В задании 7 ЕГЭ по профильной математике часто встречаются логарифмические и тригонометрические выражения. Чтобы справиться с ними, нужно быстро узнавать подходящую формулу и аккуратно приводить выражение к удобному виду. В первой части экзамена в ответе обычно получается целое число или конечная десятичная дробь. Если в процессе решения остаются радикалы, бесконечные дроби или буква $\pi$, стоит проверить вычисления.
Теория по кусочкам
Для успешного решения задания 7 достаточно владеть несколькими ключевыми формулами. Разберём их в том виде, в каком они чаще всего нужны на экзамене.
База тригонометрических вычислений
Главное правило при работе с синусами и косинусами: сначала приводи выражение к одному углу. Пока углы отличаются, сокращать функции нельзя.
Чаще всего для этого нужна формула синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Для косинуса двойного угла используют три равносильные формулы:
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$
$\cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha$
Также часто помогает основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла.
База логарифмических выражений
«Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b$. Из определения следует основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$».
Для преобразований нужны свойства логарифмов:
- Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения аргументов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
- Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: $\log_a b-\log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$.
- Степень аргумента можно вынести перед логарифмом: $\log_a (b^p) = p\log_a b$.
- Формула перехода к новому основанию помогает при делении двух логарифмов с одинаковым основанием: $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$.
Все эти свойства работают при допустимых значениях: основание логарифма положительно и не равно 1, аргумент положителен.
Алгоритм решения
В логарифмических и тригонометрических выражениях удобно действовать по одному плану.
- Посмотри на исходные данные: основания степеней, основания логарифмов или градусные меры углов.
- Приведи выражение к единообразию. Разные основания нужно связать через свойства степеней, разные углы — через формулы двойного угла или формулы приведения.
- Примени подходящую формулу.
- Сократи дробь или упрости выражение.
- Проверь итоговый ответ. В задании 7 ЕГЭ по профильной математике обычно получается целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор заданий в формате ЕГЭ
Рассмотрим несколько типовых заданий на вычисления и преобразования.
Работа с двойным углом
Найдите значение выражения: $\frac{24\sin 14^\circ \cdot \cos 14^\circ}{\sin 28^\circ}$.
Шаг 1. В числителе стоят $\sin 14^\circ$ и $\cos 14^\circ$, а в знаменателе — $\sin 28^\circ$. Углы разные, поэтому сразу сокращать нельзя.
Шаг 2. Замечаем связь: $28^\circ$ в два раза больше $14^\circ$. Значит, подойдёт формула синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Шаг 3. В числителе есть произведение $\sin 14^\circ \cdot \cos 14^\circ$, но для формулы не хватает множителя 2. Представим 24 как $12 \cdot 2$: $\frac{12 \cdot (2\sin 14^\circ \cdot \cos 14^\circ)}{\sin 28^\circ}$.
Шаг 4. Сворачиваем выражение в скобках: $2\sin 14^\circ \cos 14^\circ = \sin 28^\circ$. Получаем: $\frac{12 \cdot \sin 28^\circ}{\sin 28^\circ}$.
Шаг 5. Теперь синусы имеют одинаковый угол, поэтому их можно сократить. Остаётся 12.
Ответ: 12.
Превращение числа в логарифм
Найдите значение выражения: $\frac{\log_3 18}{2 + \log_3 2}$.
Шаг 1. В числителе и знаменателе есть логарифмы по основанию 3. В знаменателе мешает число 2.
Шаг 2. Представим число 2 как логарифм по основанию 3. Так как $3^2 = 9$, получаем: $2 = \log_3 9$. Знаменатель принимает вид: $\log_3 9 + \log_3 2$.
Шаг 3. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковыми основаниями: $\log_3 9 + \log_3 2 = \log_3(9 \cdot 2) = \log_3 18$.
Шаг 4. Исходная дробь превращается в: $\frac{\log_3 18}{\log_3 18}$.
Шаг 5. Числитель и знаменатель равны, поэтому значение дроби равно 1.
Ответ: 1.
Основное логарифмическое тождество
Найдите значение выражения: $16^{\log_4 7}$.
Шаг 1. Перед нами степень с логарифмом в показателе. Можно использовать основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. Но основания пока разные: в степени стоит 16, а в логарифме — 4.
Шаг 2. Представим 16 как квадрат числа 4: $16 = 4^2$. Тогда исходное выражение можно записать так: $(4^2)^{\log_4 7}$.
Шаг 3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(4^2)^{\log_4 7} = 4^{2\log_4 7}$.
Шаг 4. Множитель 2 перед логарифмом перенесём в степень аргумента: $2\log_4 7 = \log_4(7^2)$. Получаем: $4^{\log_4 49}$.
Шаг 5. Теперь основания совпадают. По основному логарифмическому тождеству остаётся аргумент логарифма: $4^{\log_4 49} = 49$.
Ответ: 49.
Типичные ошибки
В задании 7 часто теряют баллы из-за невнимательного применения формул. Вот основные ловушки.
Сложение логарифмов с разными основаниями
Нельзя складывать логарифмы с разными основаниями по формуле произведения: $\log_2 5 + \log_3 4$. Формулы суммы и разности работают только при полном совпадении оснований. Если основания разные, сначала нужно преобразовать выражение другим способом.
Игнорирование области допустимых значений
$\log_a x \text{ существует при условиях: } a > 0, \quad a \ne 1, \quad x > 0$
В первой части экзамена авторы обычно подбирают выражения так, чтобы вычисление было корректным. Но привычка проверять знак аргумента помогает не ошибаться в более сложных заданиях.
Неверное сокращение тригонометрических функций
Нельзя сокращать название функции в выражении: $\frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ}$. Это не то же самое, что $\frac{60}{30}$. Нужно вычислить значения функций отдельно: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2},\quad \sin 30^\circ = \frac12$. И только потом делить.
Потеря квадрата в формуле косинуса двойного угла
Неверная запись: $\cos 2\alpha = \cos\alpha-\sin\alpha$. Правильная формула: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$. Проверяй, что у синуса и косинуса стоят квадраты.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найдите значение выражения: $\log_5 0{,}2 + \log_5 125$.
Задание 2. Найдите значение выражения: $36^{\log_6 5}$.
Задание 3. Вычислите: $\frac{10\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 80^\circ}$.
Решение к заданию 1. Используем свойство суммы логарифмов: $\log_5 0{,}2 + \log_5 125 = \log_5(0{,}2 \cdot 125)$. Так как $0{,}2 \cdot 125 = 25$, получаем: $\log_5 25 = 2$.
Ответ: 2.
Решение к заданию 2. Представляем основание как степень числа 6: $36 = 6^2$. Тогда: $36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5}$. Переносим 2 в степень аргумента: $6^{\log_6 25} = 25$.
Ответ: 25.
Решение к заданию 3. Выделяем множитель 2 из числа 10: $\frac{10\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{5 \cdot (2\sin 40^\circ \cos 40^\circ)}{\sin 80^\circ}$. По формуле синуса двойного угла: $2\sin 40^\circ \cos 40^\circ = \sin 80^\circ$. Поэтому: $\frac{5 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 80^\circ} = 5$.
Ответ: 5.
Задание повышенного уровня
Найдите значение выражения: $\frac{\log_2 12{,}8-\log_2 0{,}8}{5^{\log_5 2}}$.
Шаг 1. Числитель сворачивается по формуле разности логарифмов: $\log_2 12{,}8-\log_2 0{,}8 = \log_2\left(\frac{12{,}8}{0{,}8}\right)$.
Шаг 2. Выполняем деление: $\frac{12{,}8}{0{,}8} = 16$.
Шаг 3. Значит, числитель равен: $\log_2 16 = 4$.
Шаг 4. Знаменатель вычисляется по основному логарифмическому тождеству: $5^{\log_5 2} = 2$. Теперь делим: $\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2.
Заключение
В логарифмических выражениях сначала проверяй основания: свойства суммы, разности и степени работают только при одинаковых основаниях. В тригонометрии следи за углами: если видишь связь в два раза, чаще всего нужна формула двойного угла. Лишние числа в логарифмах можно превращать в логарифмы или переносить в степень аргумента. В задании 7 ЕГЭ по профильной математике ответ обычно получается аккуратным: целым числом или конечной десятичной дробью. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
Автор статьи
