Линейные уравнения с параметром: как не потерять корни (ЕГЭ № 18)

Любое линейное уравнение с параметром ты можешь привести к виду:

где $A(a)$ и $B(a)$ — некоторые выражения, зависящие от параметра $a$.

Переменная у нас $x$, а $a$ — фиксированное, но неизвестное число.

Примеры:

• $(a − 2)x = a + 1$
• $ax = a^2 − 1$
• $(a^2 + 1)x = 3$

Вот ключевое правило, которое тебе нужно выучить наизусть.

• Если $A(a) \neq 0$, то можно смело делить: $x = \dfrac{B(a)}{A(a)}$. Получаешь единственное решение.
• Если $A(a) = 0$, но $B(a) \neq 0$, то уравнение превращается в $0 \cdot x = \text{число}$. Решений нет.
• Если $A(a) = 0$ и $B(a) = 0$, то получаешь $0 \cdot x = 0$. Подходит любое $x$ (бесконечно много решений).

Самая распространённая ошибка — пропустить второй и третий случай, сразу разделив на $A(a)$. Запомни: прежде чем делить, проверь, не ноль ли делитель.

1. Коэффициент в виде $a^2 + 1$ никогда не обнуляется (при реальных $a$). Значит, сразу можешь делить.
2. Если сказано «имеет хотя бы один корень», то это объединение случаев «одно решение» и «бесконечно много». Исключаешь только случай «нет решений».
3. Фраза «бесконечно много решений» всегда означает систему $A(a) = 0$ и $B(a) = 0$.
4. Встретилось $(a − 1)x = (a − 1)(a + 1)$? Не торопись сокращать. Сначала вынеси общий множитель или рассмотри $a = 1$ отдельно.
5. В системах сначала выражай $x$ и $y$ через $a$, потом подставляй в дополнительное условие (неравенство, отрезок и так далее).

Чаще всего задания можно условно разделить на несколько типов:

• Простейшие: найти $a$, при которых уравнение $(a − 2)x = 5$ имеет один корень / не имеет корней / имеет бесконечно много корней.
• Усложнённые: корень должен лежать в заданном промежутке, например, $[−1;\, 3]$.
• Системы: даны два линейных уравнения с параметром, нужно, чтобы решение $(x;\, y)$ удовлетворяло, скажем, $x > y$ или $x \geq 0$.

Задача 1. Три варианта для одного уравнения

Условие

Дано уравнение $(a − 2)x = a + 1$.

Выясни, при каких $a$ оно:
а) имеет единственный корень;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно много корней.

Решение

Здесь $A(a) = a − 2$, $B(a) = a + 1$.

а) Единственное решение: $a − 2 \neq 0 \;\Rightarrow\; a \neq 2$. При таких $a$ находим $x = \dfrac{a + 1}{a − 2}$.

б) Нет решений: $a − 2 = 0$ и $a + 1 \neq 0$. Из первого $a = 2$, тогда $a + 1 = 3 \neq 0$. Подходит.

в) Бесконечно много: $a − 2 = 0$ и $a + 1 = 0$ одновременно. $a = 2$, но $2 + 1 \neq 0$ → невозможно.

Ответы:
а) $a \neq 2$;
б) $a = 2$;
в) $\varnothing$.

Задача 2. Когда параметр и в коэффициенте, и в правой части

Условие

Найди все $a$, для которых $(a^2 − 1)x = a − 1$ имеет ровно один корень.

Решение

Раскладываем: $A(a) = (a − 1)(a + 1)$, $B(a) = a − 1$.

Рассуждаем по шагам.

Шаг 1. Пусть $A(a) \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq −1$. Тогда $x = \frac{a − 1}{(a − 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$.

Получили одно решение.

Шаг 2. Проверяем «опасные» точки.

Подставляем $a = 1$: получаем $0 \cdot x = 0$ → бесконечно много корней (не подходит).

Подставляем $a = −1$: получаем $0 \cdot x = −2$ → нет корней (не подходит).

Значит, подходят все $a$, кроме 1 и $−1$.

Ответ: $a \in (−\infty;\,−1) \cup (−1;\,1) \cup (1;\,+\infty)$.

Задача 3. Корень должен попасть в отрезок

Условие

При каких $a$ корень уравнения $(a + 3)x = a^2 − 9$ лежит на отрезке $[0;\, 2]$?

Решение

Сначала выясни, при каких $a$ вообще есть решения.

Если $a + 3 \neq 0$ (то есть $a \neq −3$), то $x = \frac{a^2 − 9}{a + 3} = \frac{(a − 3)(a + 3)}{a + 3} = a − 3$.

Один корень.

Если $a = −3$, то получаем $0 \cdot x = 9 − 9 = 0$ → бесконечно много корней (любой $x$).

Теперь проверяем условие про отрезок.

• При $a = −3$ бесконечно много корней → среди них заведомо есть числа из $[0;\, 2]$ (например, $x = 1$). Значит, $a = −3$ годится.
• При $a \neq −3$ корень один: $x = a − 3$. Требуем $0 \leq a − 3 \leq 2 \;\Rightarrow\; 3 \leq a \leq 5$.

Объединяем: $a = −3$ или $a$ от 3 до 5 включительно.

Ответ: $a \in \{−3\} \cup [3;\, 5]$.

Задача 4. Система с неравенством между переменными

Условие

Найди все $a$, при которых решение системы

удовлетворяет условию $x > y$.

Решение

Шаг 1. Находим $x$ и $y$. Складываем уравнения:

Подставляем в первое:

Система имеет единственное решение при любом $a$.

Шаг 2. Требуем $x > y$:

Умножаем на 3 (положительное число, знак не меняется):

Шаг 3. Ограничений на $a$ больше нет. Записываем ответ.

Ответ: $a \in (−\infty;\, 6)$.

1. $(a − 1)x = 0$ → при $a \neq 1$ корень $0$; при $a = 1$ бесконечно много.
2. $2ax = 4$ → при $a \neq 0$ $x = \dfrac{2}{a}$; при $a = 0$ нет решений.
3. $(a^2 + 1)x = a$ → всегда одно решение ($a^2 + 1 > 0$).
4. $ax = a$ → при $a \neq 0$ $x = 1$; при $a = 0$ бесконечно много.
5. $(a − 2)x = 3$ → при $a \neq 2$ один корень; при $a = 2$ нет решений.
6. $a(a − 1)x = a − 1$ → при $a \neq 0, 1$ $x = \dfrac{1}{a}$; при $a = 1$ бесконечно много; при $a = 0$ нет решений.
7. $(a − 3)x = 2a − 6 = 2(a − 3)$ → при $a \neq 3$ $x = 2$; при $a = 3$ бесконечно много.
8. $ax = a + 2$ → при $a \neq 0$ $x = \dfrac{a + 2}{a} > 0$ → $a < −2$ или $a > 0$; $a = 0$ не даёт решений.
9. $(a^2 − 4)x = 0$ → при $a \neq \pm 2$ $x = 0$; при $a = \pm 2$ бесконечно много.
10. Система $\{x + y = 1;\; 2x + 2y = a\}$ имеет бесконечно много решений при $a = 2$; при $a \neq 2$ решений нет.
11. Система $\{2x + y = a;\; x − y = 1\}$ даёт $x = \dfrac{a + 1}{3}$; условие $x \geq 0 \;\Rightarrow\; a \geq −1$.

Ошибка 1. Делить на $(a − 2)$ без оглядки на ноль.

Как исправить: всегда пиши два варианта — либо коэффициент не ноль, либо он ноль.

Ошибка 2. Путать «хотя бы один корень» и «ровно один».

Запомни: хотя бы один = одно решение + бесконечно много. Не забывай про случай бесконечного множества.

Ошибка 3. Смешивать «нет решений» и «бесконечно много».

Запомни: для бесконечного множества нужно $A = 0$ И $B = 0$. Если $A = 0$, но $B \neq 0$ — это «нет решений».

Ошибка 4. Сокращать на $(a − 1)$, не рассмотрев $a = 1$.

Как исправить: не сокращай, а переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители.

Ошибка 5. В задачах с отрезком забывать проверить границы.

Как исправить: концы отрезка подставляй в условие обязательно.

Ошибка 6. Забывать про ОДЗ, когда параметр в знаменателе.

Как исправить: выписывай запрещённые значения параметра до начала решения.

Ошибка 7. В системах не проверять, есть ли решение вообще.

Как исправить: сначала найди определитель или реши систему в общем виде, убедись, что она совместна.

Полезный совет: перед тем как сдать ответ, подставь «граничные» $a$ (например, $a = 0$, $a = 2$, $a = −3$) в исходное уравнение и прикинь, сколько корней выходит. Это быстро отлавливает случайные ошибки.

Теперь ты умеешь:

• приводить линейное уравнение с параметром к виду $A(a) \cdot x = B(a)$;
• различать три ситуации: одно решение, нет решений, бесконечно много решений;
• добавлять условия на корень (отрезок, неравенство);
• работать с системами и дополнительными требованиями типа $x > y$.

Всё это поможет тебе уверенно решать задачу №18 на ЕГЭ, когда внутри неё прячется линейная зависимость. Главное — не спеши, всегда думай о нулевом коэффициенте и проверяй граничные значения параметра.