Геометрия во второй части профильного ЕГЭ по математике часто вызывает трудности. Обидно решить сложную планиметрическую задачу на черновике, но потерять баллы при переносе решения в чистовик. Сохранить законные три первичных балла поможет правильное оформление семнадцатого задания. Разберём требования экспертов, алгоритмы записи и прорешаем реальные примеры.
Особенности планиметрической задачи
Задание 17 состоит из двух частей. Пункт «а» требует строгого доказательства геометрического факта. Пункт «б» предлагает вычислить конкретную величину: площадь, длину отрезка или градусную меру угла.
Максимальная оценка за задание равна трём баллам. За успешное математическое доказательство в первом пункте начисляется один балл. За вычисления во втором пункте — два балла.
По правилам проверки ЕГЭ можно использовать факт из пункта «а» как данность для решения пункта «б». Если второе действие выполнено верно и с объяснением, проверяющий выставит один балл, даже если доказательство первого пункта пропущено или выполнено с ошибкой.
Чертёж — обязательный элемент решения. Без геометрической модели проверяющий эксперт не сможет сопоставить буквенные обозначения с реальной фигурой.
Универсальный алгоритм оформления
Чтобы не потерять баллы на ровном месте, приучи себя писать решения по чёткому шаблону:
- Сделай крупный и аккуратный рисунок. Размести его по центру или с краю, соблюдая примерные пропорции из условия задания.
- Пропиши вводные данные. Укажи, какие именно элементы из текста переносятся на чертёж.
- Опиши каждое дополнительное построение. Обязательны формулировки вида «проведём высоту $BH$ к стороне $AD$», «отметим середину отрезка».
- Обоснуй каждый логический шаг. Применяя формулу или теорему, запиши её название: «по свойству биссектрисы угла», «по определению трапеции».
- Раздели решение на два чётких текстовых блока. Напиши заголовок «Пункт а» и заверши доказательство словом «Доказано». Затем перейди к заголовку «Пункт б», вычисли и зафиксируй результат словом «Ответ».
Разбор реальных задач формата ЕГЭ
Применим алгоритм на практике. Рассмотрим задачи из открытого банка и разберём логику каждого этапа.
В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AC$ в точке $D$, причём $AD = R$.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Найдите площадь треугольника $BEF$, если известно, что $R = 2$ и $CD = 10$.
Рисунок к задаче
Пункт а
Шаг 1. Сделаем чертёж. Отметим центр окружности буквой $I$. Точки касания окружности назовём $D$, $E$ и $F$.
Шаг 2. Запишем свойства касательных. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам. Следовательно, угол $IDA$ и угол $IEA$ равны $90^{\circ}$.
Шаг 3. Рассмотрим четырёхугольник $ADIE$. Стороны $ID$ и $IE$ равны как радиусы окружности $R$. По условию отрезок $AD$ также равен $R$.
Шаг 4. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны. Значит, $AE = AD$. Четырёхугольник $ADIE$ имеет равные смежные стороны и прямые углы. По определению $ADIE$ — квадрат.
Шаг 5. В квадрате все углы прямые. Угол $DAE$ равен $90^{\circ}$. Угол $DAE$ совпадает с углом $A$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный. Доказано.
Пункт б
Шаг 1. Используем результаты первого пункта. Радиус $R = 2$, а значит, отрезки $AD$ и $AE$ равны 2. Отрезок $CD = 10$.
Шаг 2. Вспомним свойство касательных из одной точки. Отрезок $CF$ равен отрезку $CD$, значит $CF = 10$. Отрезки $BE$ и $BF$ равны друг другу, обозначим их длину за $x$.
Шаг 3. Выразим стороны прямоугольного треугольника $ABC$. Катет $AC$ равен сумме $AD$ и $DC$: $2 + 10 = 12$. Катет $AB$ равен сумме $AE$ и $EB$: $x + 2$. Гипотенуза $BC$ равна сумме $BF$ и $FC$: $x + 10$.
Шаг 4. Применим теорему Пифагора, чтобы найти сторону $x$. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$(x + 10)^2 = 12^2 + (x + 2)^2$,
$x^2 + 20x + 100 = 144 + x^2 + 4x + 4$,
$20x-4x = 148-100$,
$16x = 48$,
$x = 3$.
Шаг 5. Стороны $BE$ и $BF$ равны 3. Треугольник $BEF$ является равнобедренным. Для нахождения его площади применим формулу через синус угла. Найдём $\sin B$ из большого треугольника $ABC$. $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$. Гипотенуза равна $10 + 3 = 13$. $\sin B = \dfrac{12}{13}$.
Шаг 6. Найдём площадь треугольника $BEF$. $S= \dfrac{1}{2} \cdot BE \cdot BF \cdot \sin B$:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{54}{13}$.
Ответ: $\dfrac{54}{13}$.
Подобие фигур
Рассмотрим ещё один классический сюжет из второй части.
В трапеции с основаниями $BC = 6$ и $AD = 8$ на диагонали $AC$ отмечена точка $O$ такая, что $CO : OA = 2 : 3$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E$. Докажите, что $CE : DE = 6 : 1$.
Рисунок к задаче
Пункт а
Шаг 1. Сделаем чертёж трапеции. Проведём линию $BO$ и продлим её до пересечения с прямой $AD$ в точке $F$. Это дополнительное построение поможет создать подобные треугольники.
Шаг 2. Разберём первую пару подобных фигур. Треугольники $BOC$ и $FOA$ подобны по двум углам: углы при вершине $O$ равны как вертикальные, а углы $BCO$ и $FAO$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$.
Шаг 3. Запишем пропорцию подобия. Отношение $\dfrac{BC}{AF} = \dfrac{CO}{OA}$. По условию отношение равно $\dfrac{2}{3}$. Сторона $BC = 6$. Получаем уравнение: $\dfrac{6}{AF} = \dfrac{2}{3}$. Отсюда $AF = 9$.
Шаг 4. Отрезок $AD = 8$, а отрезок $AF = 9$. Точка $F$ лежит за пределами трапеции на продолжении основания. Длина отрезка $DF$ равна разности $AF$ и $AD$. Получаем: $DF = 9-8 = 1$.
Шаг 5. Рассмотрим вторую пару подобных фигур. Треугольники $BCE$ и $FDE$ подобны по двум углам (как вертикальные при вершине $E$ и накрест лежащие).
Шаг 6. Запишем отношение соответствующих сторон. Стороны соотносятся как $\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{BC}{FD}$. Подставим найденные значения: $BC = 6, \, FD = 1$. Следовательно, $\dfrac{CE}{DE} = \dfrac{6}{1}$. Доказано.
Ловушки экзамена и типичные ошибки
Опора на математические постулаты
Опасно использовать в черновике и чистовике обоснования через «визуально видно на чертеже» или «стороны равны исходя из замеров». Доказательство выстраивается исключительно на базе теорем, аксиом и признаков. Если отрезки равны, докажи это равенством треугольников или свойствами окружностей. Эксперты не засчитывают визуальные наблюдения, и ответ аннулируется.
Подмена понятий при ошибках
Разделяй арифметические и логические недочёты. Арифметической ошибкой считается промах при базовом сложении, вычитании или умножении. За такую единичную помарку на ЕГЭ снимается только один балл. Но если в процессе вычислений применяется неправильная формула (например, неверно записана теорема косинусов) — это логическая ошибка. При ней решение второго пункта оценивается в ноль баллов.
Применение свойств без доказательства
Не пользуйся свойствами фигуры, пока не докажешь, что фигура ими обладает. Распространённая ошибка — применять формулы вписанного четырёхугольника, если в условии прямо не сказано, что он лежит в окружности. Сначала докажи этот математический факт, сославшись на признак (например, на сумму противоположных углов, равную $180^{\circ}$). Только после этого шага используй нужные вычислительные свойства.
Самопроверка знаний
Попробуй закрепить материал, ответив на проверочные вопросы и разобрав задачу.
Задание 1. Разрешается ли при решении вычислительной части задачи использовать теорему косинусов без вывода формулы?
Разрешается. Главное — сопроводить шаг поясняющим текстом «опираясь на теорему косинусов…». Выводить классические формулы из школьной программы не требуется.
Задание 2. Если не получилось решить пункт «а», имеет ли смысл тратить время на пункт «б»?
Однозначно имеет. Правила проверки ЕГЭ позволяют взять утверждение первого пункта как известный факт и использовать его для вычислений во втором пункте. При правильном решении ты сможешь заработать один балл.
Точка $O$ — центр вписанной в прямоугольный треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$. Докажите, что угол $POC$ равен углу $PCO$.
Рисунок к задаче
Шаг 1. Сделай чертёж двух окружностей. Центр вписанной окружности всегда лежит на биссектрисах углов. Значит, прямая $BO$ делит угол $B$ пополам, а прямая $CO$ делит угол $C$ пополам.
Шаг 2. Рассмотри дуги описанной окружности и вписанные углы, которые на них опираются. Вырази угол $POC$ через внешний угол треугольника $BOC$. Равенство этих выражений поможет доказать утверждение.
Заключение
Теперь ты понимаешь логику оформления сложной планиметрической задачи на профильном экзамене. Ты умеешь выстраивать решение по чёткому алгоритму, правильно описывать дополнительные построения и ссылаться на нужные математические теоремы. Обрати внимание на возможность решать пункт «б» без доказанного пункта «а» — этот приём спасает баллы при дефиците времени.
Чтобы закрепить навыки оформления геометрических доказательств, рекомендуем выбрать 4–5 разнотипных задач из банка заданий и перенести их на чистый лист, соблюдая все требования к записи.
