Чётность и монотонность функций в задачах с параметрами (ЕГЭ № 18)

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение

1. Замена.

Пусть $t = \sqrt{2x − x^2}$.

Найдём ОДЗ: $2x − x^2 \geq 0 \;\Rightarrow\; x \in [0;\, 2]$.

Функция $2x − x^2 = −(x−1)^2 + 1$ принимает значения от 0 до 1, значит $t \in [0;\, 1]$.

2. Уравнение в новых переменных.

$(2x − x^2)^2 = t^4$, поэтому:

$t^4 − 4t = a^2 − 4a$.

Обозначим $f(t) = t^4 − 4t$, $\;t \in [0;\,1]$.

3. Исследование $f(t)$ на монотонность.

$f'(t) = 4t^3 − 4 = 4(t^3 − 1)$.

При $t \in [0;\,1]$ выполнено $t^3 − 1 \leq 0$, поэтому $f'(t) \leq 0$.

Значит, $f(t)$ убывает на $[0;\,1]$.

Находим значения на концах:

$f(0) = 0, \quad f(1) = 1 − 4 = -3$.

Так как функция убывает, её множество значений — отрезок $[−3;\, 0]$.

4. Условие существования корня.

Уравнение $f(t) = a^2 − 4a$ имеет решение $t \in [0;\,1]$ тогда и только тогда, когда

$a^2 − 4a \in [−3;\, 0]$.

Это равносильно системе:

$\begin{cases} a^2 − 4a \geq −3, \\ a^2 − 4a \leq 0. \end{cases}$

5. Решение системы.

Первое неравенство: $a^2 − 4a + 3 \geq 0 \;\Rightarrow\; (a−1)(a−3) \geq 0 \;\Rightarrow\; a \leq 1$ или $a \geq 3$.

Второе неравенство: $a(a−4) \leq 0 \;\Rightarrow\; 0 \leq a \leq 4$.

Пересечение: $a \in [0;\,1] \cup [3;\,4]$.

Ответ: $[0;\,1] \cup [3;\,4]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение

1. Перепишем уравнение в виде $f(x) = g(x)$.

$5\sqrt{4x^2 + 9} = 3|4x − 3a| − 13|x| − a^2 + 3a$.

2. Анализ левой части $f(x)$.

$f(x) = 5\sqrt{4x^2 + 9}$.

При всех $x$ под корнем $4x^2 + 9 \geq 9$, поэтому $f(x) \geq 15$.

Функция чётная, при $x \geq 0$ возрастает.

3. Анализ правой части $g(x)$.

$g(x) = 3|4x − 3a| − 13|x| − a^2 + 3a$.

Исследуем поведение $g(x)$ в зависимости от знака $x$.

При $x < 0$: $|x| = −x$.

$g(x) = 3|4x − 3a| + 13x − a^2 + 3a$.

После раскрытия модуля $|4x − 3a|$ коэффициент при $x$ будет либо $13 + 12 = 25$, либо $13 − 12 = 1$. В обоих случаях он положителен, поэтому функция возрастает при приближении к нулю.

При $x > 0$: $|x| = x$.

$g(x) = 3|4x − 3a| − 13x − a^2 + 3a$.

Коэффициент при $x$ после раскрытия модуля: либо $−13 + 12 = −1$, либо $−13 − 12 = −25$. Он отрицателен — функция убывает при удалении от нуля.

Значит, $x = 0$ — точка глобального максимума $g(x)$.

4. Максимум $g(x)$.

$g(0) = 3|−3a| − 0 − a^2 + 3a = 9|a| − a^2 + 3a$.

5. Условие существования корня.

Так как $f(x) \geq 15$, а $g(x) \leq g(0)$, равенство возможно, только если $g(0) \geq 15$. Непрерывность $f$ и $g$ и стремление $f \to +\infty$ при $x \to \pm\infty$ гарантируют, что этого условия достаточно.

Решаем неравенство:

$9|a| − a^2 + 3a \geq 15$.

Случай 1: $a \geq 0$.

$9a − a^2 + 3a \geq 15 \;\Rightarrow\; −a^2 + 12a − 15 \geq 0 \;\Rightarrow\; a^2 − 12a + 15 \leq 0$.

Корни: $a = 6 \pm \sqrt{21}$.

Решение: $a \in \left[6 − \sqrt{21};\; 6 + \sqrt{21}\right]$.

С учётом $a \geq 0$ получаем $a \in \left[6 − \sqrt{21};\; 6 + \sqrt{21}\right]$.

Случай 2: $a < 0$.

$−9a − a^2 + 3a \geq 15 \;\Rightarrow\; −a^2 − 6a − 15 \geq 0 \;\Rightarrow\; a^2 + 6a + 15 \leq 0$.

Дискриминант $36 − 60 = −24 < 0$, неравенство не выполняется ни при каких $a$.

Ответ: $a \in \left[6 − \sqrt{21};\; 6 + \sqrt{21}\right]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно одно решение.

Решение

1. Используем чётность.

Левая часть $\sqrt[4]{a^4 + x^4}$ зависит от $x^4$, значит, чётна.

Правая часть: $\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$ чётна, остальное — константа. Значит, всё уравнение чётно.

Поэтому если $x_0 \neq 0$ — корень, то и $−x_0$ — корень.

Для единственности корня необходимо, чтобы корнем был только $x = 0$.

2. Подставим $x = 0$.

$\sqrt[4]{a^4} = \cos 0 + a^2 − 2a − 1 \;\Rightarrow\; |a| = 1 + a^2 − 2a − 1 = a^2 − 2a$.

Получаем уравнение:

$a^2 − 2a = |a|$.

Решаем:

Если $a \geq 0$: $\;a^2 − 2a = a \;\Rightarrow\; a^2 − 3a = 0 \;\Rightarrow\; a(a − 3) = 0 \;\Rightarrow\; a = 0$ или $a = 3$.

Если $a < 0$: $\;a^2 − 2a = −a \;\Rightarrow\; a^2 − a = 0 \;\Rightarrow\; a(a−1) = 0 \;\Rightarrow\; a = 0$ или $a = 1$ (оба не подходят, так как $a < 0$).

Итого: $a = 0$ или $a = 3$.

3. Проверим единственность корня для каждого $a$.

При $a = 0$

Уравнение: $\sqrt[4]{x^4} = |x| = \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) − 1$.

Левая часть $\geq 0$, правая часть $\leq 0$ (так как $\cos \leq 1$).

Равенство возможно, только когда обе части равны 0:

$|x| = 0 \;\Rightarrow\; x = 0$; при этом $\cos(0) − 1 = 0$ — верно.

Других решений нет. Значит, ровно один корень.

При $a = 3$

Уравнение: $\sqrt[4]{81 + x^4} = \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 9 − 6 − 1 = \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 2$.

Левая часть $\geq \sqrt[4]{81} = 3$.

Правая часть $\leq 1 + 2 = 3$.

Равенство возможно только когда обе части равны 3.

Левая часть равна 3 только при $x = 0$. При $x = 0$ правая часть равна $1 + 2 = 3$.

При $x \neq 0$ левая часть $> 3$, а правая $\leq 3$, решений нет.

Значит, ровно один корень.

Ответ: $a = 0$ или $a = 3$.

1. При замене забывают найти область значений новой переменной. Всегда находи $t_{\min}$ и $t_{\max}$ — иначе можно получить лишние или потерять корни.
2. Не проверяют монотонность на всём отрезке. Даже если функция кажется убывающей, найди производную или разность значений на концах.
3. В чётных уравнениях сразу пишут «$x = 0$ — корень», не проверяя. Сначала убедись, что $x = 0$ вообще удовлетворяет уравнению (это даёт уравнение на $a$).
4. В примере с модулями не доказывают, что максимум именно в нуле. Проанализируй коэффициенты при $x$ слева и справа от нуля. Если слева функция возрастает, а справа убывает — всё верно.

После разбора этих трёх примеров ты можешь:

• вводить замену с учётом монотонности и находить промежуток значений для новой переменной;
• анализировать кусочно-линейные функции с модулями, находить их максимум в точке излома;
• использовать чётность для сведения задачи к случаю $x = 0$ и проверять единственность корня.

Эти приёмы регулярно встречаются в задачах с параметрами из №18 ЕГЭ и позволяют значительно сократить решение.