В задании № 17 ОГЭ по математике часто нужно находить площади четырёхугольников: параллелограмма, ромба, трапеции. Ошибки часто появляются из-за чертежа: сложно понять, где провести высоту и какой отрезок нужно найти. Разберём основные свойства параллелограмма и трапеции, алгоритм решения и несколько типовых задач экзаменационного формата.
Базовая теория
Перед решением задач нужно вспомнить свойства фигур. Формулы можно найти в справочных материалах ОГЭ, но на экзамене важно понять, какие именно элементы в них подставлять.
Параллелограмм
«Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из определения следуют основные свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Чаще всего в задании № 17 нужно найти площадь параллелограмма. Основная формула: $S = a \cdot h_a$. Здесь $a$ — основание, то есть выбранная сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведённая к этому основанию под прямым углом.
Ещё одна полезная формула: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. Она пригодится, если известны две соседние стороны $a$ и $b$ и угол $\alpha$ между ними.
Трапеция
Трапеция — это четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны. Эти стороны называют основаниями. Две другие стороны называют боковыми.
Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Здесь $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — высота.
Отдельно нужно запомнить приём для равнобедренной трапеции. У такой трапеции боковые стороны равны, а углы при каждом основании тоже равны.
Если провести две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию, получится прямоугольник в середине и два равных прямоугольных треугольника по краям. Если большее основание равно $a$, а меньшее — $b$, то каждый крайний отрезок на большем основании равен: $\frac{a–b}{2}$. Этот приём часто помогает быстро найти высоту или основание.
Алгоритм решения задачи на площадь
Чтобы не запутаться в условии, удобно действовать по одному плану.
- Сделай крупный чертёж и отметь на нём все данные: длины, углы, равные стороны.
- Определи фигуру и запиши формулу её площади.
- Посмотри, какого элемента не хватает. Чаще всего это высота.
- Проведи дополнительную высоту так, чтобы появился прямоугольный треугольник.
- Найди неизвестный элемент через теорему Пифагора, свойства углов или тригонометрию.
- Подставь данные в формулу площади и вычисли ответ.
Примеры задач формата ОГЭ
Ниже разберём три типовые задачи, в которых используются свойства параллелограмма и трапеции.
Пример с высотами параллелограмма
Площадь параллелограмма равна $40$, а две его стороны равны $5$ и $10$. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Шаг 1. Запишем формулу площади параллелограмма: $S = a \cdot h_a$. Одну и ту же площадь можно выразить через разные стороны: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
Шаг 2. Найдём высоту, проведённую к стороне $5$:
$40 = 5 \cdot h_1$, $h_1 = 8$.
Шаг 3. Найдём высоту, проведённую к стороне $10$:
$40 = 10 \cdot h_2$, $h_2 = 4$.
Шаг 4. Сравним высоты: $8 > 4$.
Ответ: $8$.
К меньшей стороне параллелограмма проводится большая высота, если площадь фиксирована.
Пример с равнобедренной трапецией и углом 45°
В равнобедренной трапеции основания равны $2$ и $6$, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
Шаг 1. Для площади трапеции нужна высота: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Основания известны, высота неизвестна. Проведём две высоты из вершин меньшего основания к большему.
Шаг 2. После проведения высот в середине получится прямоугольник. Его нижняя сторона равна меньшему основанию трапеции, то есть $2$.
Шаг 3. Найдём крайние отрезки на большем основании: $(6–2) : 2 = 2$. Значит, каждый крайний отрезок равен $2$.
Шаг 4. Рассмотрим боковой прямоугольный треугольник. Один его острый угол равен $45^\circ$. Тогда второй острый угол тоже равен $45^\circ$, потому что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Получился прямоугольный равнобедренный треугольник. Его катеты равны, значит, высота трапеции равна найденному отрезку основания: $h = 2$.
Шаг 5. Найдём площадь: $S = \frac{2 + 6}{2} \cdot 2 = 8$.
Рисунок к заданию
Ответ: $8$.
Пример с отрезками в равнобедренной трапеции
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной $1$ и $11$. Найдите длину меньшего основания.
Шаг 1. Сделаем чертёж. Проведём вторую высоту из другой вершины тупого угла.
Шаг 2. Большее основание разделено на два отрезка: $1$ и $11$. Его полная длина равна: $1 + 11 = 12$.
Шаг 3. Одна высота отсекает на большем основании отрезок длиной $1$. Так как трапеция равнобедренная, вторая высота отсечёт с другой стороны такой же отрезок: $1$.
Шаг 4. Найдём центральную часть большего основания: $12–1–1 = 10$.
Шаг 5. Центральная часть большего основания является нижней стороной прямоугольника, а меньшее основание трапеции — верхней стороной этого прямоугольника. Значит, меньшее основание равно $10$.
Рисунок к заданию
Ответ: $10$.
Типичные ошибки и ловушки
Путаница с делением на два
В формуле площади трапеции есть полусумма оснований: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$.
В формуле площади параллелограмма деления на два нет: $S = a \cdot h_a$.
Перед вычислениями проверь, какую фигуру рассматриваешь.
Подстановка боковой стороны вместо высоты
Высота всегда образует прямой угол с основанием. Если в условии дана боковая сторона, её нельзя автоматически подставлять вместо высоты. Если прямого угла на чертеже нет, высоту нужно провести и найти отдельно.
Невнимательность к углу 45°
Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен $45^\circ$, то второй острый угол тоже равен $45^\circ$. Такой треугольник равнобедренный, поэтому его катеты равны. В задачах на трапецию это часто означает, что высота равна крайнему отрезку основания.
Самопроверка
Реши задачи самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Основания трапеции равны $4$ и $10$, а высота равна $5$. Найдите площадь этой трапеции.
Задание 2. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны $14$ и $6$.
Задание 3. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $68$. Точка $E$ является серединой стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.
Решение к заданию 1
Подставим данные в формулу площади трапеции: $S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$.
Ответ: $35$.
Решение к заданию 2
Подсказка: ромб является частным случаем параллелограмма, а его площадь через диагонали находится по формуле $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$. Используем формулу площади ромба через диагонали: $S = \frac{14 \cdot 6}{2} = 42$.
Ответ: $42$.
Решение к заданию 3
У параллелограмма $ABCD$ и треугольника $ABE$ высота общая. Основание $AE$ в два раза меньше основания $AD$, потому что $E$ — середина стороны $AD$. Площадь треугольника вычисляется с множителем $\frac{1}{2}$, поэтому площадь треугольника $ABE$ составляет четверть площади параллелограмма: $68 : 4 = 17$.
Рисунок к заданию
Ответ: $17$.
Заключение
В задачах на площадь сначала выбери формулу, а затем проверь, хватает ли данных для подстановки. Если высота не дана, её чаще всего нужно провести самостоятельно. В равнобедренной трапеции две высоты к большему основанию помогают увидеть прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Угол $45^\circ$ в прямоугольном треугольнике сразу подсказывает, что катеты равны.
После этой темы ты умеешь находить площади параллелограмма и трапеции, работать с высотами и использовать свойства равнобедренной трапеции в задании № 17 ОГЭ. Для закрепления реши ещё несколько задач на чертёж в «100балльном банке»: чем увереннее ты видишь высоту и нужные отрезки, тем меньше времени уходит на вычисления.
Автор статьи
