Натуральные числа — базовая тема математики 5 класса. Она нужна для задач на счёт, числовые промежутки и нумерацию, а позже помогает не ошибаться в заданиях ОГЭ по математике, где используются целые положительные числа. Разберём, какие значения называют натуральными, почему ноль к ним не относят и как быстро проверять ответ в задачах.

Основная теория

В математике натуральными называют значения, которые используют при счёте предметов. Можно посчитать одно яблоко, два стула, три тетради или сто машин. Для обозначения множества натуральных чисел используют латинскую букву $N$ .

Ноль

Ноль означает отсутствие предметов. При счёте предметов ряд начинается с единицы: сначала один предмет, затем два, три и дальше. Поэтому ноль не входит в множество натуральных чисел.

Если в задаче просят назвать наименьшее натуральное число, ответом будет $1$, а не $0$.

Дроби и отрицательные числа

Отрицательные числа, например $- 5$ , и дробные выражения, например $\frac{1}{2}$ , — это не натуральные. Натуральные числа должны быть целыми и положительными.

Подходят такие значения: $1, 2, 3, 4, 5$ и дальше по порядку.

Не подходят:

$0$, потому что это не положительное;
$- 7$ , потому что отрицательное;
$\frac{1}{2}$ , потому что это дробь;
$3, 6$ , потому что есть дробная часть.

Числовой ряд

Ряд натуральных чисел начинается с единицы: $1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$

Самого большого натурального числа не существует, потому что к любому натуральному значению можно прибавить $1$ и получить следующее натуральное число. Каждое следующее значение в ряду на единицу больше предыдущего.

Алгоритм проверки числа

Если в задании нужно выбрать натуральные значения из списка, действуй по шагам:

Проверь знак перед числом. Если есть минус, оно не подходит.
Проверь, есть ли дробная часть. Если после вычисления остаётся дробная часть, значение не подходит.
Если перед тобой $0$, убери его из списка.
Оставь только целые положительные числа.

Если в списке есть выражение, сначала его нужно вычислить. Например, $\frac{10}{2}$ выглядит как дробь, но после вычисления получается $5$. Оно натуральное.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор примеров задач

Разберём три задания с пошаговым решением. Они показывают, как применять определение натуральных чисел в разных ситуациях.

Пример с комбинаторикой

Условие

Запишите все трёхзначные натуральные числа, которые можно составить из цифр $1$, $2$ и $0$, если цифры в записи не повторяются.

Шаг 1. Нужно составить трёхзначное число. Оно состоит из сотен, десятков и единиц. Трёхзначное значение не может начинаться с нуля, поэтому на первое место можно поставить только $1$ или $2$.

Шаг 2. Пусть на первом месте стоит $1$. Остались цифры $2$ и $0$. Из них можно составить два варианта: $120$ и $102$.

Шаг 3. Теперь поставим на первое место $2$. Остались цифры $1$ и $0$. Получаются варианты $210$ и $201$. Все эти значения трёхзначные, целые и положительные, поэтому это натуральные числа.

Ответ: $120, 102, 210, 201$ .

Пример на подсчёт чисел в ряду

Условие

Сколько натуральных чисел стоит в ряду между значениями $15$ и $34$?

Шаг 1. Слово «между» означает, что нужно считать числа строго внутри промежутка. Концы промежутка $15$ и $34$ не включаются.

Шаг 2. Чтобы найти количество натуральных значений между двумя числами, нужно из большего вычесть меньшее, а затем вычесть ещё $1$: $34 - 15 - 1 = 18$ .

Ответ: внутри заданного промежутка находятся $18$ чисел.

Пример на свойства натуральных чисел

Условие

Найдите сумму наименьшего натурального и наибольшего двузначного натурального числа.

Шаг 1. Наименьшее натуральное — $1$.

Шаг 2. Наибольшее двузначное натуральное — $99$, потому что следующее значение, $100$, уже трёхзначное.

Шаг 3. Сложим найденные значения: $1 + 99 = 100$ .

Ответ: $100$.

Типичные ошибки и ловушки

Тема кажется простой, но в задачах часто теряют баллы из-за невнимательности. Вот основные ловушки.

Ноль

Как нельзя делать: записывать $0$ в ответ, если просят назвать самое маленькое натуральное число.

Как нужно делать: помнить, что натуральный ряд начинается с единицы.

Замаскированные дроби

Как нельзя делать: видеть дробь $\frac{10}{2}$ и сразу вычёркивать её из списка.

Как нужно делать: сначала выполнять вычисления. Дробная черта означает деление: $\frac{10}{2} = 5$ — натуральное.

Подсчёт промежутков

Как нельзя делать: при подсчёте чисел между $15$ и $34$ просто считать $34 - 15 = 19$ .

Как нужно делать: учитывать, включаются ли границы промежутка. Если нужно найти числа строго между двумя значениями, обе границы исключаются: $34 - 15 - 1 = 18$ .

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Подходит ли значение $- 7$ под определение натурального числа?

Задание 2. Какое значение следует сразу за $1099$?

Задание 3. Задумано чётное число, которое строго больше $14$, но меньше $18$. Что это за значение?

Задание 4. Задание со звёздочкой. Сколько всего страниц в тетради, если для их нумерации от первой страницы потребовалось написать девять однозначных чисел и двадцать двузначных?

Ответ к заданию 1. Нет, потому что $- 7$ — отрицательное.

Ответ к заданию 2. Следующим идёт значение $1100$, потому что каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего.

Ответ к заданию 3. Между $14$ и $18$ находятся числа $15$, $16$ и $17$. Чётное среди них только $16$.

Ответ к заданию 4. Однозначные номера занимают страницы с $1$ по $9$, всего их девять. Двузначные номера начинаются со страницы $10$. Двадцать следующих страниц занимают диапазон от $10$ до $29$. Значит, в тетради $29$ страниц.

Заключение

Теперь ты знаешь, какие числа относятся к натуральным, и не попадёшься в ловушки с нулём или замаскированными дробями. Эти знания помогут тебе без ошибок определять количество значений в числовых промежутках и решать задачи на нумерацию. В задачах нужно внимательно читать условие: особенно слова «между», «строго больше» и «строго меньше». Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на счёт, нумерацию и числовые промежутки в «100балльном банке».