В задании 11 ОГЭ по математике часто нужно сопоставить формулу функции с её графиком. Если каждый раз составлять таблицу значений, легко потратить слишком много времени и ошибиться в вычислениях. Быстрее работать через преобразования графиков: сдвиги, растяжения, сжатия и отражения. Разберём правила, алгоритм решения и типичные ловушки.

Основные правила растяжений и сдвигов

Чтобы определить вид графика, сначала нужно узнать базовую функцию: прямую, параболу, гиперболу, корень и так далее. Затем смотрим, какие числа добавлены к формуле и где они стоят.

Перемещение функции вдоль оси Oy

Сдвиг вверх или вниз задаётся формулой: $y = f (x) + c$ .
Здесь всё работает прямо:

если $c > 0$ , график поднимается вверх на $c$ единиц,
если $c < 0$ , график опускается вниз на $| c |$ единиц.

Например, график $y = x^{2} + 4$ получается из параболы $y = x^{2}$ сдвигом вверх на $4$ единицы.

Перемещение функции вдоль оси Ox

Сдвиг вправо или влево задаётся формулой: $y = f (x + a)$ .
Здесь знак работает наоборот:

если внутри аргумента стоит $x + a$ , график сдвигается влево на $a$ единиц,
если внутри аргумента стоит $x - a$ , график сдвигается вправо на $a$ единиц.

Например, график $y = (x + 5)^{2}$ — это парабола $y = x^{2}$ , сдвинутая влево на $5$ единиц.

Вертикальные растяжения и сжатия

Изменение формы задаётся умножением функции на коэффициент: $y = k \cdot f (x)$ .
Правила такие:

при $k > 1$ график растягивается вдоль вертикальной оси,
при $0 < k < 1$ график сжимается вдоль вертикальной оси,
при $k < 0$ график отражается относительно оси $O x$ .

Например, график $y = - x^{2}$ — это парабола $y = x^{2}$ , отражённая относительно оси $O x$ . Её ветви направлены вниз.

Алгоритм решения задания 11 ОГЭ

В заданиях на соответствие формул и графиков удобно действовать по шагам.

Определи базовую форму. Посмотри на вид формулы. Квадрат указывает на параболу, переменная в знаменателе — на гиперболу, выражение первой степени — на прямую.
Найди сдвиги. Число вне скобок показывает движение вверх или вниз. Число рядом с $x$ внутри скобок, квадрата или корня показывает движение вправо или влево.
Проверь знак и коэффициент. Минус перед функцией отражает график относительно оси $O x$ . Коэффициент больше $1$ растягивает график, коэффициент между $0$ и $1$ сжимает его.
Возьми контрольную точку. Если два варианта похожи, выбери точку на графике с целыми координатами и подставь её в формулу. Если равенство выполняется, график подходит.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Практический разбор заданий

Разберём типичные адаптированные примеры в формате задания 11 ОГЭ.

Перемещение параболы

Условие
Нужно сопоставить формулу $y = (x - 3)^{2} + 4$ с правильным графиком и выбрать верную букву.
А.

График параболы для ОГЭ со сдвигом вправо, вариант ответа А.

Б.

Парабола с вершиной выше оси Ox для задания 11 ОГЭ, вариант Б.

В.

График функции с параболой для сравнения сдвига и вершины, вариант В.

Шаг 1. Базовая функция — $y = x^{2}$ . Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина стандартной параболы находится в точке $(0; 0)$.

Шаг 2. Смотрим на число внутри скобок. В выражении $x - 3$ вычитается тройка, значит, график сдвигается вправо на $3$ единицы. Координата вершины по оси $O x$ станет равна $3$.

Шаг 3. Смотрим на число вне скобок. В конце формулы стоит $+ 4$ , значит, график поднимается вверх на $4$ единицы.

Шаг 4. Подходит график параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(3; 4)$, пункт Б.

Ответ: Б.

Зеркальное отражение гиперболы

Условие
Нужно определить график функции $y = - \frac{2}{x}$ и выбрать верную букву.
А.

Гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях, вариант А для ОГЭ.

Б.

График гиперболы для задания 11 ОГЭ, вариант Б с другим положением ветвей.

В.

Вариант В с гиперболой на координатной плоскости для сравнения графиков.

Г.

Гипербола как вариант Г для задания ОГЭ с отражением относительно оси Ox.

Шаг 1. Переменная находится в знаменателе, значит, базовая функция — $y = \frac{1}{x}$ . Её график — гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях.

Шаг 2. Числитель умножен на $2$. Формулу можно представить так: $y = - 2 \cdot \frac{1}{x}$ .
Коэффициент $2$ растягивает ветви вдоль вертикальной оси.

Шаг 3. Перед дробью стоит минус. Он отражает график относительно оси $O x$ .

Шаг 4. Подходит график гиперболы, ветви которой находятся во второй и четвёртой координатных четвертях, но таких два графика — пункт А и пункт Г.

Шаг 5. Рассмотрим график А: возьмём на графике точку $А$ с координатами $(1; -2)$ и подставим её в изначальную функцию $y = - 2 \cdot \frac{1}{x}$ .
$- 2 = - 2 \cdot \frac{1}{1}$ ,
$- 2 = - 2$ — верно, значит, график нам подходит.

Ответ: А.

Типичные ошибки

В задании 11 часто дают похожие варианты графиков. Ошибка обычно возникает из-за знака, направления сдвига или отказа от проверки точки.

Ошибка в горизонтальном сдвиге

Неверно считать, что формула $y = (x + 5)^{2}$ двигает вершину параболы вправо, потому что внутри скобок стоит плюс.
Правильное рассуждение: внутри аргумента знак работает наоборот. Плюс сдвигает график влево. Поэтому вершина параболы будет в точке $(-5; 0)$.

Ошибка в коэффициенте гиперболы

Функции $y = \frac{3}{x}$ и $y = \frac{1}{3 x}$ выглядят по-разному.
В первом случае коэффициент равен $3$, поэтому ветви гиперболы располагаются дальше от осей. Во втором случае формулу можно записать как $y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$ , поэтому коэффициент равен $\frac{1}{3}$ , и ветви сильнее прижимаются к осям координат.

Отказ от точечной проверки

Нельзя выбирать ответ только по направлению ветвей и сразу переходить к следующему заданию. Если есть сомнение, нужно взять точку на узле координатной сетки и подставить её координаты в формулу.
Например, если точка $(2; 5)$ лежит на выбранном графике, подставляем $x = 2$ и проверяем, получится ли $y = 5$ . Такая проверка занимает меньше минуты и помогает избежать ошибки по невнимательности.

Проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Укажи координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = (x + 7)^{2} - 2$ .
Задание 2. В каких координатных четвертях окажутся ветви гиперболы $y = - \frac{4}{x}$ ?
Задание 3. Дана базовая функция $y = x^{2}$ . Запиши формулу после сдвига на $5$ единиц вправо и на $1$ единицу вверх.

Ответ к заданию 1. Вершина находится в точке $(-7; -2)$. Знак плюс внутри квадрата сдвигает график влево на $7$ единиц, а $- 2$ опускает его вниз на $2$ единицы.

Ответ к заданию 2. Ветви будут во второй и четвёртой координатных четвертях. Минус перед дробью отражает классическую гиперболу $y = \frac{k}{x}$ относительно оси $O x$ .

Ответ к заданию 3. Формула примет вид $y = (x - 5)^{2} + 1$ . Сдвиг вправо требует вычесть $5$ из аргумента, а подъём вверх — прибавить $1$ вне квадрата.

Заключение

В задании 11 ОГЭ важно быстро считывать преобразования из формулы. Число вне функции отвечает за сдвиг вверх или вниз, а число внутри аргумента — за сдвиг вправо или влево. Минус перед функцией отражает график, а коэффициент перед функцией растягивает или сжимает его. Перед выбором ответа проверь хотя бы одну точку на графике. Это самый быстрый способ отличить похожие варианты и не потерять балл из-за знака. Для закрепления темы реши несколько заданий на соответствие формул и графиков в «100балльном банке».