Задание № 18 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — одно из самых сложных. Оно требует найти все значения параметра, при которых выполняется условие (ровно два корня, более двух различных корней и так далее).

Эффективный метод — графический метод в плоскости $(x; a)$ . Вместо того чтобы выражать $x$ через $a$ , выражаем параметр $a$ через $x$ и строим график. Горизонтальная прямая $a = const$ показывает количество решений.

В статье разбираем два задания:

дробно-рациональное уравнение;
уравнение с модулем (сводится к окружностям).

Суть метода $(x;\, a)$

Идея метода — исходное уравнение преобразуем к виду $a = f (x)$ . Строим график в плоскости $(x; a)$ . Для фиксированного $a_{0}$ количество корней по $x$ равно числу пересечений горизонтальной прямой $a = a_{0}$ с графиком (с учётом ОДЗ).

Когда метод удобен:

параметр легко выражается через $x$ ;
уравнение распадается на множители;
есть ограничения: знаменатель $\neq 0$ , корень, модуль;
нужно посчитать количество различных решений.

Алгоритм:

Привести уравнение к виду $F (x, a) = 0$ .
Разложить на множители.
Из каждого множителя выразить $a = φ (x)$ .
Выписать ОДЗ (знаменатель $\neq 0$ , подкоренное $\geq 0$ ).
Построить графики $a = φ (x)$ в плоскости $(x; a)$ .
Провести горизонтальную прямую $a = const$ .
Сосчитать точки пересечения — это количество корней по $x$ .
Проверить, не совпадают ли корни из разных веток.

Разбор заданий

Задача 1. Дробно-рациональное уравнение

Условие

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

\frac{4 x^{2} - a^{2}}{x^{2} + 6 x + 9 - a^{2}} = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Шаг 1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

4 x^{2} - a^{2} = 0, x^{2} + 6 x + 9 - a^{2} \neq 0 .

Шаг 2. Решаем числитель:

4 x^{2} = a^{2} \Rightarrow x = \frac{a}{2} или x = - \frac{a}{2} .

При $a = 0$ оба корня совпадают: $x = 0$ (один корень).

Шаг 3. Условие знаменателя:

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ , поэтому:

(x + 3)^{2} - a^{2} \neq 0 \Rightarrow (x + 3 - a) (x + 3 + a) \neq 0 .

Значит: $x \neq a - 3$ и $x \neq - a - 3$ .

Шаг 4. Выражаем $a$ через $x$ из числителя:

a = 2 x и a = - 2 x (две прямые)

Запрещённые точки из знаменателя:

a = x + 3 и a = - x - 3 (ещё две прямые)

Шаг 5. Для фиксированного $a$ (горизонтальная прямая):

пересечение с $a = 2 x$ даёт $x = \frac{a}{2}$ ;
пересечение с $a = - 2 x$ даёт $x = - \frac{a}{2}$ .

При $a \neq 0$ эти два $x$ различны. Они не должны попадать в запрет.

Шаг 6. Находим «плохие» $a$ :

Для $x = \frac{a}{2}$ :

\frac{a}{2} = a - 3 \Rightarrow a = 6; \frac{a}{2} = - a - 3 \Rightarrow a = - 2 .

Для $x = - \frac{a}{2}$ :

- \frac{a}{2} = a - 3 \Rightarrow a = 2; - \frac{a}{2} = - a - 3 \Rightarrow a = - 6 .

При $a = \pm 2, \pm 6$ один корень обращает знаменатель в ноль → остаётся один корень.

Шаг 7. Итог:

$a = 0$ → один корень (не подходит);
$a = \pm 2, \pm 6$ → один корень (не подходит);
при всех остальных $a$ → ровно два различных корня.

Ответ: $a \in ℝ ⧵ {- 6, - 2, 0, 2, 6}$ .

Задача 2. Уравнение с модулем (окружности)

Условие

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

x^{2} + a^{2} + x - 7 a = | 7 x + a |

имеет более двух различных корней.

Решение (графический метод)

Шаг 1. Раскрываем модуль:

| 7 x + a | = 7 x + a, если a \geq - 7 x

| 7 x + a | = - 7 x - a, если a < - 7 x

Шаг 2. Преобразуем каждый случай.

Случай 1: $a \geq - 7 x$

x^{2} + a^{2} + x - 7 a = 7 x + a

x^{2} + a^{2} - 6 x - 8 a = 0

Выделяем полные квадраты:

(x^{2} - 6 x + 9) + (a^{2} - 8 a + 16) = 9 + 16

(x - 3)^{2} + (a - 4)^{2} = 25 = 5^{2}

Окружность $Ω_{1}$ с центром $(3; 4)$ , радиус 5. Условие: $a \geq - 7 x$ (выше прямой $a = - 7 x$ ).

Случай 2: $a < - 7 x$

x^{2} + a^{2} + x - 7 a = - 7 x - a

x^{2} + a^{2} + 8 x - 6 a = 0

(x^{2} + 8 x + 16) + (a^{2} - 6 a + 9) = 16 + 9

(x + 4)^{2} + (a - 3)^{2} = 25

Окружность $Ω_{2}$ с центром $(- 4; 3)$ , радиус 5. Условие: $a < - 7 x$ (ниже прямой $a = - 7 x$ ).

Шаг 3. Геометрическая картина.

В плоскости $(x; a)$ :

$Γ_{1}$ — дуга $Ω_{1}$ при $a \geq - 7 x$ (выше или на прямой);
$Γ_{2}$ — дуга $Ω_{2}$ при $a < - 7 x$ (ниже прямой).

Для фиксированного $a$ горизонтальная прямая пересекает $Γ_{1} \cup Γ_{2}$ . Число пересечений равно числу корней уравнения.

Шаг 4. Характерные значения $a$ :

Касательные к $Ω_{1}$ : нижняя $a = - 1$ , верхняя $a = 9$ .
Касательные к $Ω_{2}$ : нижняя $a = - 2$ , верхняя $a = 8$ .
Пересечение $Ω_{1}$ и $Ω_{2}$ : $a = 0$ и $a = 7$ (точки лежат на прямой $a = - 7 x$ ).

Шаг 5. Таблица количества корней.

Прямая $a = const$	$Ω_{1}$	$Ω_{2}$	Корней
$a < - 2$	0	0	0
$a = - 2$	0	1 (касание)	1
$- 2 < a < - 1$	0	2	2
$a = - 1$	1 (касание)	2	3
$- 1 < a < 0$	2	2	4
$a = 0$	2 (одна общая точка)	2	3
$0 < a < 7$	2	2	4
$a = 7$	2	2 (одна общая точка)	3
$7 < a < 8$	2	2	4
$a = 8$	2	1 (касание)	3
$8 < a < 9$	2	0	2
$a = 9$	1 (касание)	0	1
$a > 9$	0	0	0

Шаг 6. «Более двух корней» — это 3 или 4 корня.

Из таблицы:

3 корня: $a = - 1, 0, 7, 8$
4 корня: $- 1 < a < 0$ , $0 < a < 7$ , $7 < a < 8$

Объединяем: $a \in [- 1; 0] \cup [7; 8]$

Ответ: $[- 1; 0] \cup [7; 8]$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Типичные ошибки

Ошибка	Как избежать
Забывают проверить знаменатель	Выписывать $x \neq \dots$ до начала решения
При раскрытии модуля теряют условие на знак	Записывать системы: раскрытие + условие
Не проверяют слияние корней	Приравнивать $x$ из разных случаев при одном $a$
Считают все пересечения без учёта ОДЗ	Каждую ветку строить только на своей области
Не включают границы при условии «более двух»	Помнить: «более двух» — это 3 и 4; границы с тремя корнями включаются

Заключение

Теперь ты умеешь:

решать дробно-рациональные уравнения с параметром методом $(x; a)$ ;
раскрывать модуль и переходить к системам;
сводить уравнения с модулем к окружностям;
анализировать горизонтальные сечения дуг окружностей;
находить значения $a$ для двух, трёх и четырёх корней;
избегать типичных ошибок.

С этими навыками ты решишь задания ЕГЭ № 18 любой сложности. Главное — не бояться параметров, а уметь смотреть на них с правильной стороны: как на горизонтальную прямую в плоскости $(x; a)$ .