательной, и без этого ограничения в ответ попадут посторонние корни.
• Помни про смену знака внутри скобок при вынесении минус единицы. Выражение $|{-x} + 3|$ абсолютно равносильно $|x-3|$. Внесение и вынесение минуса под знаком модуля делает решение чище и убирает риск арифметической ошибки при переносе чисел.
• Возводить в квадрат обе части неравенства $|f(x)| > g(x)$ можно только тогда, когда есть строгая уверенность в неотрицательности обеих частей. Если такого знания нет, лучше применить обобщённый метод интервалов.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами в скрытом блоке.

Задание 1

Найди корень уравнения $|2x-4| = x-2$.

Задание 2

Сколько корней имеет уравнение $|x^2 + 5|=-3$?

После изучения этой темы можно уверенно приступать к решению уравнений с параметрами на ЕГЭ. Теперь ты умеешь применять графический и аналитический методы раскрытия модуля, использовать свойства чётности функций и выставлять ограничения правой части уравнения. Главное в таких задачах — последовательность, повышенное внимание к знакам и обязательная проверка параметра на наличие посторонних корней. Чтобы закрепить навык, реши 8–10 уравнений с модулем из банка заданий профильного уровня и потренируйся в построении графиков кусочно-заданных функций.