В задании 7 профильного ЕГЭ по математике часто встречаются вычисления и преобразования степенных и иррациональных выражений. Ошибки появляются из-за дробных показателей, корней, минусов и неаккуратного сокращения степеней. Разберём основные правила, составим алгоритм решения и потренируемся на типовых примерах. После статьи ты сможешь быстрее приводить выражения к простому виду и проверять себя на каждом шаге.
Теория по частям
Иррациональные выражения содержат числа или переменные под знаком корня. Степенные выражения содержат числа или переменные, возведённые в степень. Чтобы уверенно работать с такими выражениями, нужно помнить три группы правил.
Связь корня и степени
Любой корень можно записать как степень с дробным показателем. Это одно из самых полезных преобразований на экзамене, потому что со степенями обычно работать удобнее, чем с корнями: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.
Здесь $a$ — основание, $m$ — числитель дроби и показатель степени, $n$ — знаменатель дроби и показатель корня.
Запомни правило: знаменатель дробного показателя становится показателем корня, а числитель остаётся показателем основания.
Например: $x^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{x^2}$.
Для корней чётной степени в действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В заданиях на простые вычисления основания обычно положительные, но при работе с переменными это условие важно проверять.
Свойства степеней
Чтобы складывать или вычитать показатели, основания должны быть одинаковыми.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$.
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^x:a^y=a^{x-y}$.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$.
Если разные основания возведены в одну и ту же степень, степень можно вынести за скобку: $a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x$.
Чётные и нечётные корни
Корень нечётной степени из отрицательного числа извлекать можно: $\sqrt[3]{-8}=-2,$ потому что $(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8.$
Корень чётной степени из отрицательного числа в школьной математике не рассматривается как действительное число. Результат арифметического квадратного корня всегда неотрицателен, поэтому работает правило: $\sqrt{x^2}=|x|.$
Например: $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5.$
Алгоритм решения
Чтобы не путаться в преобразованиях, используй один и тот же порядок действий.
- Избавься от радикалов. Переведи корни в степени с дробными показателями.
- Разложи составные числа. Например, $6$ замени на $2\cdot3$, а $12$ — на $2^2\cdot3$.
- Примени свойства степеней. При умножении складывай показатели, при делении вычитай, при возведении степени в степень перемножай.
- Выполни финальный расчёт. После сокращений обычно остаётся простое число в целой степени.
Разбор задач
Ниже — тренировочные примеры в формате задания 7 профильного ЕГЭ по математике.
Числовое выражение со скобками
Условие
Найдите значение выражения: $\frac{(2^{\frac{4}{7}}\cdot3^{\frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}.$
Шаг 1. При возведении произведения в степень каждый множитель нужно возвести в эту степень. Показатели при этом перемножаются: $(2^{\frac{4}{7}}\cdot3^{\frac{2}{3}})^{21}=2^{\frac{4}{7}\cdot21}\cdot3^{\frac{2}{3}\cdot21}.$
Считаем показатели:
$\frac{4}{7}\cdot21=12,$
$\frac{2}{3}\cdot21=14.$
Числитель принимает вид: $2^{12}\cdot3^{14}.$
Шаг 2. В знаменателе стоит $6^{12}$. Так как $6=2\cdot3$, получаем: $6^{12}=(2\cdot3)^{12}=2^{12}\cdot3^{12}.$
Шаг 3. Исходное выражение теперь выглядит так: $\frac{2^{12}\cdot3^{14}}{2^{12}\cdot3^{12}}.$
Степени с основанием $2$ сокращаются: $\frac{2^{12}}{2^{12}}=1.$
Для степеней с основанием $3$ вычитаем показатели: $3^{14-12}=3^2=9.$
Ответ: 9.
Иррациональное выражение с разными корнями
Условие
Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt[9]{7}\cdot\sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}.$
Шаг 1. Записываем каждый корень как степень:
$\sqrt[9]{7}=7^{\frac{1}{9}},$
$\sqrt[18]{7}=7^{\frac{1}{18}},$
$\sqrt[6]{7}=7^{\frac{1}{6}}.$
Получаем: $\frac{7^{\frac{1}{9}}\cdot7^{\frac{1}{18}}}{7^{\frac{1}{6}}}.$
Шаг 2. Основания одинаковые, поэтому показатели складываются:
$\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{2}{18}+\frac{1}{18}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}.$
Числитель равен $7^{\frac{1}{6}}.$
Шаг 3. Подставляем результат обратно в дробь: $\frac{7^{\frac{1}{6}}}{7^{\frac{1}{6}}}=7^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}}=7^0=1.$
Любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$.
Ответ: 1.
Выражение с буквенной переменной
Условие
Найдите значение выражения: $\frac{a^{3{,}21}\cdot a^{7{,}36}}{a^{8{,}57}}$ при $a=12$.
Шаг 1. Сначала приводим выражение к простому виду, а уже затем подставляем $a=12$. В числителе степени с одинаковым основанием перемножаются, значит, показатели складываются: $3{,}21+7{,}36=10{,}57.$
Числитель стал равен: $a^{10{,}57}.$
Шаг 2. Вычитаем показатель знаменателя из показателя числителя: $10{,}57-8{,}57=2.$
Всё выражение превращается в $a^2.$
Шаг 3. Теперь подставляем $a=12$: $12^2=144.$
Ответ: 144.
Типичные ошибки
Потеря модуля при квадратном корне
Нельзя писать: $\sqrt{x^2}=x.$
Правильно: $\sqrt{x^2}=|x|.$
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Если $x=-4$, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$, а не $-4$.
Сложение оснований вместо сложения показателей
Нельзя делать так: $2^3\cdot2^4=4^7.$
Правильно: $2^3\cdot2^4=2^7.$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание не меняется. Меняются только показатели.
Неправильное раскрытие скобок в сумме
Нельзя делать так: $(a+b)^2=a^2+b^2.$
Правильно: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
Степень можно распределять по множителям, но не по слагаемым.
Например: $(ab)^2=a^2b^2,$ но $(a+b)^2\neq a^2+b^2.$
Сокращение без разложения на множители
Если нужно упростить выражение с составными основаниями, сначала разложи их.
Например, для выражения $\frac{15^4}{3^4}$ нужно записать: $15^4=(3\cdot5)^4=3^4\cdot5^4.$
Тогда: $\frac{15^4}{3^4}=\frac{3^4\cdot5^4}{3^4}=5^4.$
Самопроверка
Реши задания самостоятельно по алгоритму, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найдите значение выражения: $5^{0{,}36}\cdot5^{0{,}64}.$
Задание 2. Найдите значение выражения: $\frac{4^8}{2^{14}}.$
Задание 3. Представьте в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[5]{x^2}.$
Решение к заданию 1. Складываем показатели: $0{,}36+0{,}64=1.$
Получаем: $5^1=5.$
Ответ: 5.
Решение к заданию 2. Раскладываем $4$ как $2^2$: $\frac{4^8}{2^{14}}=\frac{(2^2)^8}{2^{14}}=\frac{2^{16}}{2^{14}}.$
Вычитаем показатели: $2^{16-14}=2^2=4.$
Ответ: 4.
Решение к заданию 3. Показатель числа идёт в числитель дробного показателя, а показатель корня — в знаменатель: $\sqrt[5]{x^2}=x^{\frac{2}{5}}.$
Ответ: $x^{\frac{2}{5}}$.
Задание повышенной сложности
Условие
Найдите значение выражения: $\frac{\sqrt{m}\cdot\sqrt[6]{m}}{\sqrt[3]{m}}$ при $m=64$.
Шаг 1. Переведём корни в степени:
$\sqrt{m}=m^{\frac{1}{2}},$
$\sqrt[6]{m}=m^{\frac{1}{6}},$
$\sqrt[3]{m}=m^{\frac{1}{3}}.$
Шаг 2. Получаем выражение: $\frac{m^{\frac{1}{2}}\cdot m^{\frac{1}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}}.$
В числителе складываем показатели: $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$
Теперь делим степени с одинаковым основанием: $m^{\frac{2}{3}}:m^{\frac{1}{3}}=m^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}=m^{\frac{1}{3}}.$
Значит, исходное выражение равно: $m^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{m}.$
Подставляем $m=64$: $\sqrt[3]{64}=4.$
Ответ: 4.
Заключение
В заданиях на степенные и иррациональные выражения главное — привести всё к одинаковому виду. Корни удобно заменять дробными степенями, составные числа раскладывать на простые множители, а значения переменных подставлять только после упрощения выражения. Отдельно проверяй корни чётной степени: $\sqrt{x^2}$ даёт $|x|$, а не просто $x$. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько похожих заданий в «100балльном банке» и каждый раз проговаривай, какое свойство степеней применяешь.
Автор статьи
