Построение графиков уравнений (понятие функции): теория и пошаговый разбор задач

Функция задаёт чёткое правило. Каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) ставится в соответствие строго одно значение зависимой переменной $y$. Если провести вертикальную прямую через график функции, она пересечёт его не более чем в одной точке.

Уравнение с двумя переменными имеет вид $F(x, y) = 0$. График — это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых превращают выражение в верное равенство. Главное отличие — графическое представление уравнения может иметь несколько значений $y$ для одного и того же $x$. Например, окружность, которая описывается формулой $x^2 + y^2 = R^2$. Любая вертикальная прямая, пересекающая окружность и не являющаяся касательной, пересечёт её в двух точках.

В задании 18 ЕГЭ требуется исследовать, как именно пересекаются подобные линии, если в формулу добавляется неизвестный параметр $a$. Этот параметр заставляет чертёж двигаться. Он может смещать фигуру вправо или влево, менять радиус или вращать прямую вокруг одной фиксированной точки.

Чтобы решать задачи графическим методом, нужно действовать пошагово:

1. Раздели систему на понятные части. Найди статичное выражение (оно не содержит плавающих букв и всегда стоит на месте) и динамичное (содержит параметр и перемещается).
2. Зафиксируй область допустимых значений. Если в условии есть корни, знаменатели или логарифмы, обязательно заштрихуй запретные зоны или отметь выколотые точки на координатной плоскости.
3. Нарисуй статичную часть. Строй график максимально точно, соблюдая масштаб по клеточкам.
4. Исследуй движение динамичной части. Возьми пару случайных значений параметра и нарисуй эти линии. Область перемещения объекта станет наглядной.
5. Найди пограничные состояния: моменты касания двух фигур или прохождения линии через ключевые координаты (вершины, выколотые точки, центры симметрии).
6. Посчитай количество общих точек для каждого положения и выпиши лишь те промежутки, которые требуются в условии задачи.

Разберём графический подход на примерах.

Пример базовой задачи

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно два различных решения:

Решение

Шаг 1. Проанализируем первое уравнение. Это окружность. Центр находится в начале координат — в точке (0; 0). $R = \sqrt{4} = 2$. Эта фигура статична, её нужно нарисовать на координатной плоскости.

Шаг 2. Второе выражение задаёт прямую, которая сохраняет наклон под углом 45 градусов к положительному направлению оси абсцисс. Буква $a$ отвечает за перемещение этой прямой вверх и вниз вдоль оси ординат.

Шаг 3. Требуется найти положения, при которых прямая и окружность пересекаются ровно два раза. Если начать двигать прямую сверху вниз, то сначала она не будет касаться круга (ноль решений). Затем наступит момент, когда линия соприкоснётся с окружностью, давая одно решение. Как только прямая опустится ниже, она пересечёт окружность насквозь и даст ровно две искомые точки. Затем снова касается (1 решение), затем снова не пересекает.

Шаг 4. Найдём точки касания с помощью аналитической геометрии. Расстояние от центра (0; 0) до касательной, записанной в виде $x−y + a = 0$, должно равняться 2. По формуле расстояния от точки до прямой получаем модуль $a$, делённый на $\sqrt{2}$. Приравниваем эту дробь к 2. Отсюда значение параметра равно $2\sqrt{2}$ и $−2\sqrt{2}$. Следовательно, крайние положения достигаются при $a = 2\sqrt{2}$ и $a = −2\sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (−2\sqrt{2};\, 2\sqrt{2})$.

Разбор задания из профильного ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a$, при которых система имеет ровно три различных решения:
$\begin{cases} y = |x|−2, \\ x^2 + (y−a)^2 = 9. \end{cases}$

Решение

Шаг 1. Проанализируем статичный элемент с модулем. Он задаёт угол («галочку») $y = |x|-2$, направленный вверх. Вершина лежит в точке (0; −2), а ветви направлены по диагоналям под углом $45^\circ$.

Шаг 2. Динамичная часть $x^2 + (y-a)^2 = 9$ — окружность. Радиус R = 3. Центр имеет координаты $(0;\, a)$. Это означает, что фигура перемещается по вертикальной оси $Oy$.

Шаг 3. Начинаем искать ровно три пересечения. Двигаем окружность.

Случай 1: окружность касается вершины (0; −2) снизу (центр выше вершины).
Расстояние от центра $(0; a)$ до вершины $(0;\,-2)$: $|a-(-2)| = 3 \implies a + 2 = 3 \implies a = 1$.

Шаг 4. Проверяем количество пересечений с ветвями при $a = 1$.
Подставляем правую ветвь $y = x-2$ при $x \geq 0$ в уравнение окружности:
$x^2 + (x-2-1)^2 = 9 \implies x^2 + (x-3)^2 = 9$,
$2x^2-6x + 9 = 9 \implies 2x^2-6x = 0 \implies 2x(x-3) = 0$,
$x=0$ (вершина, уже учтена),
$x = 3$.
При $x = 3$ $y = 1$, точка $(3;\, 1)$. По симметрии левая ветвь даёт точку $(−3;\, 1)$.

Итого при $a = 1$ получаем три точки: $(0;\,−2)$, $(3;\, 1)$, $(−3;\, 1)$.

Шаг 5.

Случай 2: окружность касается вершины $(0;\,−2)$ сверху (центр ниже вершины):
$-(a+2) = 3 \implies a = -5$.

Шаг 6. Подставляем правую ветвь $y = x-2$ при $x \geq 0$:
$x^2 + (x-2-(-5))^2 = 9 \implies x^2 + (x+3)^2 = 9$,
$2x^2 + 6x + 9 = 9 \implies 2x^2 + 6x = 0 \implies 2x(x+3) = 0$.
$x = 0$ (вершина),
$x = -3 \notin [0;\, +\infty)$.
Точка $x = -3$ не принадлежит правой ветви. По симметрии левая ветвь ($x \leq 0$) аналогично даёт только $x = 0$.
Итого при $a = -5$ одна точка $(0;\,−2)$. Не подходит.

Шаг 7.

Случай 3: окружность касается правой ветви (не проходя через вершину).
Правая ветвь: $y = x-2$, $x \geq 0$, то есть $x-y-2 = 0$.

Шаг 8. Расстояние от центра $(0;\, a)$ до прямой $x-y-2 = 0$:
$d = \frac{|0-a-2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a + 2|}{\sqrt{2}} = 3 \implies |a+2| = 3\sqrt{2}$:

• $a + 2 = 3\sqrt{2} \implies a = 3\sqrt{2}-2$,
• $a + 2 = -3\sqrt{2} \implies a = -3\sqrt{2}-2$.

Шаг 9.

Подслучай 3 «а»: $a = 3\sqrt{2}-2 \approx 2{,}24$.
Точка касания с правой ветвью — одна. По симметрии окружность касается и левой ветви — ещё одна точка. Проверим, пересекает ли окружность вершину $(0;\,−2)$:
$\sqrt{0^2 + (-2-a)^2} = |{-2-(3\sqrt{2}-2)}| = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 > 3$.
Вершина вне окружности — пересечений с ней нет.
Итого: две точки касания. Не подходит.

Шаг 10.

Подслучай 3 «б»: $a = -3\sqrt{2}-2 \approx -6{,}24$.
Расстояние от центра до вершины:
$|-2-a| = |-2-(-3\sqrt{2}-2)| = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 > 3$.
$y_{max} = a + 3 = 1−3\sqrt{2} \approx −3,24 < −2$, то есть вся окружность лежит ниже уровня вершины $y = −2$, а значит и ниже обеих ветвей.
Окружность остаётся под ней и не пересекает ветви вообще — 0 точек. Не подходит.

Шаг 11.

Случай 4: окружность пересекает одну ветвь в двух точках, касается другой.
По симметрии графика $y = |x|-2$ относительно оси $Oy$ такая ситуация невозможна: если окружность с центром на оси $Oy$ касается одной ветви, она обязательно касается и другой (симметрично). Несимметричных касаний при центре на $Oy$ не возникает.

Шаг 12.

Случай 5: окружность пересекает ветви, не проходя через вершину.
Подставим правую ветвь $y = x-2$, $x \geq 0$ в уравнение окружности:
$x^2 + (x-2-a)^2 = 9$,
$2x^2-2(a+2)x + (a+2)^2-9 = 0$.
Дискриминант:
$D = 4(a+2)^2-8\bigl((a+2)^2-9\bigr) = -4(a+2)^2 + 72$.
Два пересечения с правой ветвью при $D > 0$:
$-4(a+2)^2 + 72 > 0 \implies (a+2)^2 < 18 \implies -3\sqrt{2} < a+2 3$.
По симметрии левая ветвь даёт столько же пересечений. Итого 4 точки. Не подходит.

При $a + 2 = 3$ получаем 3 решения и $a = 1$, корень проверен выше.

Шаг 13. Нужно дополнительно проверить, не проходит ли окружность через вершину $(0;\,−2)$ при этих же $a$: вершина на окружности при $a = 1$ или $a = -5$.

Шаг 14. При $a = 1$: $D = -4 \cdot 9 + 72 = 36 > 0$, но $x = 0$ — один из корней (уже учтён как вершина). Пересечений с правой ветвью без вершины одно ($x = 3$), плюс симметричное — итого три точки. Это снова подтверждает $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.

В условиях экзамена легко потерять баллы из-за математических мелочей. Основные подводные камни:

• Неправильное восприятие радиуса. Формула выглядит как $x^2 + y^2 = 16$. Ошибка — чертить круг радиусом 16. Правильное действие — извлечь арифметический квадратный корень. Радиус будет равен 4.
• Потеря ограничений. Ошибка — рисовать линию целиком, игнорируя знаменатель функции. Нужно в самом начале найти нули знаменателя и отметить выколотые точки на координатной плоскости.
• Глазомер вместо алгебры. Ошибка — определять точное касание фигур по рисунку и клеточкам. Визуальное касание следует подтверждать расчётами: приравнивать дискриминант к нулю или применять формулу расстояния до прямой.
• Забытые симметрии. Ошибка — найти одно значение параметра и сразу записать его в бланк. Нужно проверять чертёж на наличие симметрии (ответов часто бывает несколько).

Чтобы закрепить теорию, ответь на три вопроса:

Вопрос 1. Какие точные координаты имеет центр фигуры, заданной уравнением $(x−5)^2 + (y + 3)^2 = 25$?

Вопрос 2. Куда сместится вершина графика $y = |x + 4|$ относительно начала координат?

Вопрос 3. При каких значениях $a$ вертикальная прямая $x = 3$ пересечётся с окружностью $x^2 + y^2 = a^2$ ровно один раз?

Теперь ты умеешь отличать уравнение от функции и понимаешь алгоритм графического решения задач с параметром — это поможет успешно выполнить задание 18 на экзамене. Самое важное при построении графиков — внимательно следить за областью допустимых значений и всегда подтверждать точки пересечения алгебраическими расчётами. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить 8–10 прототипов задания 18 в «100балльном банке».