Чётность и монотонность функций в задачах с параметрами (ЕГЭ № 18)

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение

1. Замена.

Пусть $t=\sqrt{2x-x^2}$.

Найдём ОДЗ: $2x-x^2\ge 0\Rightarrow x\in [0;2]$.

Функция $2x-x^2=-(x-1{)}^2+1$ принимает значения от 0 до 1, значит $t\in [0;1]$.

2. Уравнение в новых переменных.

$(2x-x^2{)}^2=t^4$, поэтому:

$t^4-4t=a^2-4a$.

Обозначим $f(t)=t^4-4t$, $t\in [0;1]$.

3. Исследование $f(t)$ на монотонность.

$f^{\prime }(t)=4t^3-4=4(t^3-1)$.

При $t\in [0;1]$ выполнено $t^3-1\le 0$, поэтому $f^{\prime }(t)\le 0$.

Значит, $f(t)$ убывает на $[0;1]$.

Находим значения на концах:

$f(0)=0,f(1)=1-4=-3$.

Так как функция убывает, её множество значений — отрезок $[-3;0]$.

4. Условие существования корня.

Уравнение $f(t)=a^2-4a$ имеет решение $t\in [0;1]$ тогда и только тогда, когда

$a^2-4a\in [-3;0]$.

Это равносильно системе:

$\{\begin{array}{c}{a}^2-4a\ge -3,\hfill \\ a^2-4a\le 0.\hfill \end{array}$

5. Решение системы.

Первое неравенство: $a^2-4a+3\ge 0\Rightarrow (a-1)(a-3)\ge 0\Rightarrow a\le 1$ или $a\ge 3$.

Второе неравенство: $a(a-4)\le 0\Rightarrow 0\le a\le 4$.

Пересечение: $a\in [0;1]\cup [3;4]$.

Ответ: $[0;1]\cup [3;4]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение

1. Перепишем уравнение в виде $f(x)=g(x)$.

$5\sqrt{4x^2+9}=3|4x-3a|-13|x|-a^2+3a$.

2. Анализ левой части $f(x)$.

$f(x)=5\sqrt{4x^2+9}$.

При всех $x$ под корнем $4x^2+9\ge 9$, поэтому $f(x)\ge 15$.

Функция чётная, при $x\ge 0$ возрастает.

3. Анализ правой части $g(x)$.

$g(x)=3|4x-3a|-13|x|-a^2+3a$.

Исследуем поведение $g(x)$ в зависимости от знака $x$.

При $x<0$: $|x|=-x$.

$g(x)=3|4x-3a|+13x-a^2+3a$.

После раскрытия модуля $|4x-3a|$ коэффициент при $x$ будет либо $13+12=25$, либо $13-12=1$. В обоих случаях он положителен, поэтому функция возрастает при приближении к нулю.

При $x>0$: $|x|=x$.

$g(x)=3|4x-3a|-13x-a^2+3a$.

Коэффициент при $x$ после раскрытия модуля: либо $-13+12=-1$, либо $-13-12=-25$. Он отрицателен — функция убывает при удалении от нуля.

Значит, $x=0$ — точка глобального максимума $g(x)$.

4. Максимум $g(x)$.

$g(0)=3|-3a|-0-a^2+3a=9|a|-a^2+3a$.

5. Условие существования корня.

Так как $f(x)\ge 15$, а $g(x)\le g(0)$, равенство возможно, только если $g(0)\ge 15$. Непрерывность $f$ и $g$ и стремление $f\to +\infty$ при $x\to \pm \infty$ гарантируют, что этого условия достаточно.

Решаем неравенство:

$9|a|-a^2+3a\ge 15$.

Случай 1: $a\ge 0$.

$9a-a^2+3a\ge 15\Rightarrow -a^2+12a-15\ge 0\Rightarrow a^2-12a+15\le 0$.

Корни: $a=6\pm \sqrt{21}$.

Решение: $a\in [6-\sqrt{21};6+\sqrt{21}]$.

С учётом $a\ge 0$ получаем $a\in [6-\sqrt{21};6+\sqrt{21}]$.

Случай 2: $a<0$.

$-9a-a^2+3a\ge 15\Rightarrow -a^2-6a-15\ge 0\Rightarrow a^2+6a+15\le 0$.

Дискриминант $36-60=-24<0$, неравенство не выполняется ни при каких $a$.

Ответ: $a\in [6-\sqrt{21};6+\sqrt{21}]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

имеет ровно одно решение.

Решение

1. Используем чётность.

Левая часть $\sqrt[4]{a^4+x^4}$ зависит от $x^4$, значит, чётна.

Правая часть: $\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$ чётна, остальное — константа. Значит, всё уравнение чётно.

Поэтому если $x_0\ne 0$ — корень, то и $-x_0$ — корень.

Для единственности корня необходимо, чтобы корнем был только $x=0$.

2. Подставим $x=0$.

$\sqrt[4]{a^4}=\cos 0+a^2-2a-1\Rightarrow |a|=1+a^2-2a-1=a^2-2a$.

Получаем уравнение:

$a^2-2a=|a|$.

Решаем:

Если $a\ge 0$: $a^2-2a=a\Rightarrow a^2-3a=0\Rightarrow a(a-3)=0\Rightarrow a=0$ или $a=3$.

Если $a<0$: $a^2-2a=-a\Rightarrow a^2-a=0\Rightarrow a(a-1)=0\Rightarrow a=0$ или $a=1$ (оба не подходят, так как $a<0$).

Итого: $a=0$ или $a=3$.

3. Проверим единственность корня для каждого $a$.

При $a=0$

Уравнение: $\sqrt[4]{x^4}=|x|=\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)-1$.

Левая часть $\ge 0$, правая часть $\le 0$ (так как $\cos \le 1$).

Равенство возможно, только когда обе части равны 0:

$|x|=0\Rightarrow x=0$; при этом $\cos (0)-1=0$ — верно.

Других решений нет. Значит, ровно один корень.

При $a=3$

Уравнение: $\sqrt[4]{81+x^4}=\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)+9-6-1=\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)+2$.

Левая часть $\ge \sqrt[4]{81}=3$.

Правая часть $\le 1+2=3$.

Равенство возможно только когда обе части равны 3.

Левая часть равна 3 только при $x=0$. При $x=0$ правая часть равна $1+2=3$.

При $x\ne 0$ левая часть $>3$, а правая $\le 3$, решений нет.

Значит, ровно один корень.

Ответ: $a=0$ или $a=3$.

1. При замене забывают найти область значений новой переменной. Всегда находи $t_{min}$ и $t_{max}$ — иначе можно получить лишние или потерять корни.
2. Не проверяют монотонность на всём отрезке. Даже если функция кажется убывающей, найди производную или разность значений на концах.
3. В чётных уравнениях сразу пишут «$x=0$ — корень», не проверяя. Сначала убедись, что $x=0$ вообще удовлетворяет уравнению (это даёт уравнение на $a$).
4. В примере с модулями не доказывают, что максимум именно в нуле. Проанализируй коэффициенты при $x$ слева и справа от нуля. Если слева функция возрастает, а справа убывает — всё верно.

После разбора этих трёх примеров ты можешь:

• вводить замену с учётом монотонности и находить промежуток значений для новой переменной;
• анализировать кусочно-линейные функции с модулями, находить их максимум в точке излома;
• использовать чётность для сведения задачи к случаю $x=0$ и проверять единственность корня.

Эти приёмы регулярно встречаются в задачах с параметрами из №18 ЕГЭ и позволяют значительно сократить решение.