Задание 17 ОГЭ по математике регулярно проверяет свойства четырёхугольников. Ошибки в этой теме часто возникают из-за путаницы в формулах площади и свойствах диагоналей. Ромб и прямоугольник удобно разбирать через прямоугольные треугольники: так большинство задач сводится к теореме Пифагора. В статье разберём основные свойства фигур, алгоритм решения и типичные ловушки экзамена.
Разбираем фигуры по частям
Ромб и прямоугольник — это параллелограммы. Значит, их противоположные стороны параллельны и равны, а противоположные углы равны. У каждой фигуры есть свои свойства, которые нужно применять в конкретной задаче.
Прямоугольник и его особенности
Все четыре угла прямоугольника равны $90^\circ$.
Самое важное свойство касается диагоналей: в прямоугольнике они равны и в точке пересечения делятся пополам. Если провести обе диагонали, фигура разобьётся на четыре равнобедренных треугольника.
Главные формулы:
- площадь через стороны: $S = a \cdot b$;
- площадь через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot d^2 \cdot \sin \alpha$, где $d$ — диагональ, а $\alpha$ — угол между диагоналями.
Ромб и его особенности
У ромба все стороны равны. Его диагонали обладают двумя полезными свойствами.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. При пересечении они образуют внутри ромба четыре прямоугольных треугольника.
- Диагонали — это биссектрисы и делят углы ромба пополам.
Главные формулы:
- площадь через основание и высоту: $S = a \cdot h$;
- площадь через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$;
- площадь через сторону и угол: $S = a^2 \cdot \sin \alpha$.
Алгоритм решения
Чтобы геометрическая задача решалась правильно, используй один и тот же порядок действий. Он подходит для большинства планиметрических заданий.
- Внимательно прочитай условие и перенеси все числа на чертёж. Отметь равные стороны штрихами, а прямые углы квадратиками.
- Вспомни ключевое свойство фигуры. Проверь, что известно про углы, стороны и диагонали.
- Найди прямоугольный треугольник внутри фигуры. Часто задача сводится к теореме Пифагора.
- Выбери нужную формулу и подставь известные значения.
- Проверь результат на здравый смысл. Например, катет не может быть длиннее гипотенузы.
Подробные примеры решения типичных задач
Разберём задачи, адаптированные под формат задания 17 ОГЭ. В каждой задаче решение идёт пошагово.
Поиск площади через теорему Пифагора
В прямоугольнике одна сторона равна 10, а диагональ равна 26. Найдите площадь прямоугольника.
Шаг 1. Нарисуем прямоугольник $ABCD$. Отметим сторону $AB = 10$ и диагональ $AC = 26$. Нужно найти площадь прямоугольника, а она вычисляется по формуле: $S = AB \cdot BC$.
Не хватает длины второй стороны $BC$.
Шаг 2. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как исходная фигура — прямоугольник, угол $B$ равен $90^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный, а $AC$ — гипотенуза.
Шаг 3. Используем равенство, которое следует из теоремы Пифагора: $BC^2 = AC^2–AB^2$.
Шаг 4. Подставим значения:
$BC^2 = 26^2–10^2$,
$BC^2 = 676–100 = 576$.
Отсюда:
$BC = 24$.
Берём только положительное значение, потому что длина стороны всегда положительна.
Шаг 5. Считаем площадь: $S = 10 \cdot 24 = 240$.
Рисунок к заданию
Ответ: 240.
Поиск углов ромба
Один из углов ромба равен $43^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. Рисуем ромб. Один угол равен $43^\circ$, значит, он острый. Нужно найти больший, то есть тупой угол.
Шаг 2. Вспоминаем свойство параллелограмма. Ромб — это частный случай параллелограмма, а сумма любых двух соседних углов в параллелограмме равна $180^\circ$.
Шаг 3. Вычитаем известный угол из $180^\circ$: $180^\circ–43^\circ = 137^\circ$.
Шаг 4. Противолежащие углы ромба равны. Значит, углы ромба равны $43^\circ$, $137^\circ$, $43^\circ$ и $137^\circ$. Больший угол равен $137^\circ$.
Рисунок к заданию
Ответ: 137.
Лишние данные в условии
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 37$, $AB = 56$. Найдите $AC$.
Шаг 1. Делаем чертёж и переносим на него все числа из задачи.
Шаг 2. Нужно найти диагональ $AC$. Используем свойство прямоугольника: диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, вся диагональ $BD$ в два раза больше отрезка $BO$: $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 37 = 74$.
Шаг 3. Диагонали прямоугольника равны, поэтому $AC = BD$.
Отсюда $AC = 74$.
Проверка логики. Число 56 в решении не понадобилось. Оно проверяет, знаешь ли ты свойства диагоналей прямоугольника. Если удалось получить ответ без одного из чисел, это нормально: в заданиях иногда встречаются избыточные данные.
Рисунок к заданию
Ответ: 74.
Типичные ошибки на экзамене
Перед экзаменом полезно знать, где чаще всего возникают ошибки.
Ошибка с диагоналями
Как нельзя делать: считать, что диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.
Как нужно делать: помнить, что в этой теме перпендикулярные диагонали — свойство ромба и квадрата. Для обычного прямоугольника это правило не работает.
Ошибка с лишними числами
Как нельзя делать: брать все числа из условия и перемножать их в надежде угадать ответ.
Как нужно делать: сначала записать нужную формулу, понять, каких элементов не хватает, и только потом использовать данные из условия. Если какое-то число осталось неиспользованным, оно может быть лишним.
Ошибка невнимательного чтения
Как нельзя делать: найти сторону или диагональ и сразу записать её в бланк, хотя в задаче требовали площадь.
Как нужно делать: перед записью ответа перечитать последний вопрос в условии. Проверь, что найденная величина совпадает с тем, о чём спрашивают.
Задачи для самопроверки
Чтобы закрепить материал, реши несколько коротких заданий самостоятельно.
Задание 1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
Задание 2. Периметр ромба равен 40. Найдите длину одной его стороны.
Задание 3. В прямоугольнике известна площадь, равная 48, и ширина, равная 6. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.
Ответ к заданию 1. Площадь находится как половина произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 6 = 42$.
Ответ: 42.
Ответ к заданию 2. У ромба четыре равные стороны, поэтому периметр делим на 4: $40 : 4 = 10$.
Ответ: 10.
Ответ к заданию 3. Сначала находим вторую сторону прямоугольника: $48 : 6 = 8$. Затем рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Диагональ — это гипотенуза: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Рисунок к заданию
Заключение
Теперь ты знаешь основные свойства ромба и прямоугольника и умеешь применять их для решения задач. Ты можешь находить неизвестные элементы фигур через прямоугольные треугольники и теорему Пифагора, а также не попадёшься в ловушки с лишними данными. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».
Автор статьи
