Как учитывать ограничения в уравнениях с корнями: задание 18 ЕГЭ, параметр

1. $\sqrt{f(x)} = g(x)$ — корень равен числу или выражению

Алгоритм:

Почему? Арифметический корень всегда неотрицателен, значит и правая часть должна быть неотрицательной.

Лайфхак: «Корень равен чему-то → это что-то ≥ 0».

2. $\sqrt{f(x)} \cdot h(x) = 0$ — произведение равно нулю

Алгоритм:

Важно: даже если $h(x) = 0$, подкоренное выражение всё равно должно быть ≥ 0.

Лайфхак: «Произведение с корнем = 0» — сначала ОДЗ, потом приравниваем каждый множитель к 0.

3. $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ — два корня равны

Алгоритм:

Можно и короче: $f(x) = g(x) \geq 0$.

Лайфхак: достаточно потребовать $f(x) \geq 0$ и $f(x) = g(x)$, тогда $g(x) \geq 0$ автоматически.

Пример 1. Корень равен числу

При каких $a$ уравнение $\sqrt{x + 2} = a$ имеет ровно один корень?

Решение

1. Ограничение справа: $a \geq 0$.
2. Возводим в квадрат: $x + 2 = a^2 \Rightarrow x = a^2 − 2$.
3. Этот корень всегда один. ОДЗ: $x + 2 \geq 0 \Rightarrow a^2 \geq 0$ — выполнено.

Ответ: $a \geq 0$.

Пример 2. Корень равен выражению с $a$

При каких $a$ уравнение $\sqrt{x + 2} = x + a$ имеет ровно один корень?

Решение

1. Система:

2. Из второго: $x^2 + (2a − 1)x + (a^2 − 2) = 0$.

$D = (2a − 1)^2 − 4(a^2 − 2) = 4a^2 − 4a + 1 − 4a^2 + 8 = −4a + 9$.

3. Случай $D \lt 0$: $a \gt \frac{9}{4}$ → решений нет.

4. Случай $D = 0$: $a = \dfrac{9}{4}$.

$x = −\dfrac{2a − 1}{2} = −\dfrac{4{,}5 − 1}{2} = −1{,}75$.

Проверяем $x + a = −1{,}75 + 2{,}25 = 0{,}5 \geq 0$ → подходит.

Один корень.

5. Случай $D > 0$: $a < \dfrac{9}{4}$.

Корни: $x_{1,2} = \dfrac{1 − 2a \pm \sqrt{9 − 4a}}{2}$.

Условие $x + a \geq 0$ превращается в $\dfrac{1 \pm \sqrt{9 − 4a}}{2} \geq 0$.

• Для знака «+»: всегда $\geq 0$ → этот корень всегда подходит.
• Для знака «−»: $\dfrac{1 − \sqrt{9 − 4a}}{2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{9 − 4a} \leq 1 \Rightarrow a \geq 2$.
  При $a > 2$: корень с минусом не подходит.
  При $a = 2$: подходит, но даёт два корня.
  При $a < 2$: корень с минусом не подходит.

6. Итог для $D > 0$ ($a < \dfrac{9}{4}$):

• $a < 2$: один корень
• $2 \leq a < \dfrac{9}{4}$: два корня

7. Объединяем:

• $a \in (−\infty;\, 2)$ — один корень
• $a = \dfrac{9}{4}$ — один корень

Ответ: $a \in (−\infty;\, 2) \cup \left\{\dfrac{9}{4}\right\}$.

Пример 3. Произведение с корнем

При каких $a$ уравнение $\sqrt{x − a} \cdot (x − 2) = 0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;\, 4]$?

Решение

1. ОДЗ: $x \geq a$.
2. Корни: $x = a$, $x = 2$.
3. Условия: $a \in [0;\, 4]$ (для $x = a$), $2 \geq a$ (для $x = 2$).
4. Ровно один корень:
   • $a \in (2;\, 4]$ (только $x = a$)
   • $a < 0$ (только $x = 2$)
   • $a = 2$ (совпадение)

Ответ: $a \in (−\infty;\, 0) \cup [2;\, 4]$.

Пример 4. Два корня равны

При каких $a$ уравнение $\sqrt{x + 1} = \sqrt{ax − 1}$ имеет ровно один корень?

Решение

1. Система:

2. $x = \dfrac{2}{a − 1}$ при $a \neq 1$.

3. Условия: $\dfrac{2}{a−1} + 1 \geq 0$ и $a \cdot \dfrac{2}{a−1} − 1 \geq 0$ дают $\dfrac{a+1}{a−1} \geq 0 \Rightarrow a \leq −1$ или $a > 1$.

Ответ: $a \in (−\infty;\, −1] \cup (1;\, +\infty)$.

Задача 1. Корень и логарифм

Найдите все $a$, при которых $\sqrt{7x − 4} \cdot \ln(x^2 − 8x + 17 − a^2) = 0$ имеет на отрезке $[0;\, 4]$ ровно один корень.

Решение

1. ОДЗ: $x \geq \dfrac{4}{7}$.
2. Произведение $= 0$:
   • $\sqrt{7x − 4} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{7}$
   • $\ln(x^2 − 8x + 17 − a^2) = 0 \Rightarrow x^2 − 8x + 17 − a^2 = 1 \Rightarrow (x−4)^2 = a^2 \Rightarrow x = 4 \pm a$
3. Для $x = \dfrac{4}{7}$ логарифм определён: $|a| < \dfrac{25}{7}$.
4. Для $x = 4 − a$: ОДЗ $4 − a \geq \dfrac{4}{7} \Rightarrow a \leq \dfrac{24}{7}$, на $[0;\, 4] \Rightarrow a \in \left[0;\, \dfrac{24}{7}\right]$.
   Для $x = 4 + a$: ОДЗ $4 + a \geq \dfrac{4}{7} \Rightarrow a \geq −\dfrac{24}{7}$, на $[0;\, 4] \Rightarrow a \in \left[−\dfrac{24}{7};\, 0\right]$.
5. Уже есть $x = \dfrac{4}{7}$ при $|a| < \dfrac{25}{7}$.
   • При $a \in \left(−\dfrac{24}{7};\, \dfrac{24}{7}\right)$, $a \neq 0$ — два корня.
   • При $a = 0$ — два корня.
   • При $a = \pm\dfrac{24}{7}$ — один корень.
   • При $\dfrac{24}{7} < |a| < \dfrac{25}{7}$ — только $x = \dfrac{4}{7}$.

Ответ: $a \in \left(−\dfrac{25}{7};\, −\dfrac{24}{7}\right] \cup \left[\dfrac{24}{7};\, \dfrac{25}{7}\right)$.

Задача 2. Два корня равны, отрицательный корень

Найдите все $a$, при которых $\sqrt{x^2 + 6x + 8} = \sqrt{a − 3x}$ имеет ровно один отрицательный корень.

Решение

1. Система:

2. ОДЗ: $x \leq −4$ или $x \geq −2$.

3. Из уравнения: $x^2 + 9x + 8 − a = 0$.

$D = 49 + 4a$.

Корни: $x_1 = \dfrac{−9 − \sqrt{49 + 4a}}{2}$, $x_2 = \dfrac{−9 + \sqrt{49 + 4a}}{2}$.

4. $x_1$ всегда отрицательный и $\leq −4{,}5$ → всегда в ОДЗ.

$x_2$ при $a \lt 8$ отрицательный, при $a=8$ равен $0$, при $a \gt 8$ положительный

При $a < 8$ $x_2$ в ОДЗ только если $x_2 \leq −4 \Rightarrow a \leq −12$.

5. Отбор:

• $a = −\dfrac{49}{4}$: $D = 0$, $x = −4{,}5$ → один отрицательный → подходит.
• $a < −12$ (кроме $−\dfrac{49}{4}$): два отрицательных → не подходит.
• $a = −12$: $x_1 = −5$, $x_2 = −4$ → два отрицательных → не подходит.
• $−12 < a < −6$: один отрицательный ($x_2$ не в ОДЗ) → подходит.
• $a \geq 8$: один отрицательный ($x_2 \geq 0$) → подходит.

Ответ: $\left\{−\dfrac{49}{4}\right\} \cup [−12;\, −6) \cup [8;\, +\infty)$.

Задача 3. Корень из многочлена равен выражению

Найдите все $a$, при которых $\sqrt{x^4 − 9x^2 + a^2} = x^2 + 3x − a$ имеет ровно три различных корня.

Решение

1. Система:

2. После упрощений: $2x(x + 3)(3x − a) = 0 \Rightarrow x = −3,\ x = 0,\ x = \dfrac{a}{3}$.

3. Условие $x^2 + 3x − a \geq 0$:

• $x = −3$: $a \leq 0$
• $x = 0$: $a \leq 0$
• $x = \dfrac{a}{3}$: $\dfrac{a^2}{9} \geq 0$ — всегда

4. Значит, все корни существуют при $a \leq 0$.

5. Совпадения:

• $a = −9$: $x_1 = x_3$
• $a = 0$: $x_2 = x_3$

6. Подсчёт:

• $a < −9$: три различных корня
• $a = −9$: два корня
• $−9 < a < 0$: три различных корня
• $a = 0$: два корня
• $a > 0$: один корень

Ответ: $a \in (−\infty;\, −9) \cup (−9;\, 0)$.

Теперь ты умеешь решать уравнения с корнями и параметром, учитывая все ограничения. Ты освоил три главных типа конструкций и знаешь для каждого алгоритм: сначала ОДЗ и условия на знак, потом возведение в квадрат, затем проверка каждого корня.

Ты научился не терять корни из-за забытого условия $g(x) \geq 0$ и не добавлять лишние — из-за автоматического возведения в квадрат. Ты понимаешь, что при $D > 0$ не всегда оба корня подходят, а при совпадении корней их количество уменьшается.

Задание 18 — одно из самых сложных на ЕГЭ, но теперь у тебя есть чёткий план действий. Ты разобрал реальные задачи из банка ФИПИ и готов справиться с любым уравнением, где есть корень и параметр.

Удачи на экзамене!