Как решать экономические задачи на вклады: теория и разбор задания № 16 ЕГЭ

Вместо заучивания многоэтажных формул нужно понять суть процесса. Это позволит адаптироваться к любым изменениям в условиях.

Как работает сложный процент

Деньги делают новые деньги. Если сумма находится на банковском счёте несколько лет, каждый следующий год банк начисляет проценты уже на увеличенную сумму, поэтому абсолютный прирост денег становится больше.

Повышающий коэффициент

Все школьные учебники предлагают переводить процентную ставку в специальный множитель. Пусть $S$ — первоначальная сумма, а $p$ — банковская ставка за один расчётный период.

Через один год на счёте окажется стартовая сумма плюс начисленная прибыль: $S_1 = S + S \cdot \dfrac{p}{100}$.

Если вынести общий множитель за скобки, получится $S_1 = S \cdot \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.

При ставке 10% этот множитель равен 1,1. При ставке 25% он равен 1,25. Чтобы узнать сумму на счёте через несколько лет без дополнительных операций, достаточно умножить стартовый депозит на повышающий коэффициент в нужной степени: $S_n = S \cdot k^n$.

Порядок операций

В финансовых задачах важен математический порядок действий. Нужно предельно внимательно читать условие. Чаще всего сначала банк увеличивает счёт на определённый процент, а затем человек вносит дополнительный платёж. Каждое такое действие записывается строго по очереди.

Этот алгоритм подходит для большинства вариантов экзаменационных задач.

1. Введение переменных. Выпиши буквенные обозначения для неизвестных и известных величин. Обязательно введи коэффициент $k$ с пояснениями.
2. Описание процессов по годам. Распиши финансовое состояние счёта для каждого расчётного периода. Пиши словами происходящие изменения.
3. Построение математической модели. Составь уравнение или неравенство, опираясь на последнюю полученную сумму и финальное требование из текста задачи.
4. Счёт без округлений. Считай в десятичных или обыкновенных дробях до конца. Не округляй промежуточные результаты.
5. Поиск окончательного результата. Сопоставь найденное число с начальными условиями (например, если по условию нужно указать наименьшее целое число).

Применим алгоритм на практике. Разберём два классических сюжета.

Задание. Планируется открыть вклад на 4 года, положив на счёт целое число миллионов рублей. В конце каждого года сумма, лежащая на вкладе, увеличивается на 10%, а в начале третьего и четвёртого года вклад пополняется на 3 миллиона рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более 5 миллионов рублей.

Решение

Шаг 1. Введём обозначения. Пусть $S$ — первоначальный взнос (в миллионах рублей). Процентная ставка $p = 10\%$, поэтому повышающий коэффициент $k = 1{,}1$.

Шаг 2. Проанализируем состояние счёта по годам:

• конец первого года: на счёте находится $1{,}1S$;
• конец второго года: проценты начисляются снова, получается $1{,}1 \cdot 1{,}1S = 1{,}21S$;
• начало третьего года: на счёт добавляют 3 миллиона, сумма становится $1{,}21S + 3$;
• конец третьего года: банк увеличивает новую сумму на 10%, получаем $1{,}1 \cdot (1{,}21S + 3) = 1{,}331S + 3{,}3$;
• начало четвёртого года: сумма вновь увеличивается на 3 миллиона, на балансе оказывается $1{,}331S + 6{,}3$;
• конец четвёртого года: финальное начисление банком даёт $1{,}1 \cdot (1{,}331S + 6{,}3) = 1{,}4641S + 6{,}93$.

Шаг 3. Условие задачи опирается на начисленные проценты. Прибыль — это итоговая сумма на счёте минус все личные вложения. За 4 года сумма вложений составила $S$ миллионов при открытии и два дополнительных взноса по 3 миллиона. Суммарные вложения равны $S + 6$.

Вычислим чистую прибыль: $(1{,}4641S + 6{,}93)-(S + 6) = 0{,}4641S + 0{,}93$.

Шаг 4. Составим по условию математическую модель:

$0{,}4641S + 0{,}93 > 5$.

Шаг 5. Выполним вычисления:

Шаг 6. Оценим значение дроби. Если умножить 4641 на 8, получим 37128. При умножении на 9 выйдет 41769. Значение дроби находится между 8 и 9. Запишем это как $S > 8{,}76\ldots$

Шаг 7. В условии требуется отыскать наименьший первоначальный вклад, причём он обязан быть целым числом. Наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству, равно 9.

Ответ: 9 миллионов рублей.

Задание. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а в начале третьего и четвёртого годов вклад пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.

Решение

Шаг 1. Определим переменные. Пусть $S$ — стартовый депозит. Ставка $p = 10\%$, коэффициент $k = 1{,}1$. Нужно найти наибольшее подходящее $S$.

Шаг 2. Отследим движение средств по годам:

• баланс первого года составил $1{,}1S$;
• баланс второго года равен $1{,}21S$;
• баланс третьего года после пополнения будет $1{,}21S + 2$, а после процента от банка он станет $1{,}1 \cdot (1{,}21S + 2) = 1{,}331S + 2{,}2$;
• баланс четвёртого года после пополнения даст $1{,}331S + 4{,}2$, после умножения на банковский процент получим $1{,}1 \cdot (1{,}331S + 4{,}2) = 1{,}4641S + 4{,}62$.

Шаг 3. В этот раз условие опирается не на чистую прибыль, а на финальный баланс целиком. Он должен остаться в пределах 15 миллионов:

$1{,}4641S + 4{,}62 < 15$.

Шаг 4. Выполним вычисления:

Шаг 5. Оценим значение дроби. Если умножить 14641 на 7, выйдет 102487. Величина дроби составит чуть более семи: $S < 7{,}08\ldots$

Наибольшее целое число, которое меньше 7,08, равно семи. Депозит составляет 7 миллионов.

Ответ: 7 миллионов рублей.

Чтобы не терять баллы на простых этапах, контролируй сложные моменты вычислений:

• Раннее округление дробных частей. Работай в обыкновенных дробях до завершения вычислений. Округляй только итоговый ответ при поиске целых чисел. Никогда не заменяй $1{,}4641S$ на $1{,}5S$ в середине решения.
• Подмена стоимостных понятий. Строго разделяй показатели. Начисленные проценты — это разность между финальным балансом счёта и суммарными личными взносами.
• Отсутствие математической модели. Решение на бланке не должно состоять только из чисел, записанных в столбик. Вводи пояснения словами. Баллы можно получить только за обоснованно найденный верный ответ и за правильно построенную модель.
• Нарушение хронологии. Следи за маркерами времени «в начале месяца» и «в конце года». Формируй выражение точно по условию задачи, нельзя произвольно менять местами начисление процентов и личные взносы.

Проверь уровень готовности с помощью короткого теста.

Задание 1. Чему равен повышающий банковский коэффициент, если ставка составляет 12% годовых?

Задание 2. Открыт счёт на сумму $S$ рублей под 20% годовых. Средства не снимались в течение двух лет. Какая сумма оказалась на балансе к концу срока?

Задание. Депозит в 10 миллионов рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк начисляет 10%. В начале третьего и четвёртого годов вкладчик вносит по $a$ миллионов рублей, где $a$ — целое число. Найдите наименьшее значение $a$, при котором через четыре года на счету накопится более 30 миллионов рублей.

Теперь ты понимаешь, как работает сложный процент и как строить математическую модель. Это поможет уверенно решать экономические задачи на вклады из задания 16 ЕГЭ. Чтобы получить максимальный балл на экзамене, не забывай о главных правилах:

• последовательно вводи переменные с обязательными текстовыми пояснениями;
• применяй коэффициенты и возводи их в степень;
• выполняй вычисления без ранних округлений, используя дроби;
• внимательно отслеживай хронологию зачислений банка и дополнительных взносов.

Чтобы чувствовать полную уверенность, закрепи алгоритм на практике и реши 3–5 разнотипных задач из нашего открытого банка ЕГЭ.