В задании 11 ОГЭ по математике часто нужно сопоставить формулу функции с её графиком. Если каждый раз составлять таблицу значений, легко потратить слишком много времени и ошибиться в вычислениях. Быстрее работать через преобразования графиков: сдвиги, растяжения, сжатия и отражения. Разберём правила, алгоритм решения и типичные ловушки.
Основные правила растяжений и сдвигов
Чтобы определить вид графика, сначала нужно узнать базовую функцию: прямую, параболу, гиперболу, корень и так далее. Затем смотрим, какие числа добавлены к формуле и где они стоят.
Перемещение функции вдоль оси Oy
Сдвиг вверх или вниз задаётся формулой: $y = f(x) + c$.
Здесь всё работает прямо:
- если $c > 0$, график поднимается вверх на $c$ единиц,
- если $c < 0$, график опускается вниз на $|c|$ единиц.
Например, график $y = x^2 + 4$ получается из параболы $y = x^2$ сдвигом вверх на $4$ единицы.
Перемещение функции вдоль оси Ox
Сдвиг вправо или влево задаётся формулой: $y = f(x + a)$.
Здесь знак работает наоборот:
- если внутри аргумента стоит $x + a$, график сдвигается влево на $a$ единиц,
- если внутри аргумента стоит $x-a$, график сдвигается вправо на $a$ единиц.
Например, график $y = (x + 5)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая влево на $5$ единиц.
Вертикальные растяжения и сжатия
Изменение формы задаётся умножением функции на коэффициент: $y = k \cdot f(x)$.
Правила такие:
- при $k > 1$ график растягивается вдоль вертикальной оси,
- при $0 < k < 1$ график сжимается вдоль вертикальной оси,
- при $k < 0$ график отражается относительно оси $Ox$.
Например, график $y = -x^2$ — это парабола $y = x^2$, отражённая относительно оси $Ox$. Её ветви направлены вниз.
Алгоритм решения задания 11 ОГЭ
В заданиях на соответствие формул и графиков удобно действовать по шагам.
- Определи базовую форму. Посмотри на вид формулы. Квадрат указывает на параболу, переменная в знаменателе — на гиперболу, выражение первой степени — на прямую.
- Найди сдвиги. Число вне скобок показывает движение вверх или вниз. Число рядом с $x$ внутри скобок, квадрата или корня показывает движение вправо или влево.
- Проверь знак и коэффициент. Минус перед функцией отражает график относительно оси $Ox$. Коэффициент больше $1$ растягивает график, коэффициент между $0$ и $1$ сжимает его.
- Возьми контрольную точку. Если два варианта похожи, выбери точку на графике с целыми координатами и подставь её в формулу. Если равенство выполняется, график подходит.
Практический разбор заданий
Разберём типичные адаптированные примеры в формате задания 11 ОГЭ.
Перемещение параболы
Условие
Нужно сопоставить формулу $y = (x-3)^2 + 4$ с правильным графиком и выбрать верную букву.
А.
Б.
В.
Шаг 1. Базовая функция — $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина стандартной параболы находится в точке $(0; 0)$.
Шаг 2. Смотрим на число внутри скобок. В выражении $x-3$ вычитается тройка, значит, график сдвигается вправо на $3$ единицы. Координата вершины по оси $Ox$ станет равна $3$.
Шаг 3. Смотрим на число вне скобок. В конце формулы стоит $+4$, значит, график поднимается вверх на $4$ единицы.
Шаг 4. Подходит график параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(3; 4)$, пункт Б.
Ответ: Б.
Зеркальное отражение гиперболы
Условие
Нужно определить график функции $y = -\frac{2}{x}$ и выбрать верную букву.
А.
Б.
В.
Г.
Шаг 1. Переменная находится в знаменателе, значит, базовая функция — $y = \frac{1}{x}$. Её график — гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях.
Шаг 2. Числитель умножен на $2$. Формулу можно представить так: $y = -2 \cdot \frac{1}{x}$.
Коэффициент $2$ растягивает ветви вдоль вертикальной оси.
Шаг 3. Перед дробью стоит минус. Он отражает график относительно оси $Ox$.
Шаг 4. Подходит график гиперболы, ветви которой находятся во второй и четвёртой координатных четвертях, но таких два графика — пункт А и пункт Г.
Шаг 5. Рассмотрим график А: возьмём на графике точку $А$ с координатами $(1; -2)$ и подставим её в изначальную функцию $y = -2 \cdot \frac{1}{x}$.
$-2 = -2 \cdot \frac{1}{1}$,
$-2 = -2$ — верно, значит, график нам подходит.
Ответ: А.
Типичные ошибки
В задании 11 часто дают похожие варианты графиков. Ошибка обычно возникает из-за знака, направления сдвига или отказа от проверки точки.
Ошибка в горизонтальном сдвиге
Неверно считать, что формула $y = (x + 5)^2$ двигает вершину параболы вправо, потому что внутри скобок стоит плюс.
Правильное рассуждение: внутри аргумента знак работает наоборот. Плюс сдвигает график влево. Поэтому вершина параболы будет в точке $(-5; 0)$.
Ошибка в коэффициенте гиперболы
Функции $y = \frac{3}{x}$ и $y = \frac{1}{3x}$ выглядят по-разному.
В первом случае коэффициент равен $3$, поэтому ветви гиперболы располагаются дальше от осей. Во втором случае формулу можно записать как $y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$, поэтому коэффициент равен $\frac{1}{3}$, и ветви сильнее прижимаются к осям координат.
Отказ от точечной проверки
Нельзя выбирать ответ только по направлению ветвей и сразу переходить к следующему заданию. Если есть сомнение, нужно взять точку на узле координатной сетки и подставить её координаты в формулу.
Например, если точка $(2; 5)$ лежит на выбранном графике, подставляем $x = 2$ и проверяем, получится ли $y = 5$. Такая проверка занимает меньше минуты и помогает избежать ошибки по невнимательности.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Укажи координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = (x + 7)^2-2$.
Задание 2. В каких координатных четвертях окажутся ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$?
Задание 3. Дана базовая функция $y = x^2$. Запиши формулу после сдвига на $5$ единиц вправо и на $1$ единицу вверх.
Ответ к заданию 1. Вершина находится в точке $(-7; -2)$. Знак плюс внутри квадрата сдвигает график влево на $7$ единиц, а $-2$ опускает его вниз на $2$ единицы.
Ответ к заданию 2. Ветви будут во второй и четвёртой координатных четвертях. Минус перед дробью отражает классическую гиперболу $y = \frac{k}{x}$ относительно оси $Ox$.
Ответ к заданию 3. Формула примет вид $y = (x-5)^2 + 1$. Сдвиг вправо требует вычесть $5$ из аргумента, а подъём вверх — прибавить $1$ вне квадрата.
Заключение
В задании 11 ОГЭ важно быстро считывать преобразования из формулы. Число вне функции отвечает за сдвиг вверх или вниз, а число внутри аргумента — за сдвиг вправо или влево. Минус перед функцией отражает график, а коэффициент перед функцией растягивает или сжимает его. Перед выбором ответа проверь хотя бы одну точку на графике. Это самый быстрый способ отличить похожие варианты и не потерять балл из-за знака. Для закрепления темы реши несколько заданий на соответствие формул и графиков в «100балльном банке».
Автор статьи
