В задании 7 ЕГЭ по профильной математике часто встречаются логарифмические и тригонометрические выражения. Чтобы справиться с ними, нужно быстро узнавать подходящую формулу и аккуратно приводить выражение к удобному виду. В первой части экзамена в ответе обычно получается целое число или конечная десятичная дробь. Если в процессе решения остаются радикалы, бесконечные дроби или буква $π$ , стоит проверить вычисления.

Теория по кусочкам

Для успешного решения задания 7 достаточно владеть несколькими ключевыми формулами. Разберём их в том виде, в каком они чаще всего нужны на экзамене.

База тригонометрических вычислений

Чаще всего для этого нужна формула синуса двойного угла: $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ .

Для косинуса двойного угла используют три равносильные формулы:

\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α

\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1

\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α

Также часто помогает основное тригонометрическое тождество: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ . Оно связывает синус и косинус одного и того же угла.

База логарифмических выражений

«Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ : $\log_{a} b$ . Из определения следует основное логарифмическое тождество: $a^{\log_{a} b} = b$ ».[i]

Для преобразований нужны свойства логарифмов:

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения аргументов: $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)$ .
Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: $\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} (\frac{b}{c})$ .
Степень аргумента можно вынести перед логарифмом: $\log_{a} (b^{p}) = p \log_{a} b$ .
Формула перехода к новому основанию помогает при делении двух логарифмов с одинаковым основанием: $\frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} = \log_{a} b$ .

Все эти свойства работают при допустимых значениях: основание логарифма положительно и не равно 1, аргумент положителен.

Алгоритм решения

В логарифмических и тригонометрических выражениях удобно действовать по одному плану.

Посмотри на исходные данные: основания степеней, основания логарифмов или градусные меры углов.
Приведи выражение к единообразию. Разные основания нужно связать через свойства степеней, разные углы — через формулы двойного угла или формулы приведения.
Примени подходящую формулу.
Сократи дробь или упрости выражение.
Проверь итоговый ответ. В задании 7 ЕГЭ по профильной математике обычно получается целое число или конечная десятичная дробь.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор заданий в формате ЕГЭ

Рассмотрим несколько типовых заданий на вычисления и преобразования.

Работа с двойным углом

Найдите значение выражения: $\frac{24 \sin 14^{\circ} \cdot \cos 14^{\circ}}{\sin 28^{\circ}}$ .[i]

Шаг 1. В числителе стоят $\sin 14^{\circ}$ и $\cos 14^{\circ}$ , а в знаменателе — $\sin 28^{\circ}$ . Углы разные, поэтому сразу сокращать нельзя.

Шаг 2. Замечаем связь: $28^{\circ}$ в два раза больше $14^{\circ}$ . Значит, подойдёт формула синуса двойного угла: $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ .

Шаг 3. В числителе есть произведение $\sin 14^{\circ} \cdot \cos 14^{\circ}$ , но для формулы не хватает множителя 2. Представим 24 как $12 \cdot 2$ : $\frac{12 \cdot (2 \sin 14^{\circ} \cdot \cos 14^{\circ})}{\sin 28^{\circ}}$ .

Шаг 4. Сворачиваем выражение в скобках: $2 \sin 14^{\circ} \cos 14^{\circ} = \sin 28^{\circ}$ . Получаем: $\frac{12 \cdot \sin 28^{\circ}}{\sin 28^{\circ}}$ .

Шаг 5. Теперь синусы имеют одинаковый угол, поэтому их можно сократить. Остаётся 12.

Ответ: 12.

Превращение числа в логарифм

Найдите значение выражения: $\frac{\log_{3} 18}{2 + \log_{3} 2}$ .[i]

Шаг 1. В числителе и знаменателе есть логарифмы по основанию 3. В знаменателе мешает число 2.

Шаг 2. Представим число 2 как логарифм по основанию 3. Так как $3^{2} = 9$ , получаем: $2 = \log_{3} 9$ . Знаменатель принимает вид: $\log_{3} 9 + \log_{3} 2$ .

Шаг 3. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями: $\log_{3} 9 + \log_{3} 2 = \log_{3} (9 \cdot 2) = \log_{3} 18$ .

Шаг 4. Исходная дробь превращается в: $\frac{\log_{3} 18}{\log_{3} 18}$ .

Шаг 5. Числитель и знаменатель равны, поэтому значение дроби равно 1.

Ответ: 1.

Основное логарифмическое тождество

Найдите значение выражения: $16^{\log_{4} 7}$ .[i]

Шаг 1. Перед нами степень с логарифмом в показателе. Можно использовать основное логарифмическое тождество: $a^{\log_{a} b} = b$ . Но основания пока разные: в степени стоит 16, а в логарифме — 4.

Шаг 2. Представим 16 как квадрат числа 4: $16 = 4^{2}$ . Тогда исходное выражение можно записать так: $(4^{2})^{\log_{4} 7}$ .

Шаг 3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(4^{2})^{\log_{4} 7} = 4^{2 \log_{4} 7}$ .

Шаг 4. Множитель 2 перед логарифмом перенесём в степень аргумента: $2 \log_{4} 7 = \log_{4} (7^{2})$ . Получаем: $4^{\log_{4} 49}$ .

Шаг 5. Теперь основания совпадают. По основному логарифмическому тождеству остаётся аргумент логарифма: $4^{\log_{4} 49} = 49$ .

Ответ: 49.

Типичные ошибки

В задании 7 часто теряют баллы из-за невнимательного применения формул. Вот основные ловушки.

Сложение логарифмов с разными основаниями

Нельзя складывать логарифмы с разными основаниями по формуле произведения: $\log_{2} 5 + \log_{3} 4$ . Формулы суммы и разности работают только при полном совпадении оснований. Если основания разные, сначала нужно преобразовать выражение другим способом.

Игнорирование области допустимых значений

\log_{a} x существует при условиях: a > 0, a \neq 1, x > 0

В первой части экзамена авторы обычно подбирают выражения так, чтобы вычисление было корректным. Но привычка проверять знак аргумента помогает не ошибаться в более сложных заданиях.

Неверное сокращение тригонометрических функций

Нельзя сокращать название функции в выражении: $\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$ . Это не то же самое, что $\frac{60}{30}$ . Нужно вычислить значения функций отдельно: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ . И только потом делить.

Потеря квадрата в формуле косинуса двойного угла

Неверная запись: $\cos 2 α = \cos α - \sin α$ . Правильная формула: $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ . Проверяй, что у синуса и косинуса стоят квадраты.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найдите значение выражения: $\log_{5} 0, 2 + \log_{5} 125$ .
Задание 2. Найдите значение выражения: $36^{\log_{6} 5}$ .
Задание 3. Вычислите: $\frac{10 \sin 40^{\circ} \cdot \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}$ .[i]

Решение к заданию 1. Используем свойство суммы логарифмов: $\log_{5} 0, 2 + \log_{5} 125 = \log_{5} (0, 2 \cdot 125)$ . Так как $0, 2 \cdot 125 = 25$ , получаем: $\log_{5} 25 = 2$ .

Ответ: 2.

Решение к заданию 2. Представляем основание как степень числа 6: $36 = 6^{2}$ . Тогда: $36^{\log_{6} 5} = (6^{2})^{\log_{6} 5} = 6^{2 \log_{6} 5}$ . Переносим 2 в степень аргумента: $6^{\log_{6} 25} = 25$ .

Ответ: 25.

Решение к заданию 3. Выделяем множитель 2 из числа 10: $\frac{10 \sin 40^{\circ} \cdot \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{5 \cdot (2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ})}{\sin 80^{\circ}}$ . По формуле синуса двойного угла: $2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ} = \sin 80^{\circ}$ . Поэтому: $\frac{5 \cdot \sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = 5$ .

Ответ: 5.

Задание повышенного уровня

Найдите значение выражения: $\frac{\log_{2} 12, 8 - \log_{2} 0, 8}{5^{\log_{5} 2}}$ .[i]

Шаг 1. Числитель сворачивается по формуле разности логарифмов: $\log_{2} 12, 8 - \log_{2} 0, 8 = \log_{2} (\frac{12, 8}{0, 8})$ .

Шаг 2. Выполняем деление: $\frac{12, 8}{0, 8} = 16$ .

Шаг 3. Значит, числитель равен: $\log_{2} 16 = 4$ .

Шаг 4. Знаменатель вычисляется по основному логарифмическому тождеству: $5^{\log_{5} 2} = 2$ . Теперь делим: $\frac{4}{2} = 2$ .

Ответ: 2.

Заключение

В логарифмических выражениях сначала проверяй основания: свойства суммы, разности и степени работают только при одинаковых основаниях. В тригонометрии следи за углами: если видишь связь в два раза, чаще всего нужна формула двойного угла. Лишние числа в логарифмах можно превращать в логарифмы или переносить в степень аргумента. В задании 7 ЕГЭ по профильной математике ответ обычно получается аккуратным: целым числом или конечной десятичной дробью. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».