Ограничения (ОДЗ) при решении уравнений: теория к ЕГЭ и разбор примеров

Для нахождения ОДЗ нужно наложить на переменную в уравнении или неравенстве определённые условия, возникающие из-за свойств математических операций и функций. Поиск ограничений помогает отсекать «посторонние корни», которые могут появиться в процессе математических преобразований.

Разберём все правила, которые понадобятся для успешной сдачи экзамена. Каждая группа функций обладает своими строгими ограничениями.

Дроби и деление на ноль

Деление на ноль не определено. Если выражение содержит алгебраическую дробь, знаменатель дроби никогда не должен обращаться в ноль. В таком случае мы приравниваем знаменатель к нулю, решаем получившееся уравнение и строго исключаем найденные числа из области допустимых значений.

Например, пусть выражение содержит дробь $\frac{1}{x-5}$. Ограничением будет выступать условие $x-5 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$. Если при решении задания получится корень $x=5$, его нужно исключить из ответа.

Квадратные корни

В математике запрещено извлечение корней чётной степени из отрицательных значений. То есть всё, что стоит под знаком классического квадратного корня, должно быть больше либо равно нулю.

Рассмотрим пример. Если уравнение содержит $\sqrt{x-4}$, нужно поставить соответствующее ограничение: $x-4 \geq 0$. В таком случае допустимым значением переменной будет $x \geq 4$.

Логарифмические функции

Логарифм определён исключительно для положительных чисел. Для $\log_a{b}$ должно выполняться три условия:

• Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $b>0$.
• Основание логарифма также должно быть строго больше нуля: $a>0$.
• Основание логарифма не должно равняться единице: $a \neq 1$.

Например, при решении уравнения $\log_{x-1}{x+3}=2$ нужно выписать систему из трёх неравенств:

Только при одновременном выполнении этих условий уравнение будет иметь смысл.

Тангенсы и котангенсы

Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к косинусу. Косинус находится в знаменателе, а значит, он не должен равняться нулю. Ограничение для тангенса записывается так: $\cos{x} \neq 0$. То есть $x \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.

Аналогично для котангенса будет ограничение $\sin x \neq 0$, из чего следует $x \neq \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.

Существуют два метода работы с ограничениями:

1. Поиск в начале решения. Метод заключается в составлении полной системы всех ограничивающих неравенств до начала решения основной задачи. Этот метод подходит для простых функций, где полученные неравенства решаются быстро, и для случаев, когда ответом являются промежутки, а не отдельные значения.
2. Проверка в конце решения. В этом методе сначала решают само уравнение, не определяя ограничения, а в конце выполняют проверку найденных корней подстановкой в условия. Если после подстановки уравнение теряет смысл, этот корень считается посторонним и отбрасывается.

Иногда полное нахождение ОДЗ заменяют на метод равносильных переходов. Логический подход помогает уменьшить количество неравенств в системе и упростить её решение.

Рассмотрим иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Для решения этого уравнения нужно возвести обе его части в квадрат. Получится $f(x) = g^2(x)$. К этому уравнению важно добавить ограничение на правую часть исходного выражения: $g(x) \geq 0$. Но дополнительно ставить ограничение для функции $f(x)$ не нужно, так как из уравнения $f(x) = g^2(x)$ следует, что функция $f(x)$ равна квадрату, который всегда больше или равен нулю. Поэтому условие $f(x) \geq 0$ можно не писать. Получаем систему, решение которой является решением исходного уравнения:

Разберём прототип задания 13 из профильного ЕГЭ.

Пример с алгебраической дробью

Решите уравнение: $\dfrac{(x^2-x-12)^2}{x + \sqrt{13}}=\dfrac{(2x^2+x-27)^2}{x + \sqrt{13}}$.

Шаг 1. Записываем ограничения.

Знаменатель содержит переменную, следовательно, нужно записать условие:

$x + \sqrt{13} \neq 0, , x \neq -\sqrt{13}$.

Шаг 2. Переход к более простому уравнению.

Так как у равных дробей одинаковые знаменатели, можем приравнять их числители:

$(x^2-x-12)^2= (2x^2+x-27)^2$.

Шаг 3. Нахождение корней.

Квадраты двух выражений равны, когда либо эти выражения равны друг другу, либо противоположны по знаку.

Первый случай. Приравняем выражения без квадратов и решим полученное уравнение:

$x^2-x-12=2x^2+x-27$;

$x^2-x-12-2x^2-x+27=0$;

$-x^2-2x+15=0$;

$x^2 + 2x-15=0$;

$D=2^2-4\cdot 1 \cdot (-15)=4+60=64$;

$x=\dfrac{-2-\sqrt {64} }{2\cdot 1}=-5$;

$x=\dfrac{-2+\sqrt {64} }{2\cdot 1}=3$.

Второй случай. Приравняем выражения с противоположным знаком и решим уравнение:

$x^2-x-12=-(2x^2 + x-27)$;

$x^2-x-12=-2x^2-x+27$;

$x^2-x-12+2x^2 + x-27=0$;

$3x^2-39=0$;

$x^2 = 13$;

$x=-\sqrt {13}$ и $x=\sqrt {13}$.

Шаг 4. Проверяем корни.

Мы получили четыре корня: $x=-\sqrt {13}$, $x=-5$, $x=3$, $x=\sqrt {13}$.

Из первого шага имеем ограничение на переменную: $x \neq -\sqrt{13}$.

Следовательно, значение $x=-\sqrt {13}$ не является корнем уравнения. Оставшиеся три корня запишем в ответ.

Ответ: $x=-5$, $x=3$, $x=\sqrt {13}$.

Пример с логарифмом и тригонометрией

Разберём уравнение с комбинированными функциями.

Решите уравнение: $3 \log_8^2(\sin x)-5\log_8(\sin x)-2 = 0$.

Шаг 1. Находим ограничения.

Функция содержит логарифм, аргумент которого зависит от переменной. Записываем условие: $\sin x > 0$.

Шаг 2. Замена переменной.

Пусть $t = \log_8(\sin x)$. Получаем квадратное уравнение:

$3t^2-5t-2 = 0$.

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.

$3t^2-5t-2 = 0$;

$D=(-5)^2-4\cdot 3 \cdot (-2)=25+24=49$;

$t_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt {49} }{2\cdot 3}=-\dfrac{1}{3}$;

$t_2=\dfrac{-(-5)+\sqrt {49}}{2\cdot 3}=2$.

Шаг 4. Обратная замена.

Первый случай:

$\log_8(\sin x)=-\dfrac{1}{3}$;

$\sin x=8^{-\frac{1}{3}}$;

$\sin x=\dfrac{1}{2}$.

Второй случай:

$\log_8(\sin x)=2$;

$\sin x=8^{2}$;

$\sin x=64$.

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не превышает $1$.

Шаг 5. Находим корни. Так как $\frac{1}{2}>0$, то все корни уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$ подходят под ограничение $\sin x > 0$.

$\sin x=\dfrac{1}{2}$;

$x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k$ и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{6}+2 \pi k; \, x=\dfrac{5\pi}{6}+2 \pi k,\, k \in \mathbb{Z}$.

• Ловушка оформления. Записав аббревиатуру «ОДЗ» в бланк на экзамене, нужно обязательно найти все ограничения в задаче. Если не написать какое-то условие, проверяющий эксперт может поставить ноль баллов. Чтобы избежать этого, рекомендуется заменять аббревиатуру «ОДЗ» на слово «Ограничения» или собирать условия в единую систему вместе с самим уравнением.
• Потеря основания. При решении заданий с логарифмами обязательно нужно проверить, нет ли в их основаниях переменной. Основание, так же как и аргумент логарифма, требует проверки на условие «строго больше нуля и не равно единице».
• Деление на выражение с переменной. При решении уравнений иногда происходит деление на выражение, содержащее переменную. Например, деление на косинус или синус в тригонометрическом уравнении. Любое такое деление должно быть записано с уточнением, что эта функция не обращается в ноль. Иначе такое деление приведёт к потере корней уравнения.

Закрепи изученный материал, решив следующие задания.

Задание 1

Какое ограничение нужно записать при решении уравнения, содержащего $\sqrt{2x-8}$?

Задание 2

Какое ограничение накладывается на выражение, содержащее дробь $\dfrac{x+3}{x^2-9}$?

Задание 3

Решите уравнение $\log_2{x-3}=4$.

Приступая к любой задаче из второй части экзамена (ЕГЭ профиль), всегда нужно помнить о возможных ограничениях. Теперь ты знаешь:

• что такое область допустимых значений;
• как находить ограничения для уравнений и неравенств, содержащих дроби, корни, логарифмы, тангенсы и котангенсы;
• два метода работы с ограничениями и проверки корней;
• что лучше избегать аббревиатуры «ОДЗ» в решении второй части ЕГЭ и заменять её на «ограничения»;
• основные ловушки, связанные с ограничениями на ЕГЭ.