Задание № 18 ЕГЭ по математике (профильный уровень) — одно из самых сложных. Оно требует найти все значения параметра, при которых выполняется условие (ровно два корня, более двух различных корней и так далее).
Эффективный метод — графический метод в плоскости $(x;\, a)$. Вместо того чтобы выражать $x$ через $a$, выражаем параметр $a$ через $x$ и строим график. Горизонтальная прямая $a = \text{const}$ показывает количество решений.
В статье разбираем два задания:
- дробно-рациональное уравнение;
- уравнение с модулем (сводится к окружностям).
Суть метода $(x;\, a)$
Идея метода — исходное уравнение преобразуем к виду $a = f(x)$. Строим график в плоскости $(x;\, a)$. Для фиксированного $a_0$ количество корней по $x$ равно числу пересечений горизонтальной прямой $a = a_0$ с графиком (с учётом ОДЗ).
Когда метод удобен:
- параметр легко выражается через $x$;
- уравнение распадается на множители;
- есть ограничения: знаменатель $\neq 0$, корень, модуль;
- нужно посчитать количество различных решений.
Алгоритм:
- Привести уравнение к виду $F(x,\, a) = 0$.
- Разложить на множители.
- Из каждого множителя выразить $a = \varphi(x)$.
- Выписать ОДЗ (знаменатель $\neq 0$, подкоренное $\geq 0$).
- Построить графики $a = \varphi(x)$ в плоскости $(x;\, a)$.
- Провести горизонтальную прямую $a = \text{const}$.
- Сосчитать точки пересечения — это количество корней по $x$.
- Проверить, не совпадают ли корни из разных веток.
Разбор заданий
Задача 1. Дробно-рациональное уравнение
Условие
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\frac{4x^2 - a^2}{x^2 + 6x + 9 - a^2} = 0$
имеет ровно два различных корня.
Решение
Шаг 1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$4x^2 - a^2 = 0, \quad x^2 + 6x + 9 - a^2 \neq 0.$
Шаг 2. Решаем числитель:
$4x^2 = a^2 \;\Rightarrow\; x = \frac{a}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{a}{2}.$
При $a = 0$ оба корня совпадают: $x = 0$ (один корень).
Шаг 3. Условие знаменателя:
$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$, поэтому:
$(x+3)^2 - a^2 \neq 0 \;\Rightarrow\; (x + 3 - a)(x + 3 + a) \neq 0.$
Значит: $x \neq a − 3$ и $x \neq −a − 3$.
Шаг 4. Выражаем $a$ через $x$ из числителя:
$a = 2x \quad \text{и} \quad a = -2x \quad \text{(две прямые)}$
Запрещённые точки из знаменателя:
$a = x + 3 \quad \text{и} \quad a = -x - 3 \quad \text{(ещё две прямые)}$
Шаг 5. Для фиксированного $a$ (горизонтальная прямая):
- пересечение с $a = 2x$ даёт $x = \dfrac{a}{2}$;
- пересечение с $a = −2x$ даёт $x = −\dfrac{a}{2}$.
При $a \neq 0$ эти два $x$ различны. Они не должны попадать в запрет.
Шаг 6. Находим «плохие» $a$:
Для $x = \dfrac{a}{2}$:
$\frac{a}{2} = a - 3 \;\Rightarrow\; a = 6; \qquad \frac{a}{2} = -a - 3 \;\Rightarrow\; a = -2.$
Для $x = −\dfrac{a}{2}$:
$-\frac{a}{2} = a - 3 \;\Rightarrow\; a = 2; \qquad -\frac{a}{2} = -a - 3 \;\Rightarrow\; a = -6.$
При $a = \pm 2,\, \pm 6$ один корень обращает знаменатель в ноль → остаётся один корень.
Шаг 7. Итог:
- $a = 0$ → один корень (не подходит);
- $a = \pm 2,\, \pm 6$ → один корень (не подходит);
- при всех остальных $a$ → ровно два различных корня.
Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{−6,\, −2,\, 0,\, 2,\, 6\}$.
Задача 2. Уравнение с модулем (окружности)
Условие
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|$
имеет более двух различных корней.
Решение (графический метод)
Шаг 1. Раскрываем модуль:
$|7x + a| = 7x + a, \quad \text{если } a \geq -7x$
$|7x + a| = -7x - a, \quad \text{если } a < -7x$
Шаг 2. Преобразуем каждый случай.
Случай 1: $a \geq −7x$
$x^2 + a^2 + x - 7a = 7x + a$
$x^2 + a^2 - 6x - 8a = 0$
Выделяем полные квадраты:
$(x^2 - 6x + 9) + (a^2 - 8a + 16) = 9 + 16$
$(x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 25 = 5^2$
Окружность $\Omega_1$ с центром $(3;\, 4)$, радиус 5. Условие: $a \geq −7x$ (выше прямой $a = −7x$).
Случай 2: $a < −7x$
$x^2 + a^2 + x - 7a = -7x - a$
$x^2 + a^2 + 8x - 6a = 0$
$(x^2 + 8x + 16) + (a^2 - 6a + 9) = 16 + 9$
$(x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 25$
Окружность $\Omega_2$ с центром $(−4;\, 3)$, радиус 5. Условие: $a < −7x$ (ниже прямой $a = −7x$).
Шаг 3. Геометрическая картина.
В плоскости $(x;\, a)$:
- $\Gamma_1$ — дуга $\Omega_1$ при $a \geq −7x$ (выше или на прямой);
- $\Gamma_2$ — дуга $\Omega_2$ при $a < −7x$ (ниже прямой).
Для фиксированного $a$ горизонтальная прямая пересекает $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$. Число пересечений равно числу корней уравнения.
Шаг 4. Характерные значения $a$:
- Касательные к $\Omega_1$: нижняя $a = −1$, верхняя $a = 9$.
- Касательные к $\Omega_2$: нижняя $a = −2$, верхняя $a = 8$.
- Пересечение $\Omega_1$ и $\Omega_2$: $a = 0$ и $a = 7$ (точки лежат на прямой $a = −7x$).
Шаг 5. Таблица количества корней.
| Прямая $a = \text{const}$ | $\Omega_1$ | $\Omega_2$ | Корней |
|---|---|---|---|
| $a < −2$ | 0 | 0 | 0 |
| $a = −2$ | 0 | 1 (касание) | 1 |
| $−2 < a < −1$ | 0 | 2 | 2 |
| $a = −1$ | 1 (касание) | 2 | 3 |
| $−1 < a < 0$ | 2 | 2 | 4 |
| $a = 0$ | 2 (одна общая точка) | 2 | 3 |
| $0 < a < 7$ | 2 | 2 | 4 |
| $a = 7$ | 2 | 2 (одна общая точка) | 3 |
| $7 < a < 8$ | 2 | 2 | 4 |
| $a = 8$ | 2 | 1 (касание) | 3 |
| $8 < a < 9$ | 2 | 0 | 2 |
| $a = 9$ | 1 (касание) | 0 | 1 |
| $a > 9$ | 0 | 0 | 0 |
Шаг 6. «Более двух корней» — это 3 или 4 корня.
Из таблицы:
- 3 корня: $a = −1,\; 0,\; 7,\; 8$
- 4 корня: $−1 < a < 0$, $\;0 < a < 7$, $\;7 < a < 8$
Объединяем: $a \in [−1;\, 0] \cup [7;\, 8]$
Ответ: $[−1;\, 0] \cup [7;\, 8]$.
Типичные ошибки
| Ошибка | Как избежать |
|---|---|
| Забывают проверить знаменатель | Выписывать $x \neq \ldots$ до начала решения |
| При раскрытии модуля теряют условие на знак | Записывать системы: раскрытие + условие |
| Не проверяют слияние корней | Приравнивать $x$ из разных случаев при одном $a$ |
| Считают все пересечения без учёта ОДЗ | Каждую ветку строить только на своей области |
| Не включают границы при условии «более двух» | Помнить: «более двух» — это 3 и 4; границы с тремя корнями включаются |
Заключение
Теперь ты умеешь:
- решать дробно-рациональные уравнения с параметром методом $(x;\, a)$;
- раскрывать модуль и переходить к системам;
- сводить уравнения с модулем к окружностям;
- анализировать горизонтальные сечения дуг окружностей;
- находить значения $a$ для двух, трёх и четырёх корней;
- избегать типичных ошибок.
С этими навыками ты решишь задания ЕГЭ № 18 любой сложности. Главное — не бояться параметров, а уметь смотреть на них с правильной стороны: как на горизонтальную прямую в плоскости $(x;\, a)$.
Автор статьи
