Как записывать числа в десятичной и римской системах

Например, в числе $555$ записаны три одинаковые цифры. Но их значения разные:

• Правая цифра $5$ обозначает пять единиц.
• Средняя цифра $5$ обозначает пять десятков, то есть $50$.
• Левая цифра $5$ обозначает пять сотен, то есть $500$.

Если какой-либо разряд пустует, на его место ставят $0$. Например, в числе $507$ цифра $0$ показывает, что десятков нет.

Каждые три разряда справа налево объединяются в классы: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и так далее. У каждого класса есть свои единицы, десятки и сотни.

Римская нумерация устроена иначе. Это пример непозиционной системы счисления: сам символ сохраняет свой вес, где бы он ни стоял. Для записи чисел используют семь букв латинского алфавита.

Чтобы правильно читать римские числа, нужно знать несколько правил.

Правило сложения

Если знаки записаны слева направо от большего к меньшему, их значения складываются.

Пример: $VII=5+1+1=7$.

Правило вычитания

Если меньший знак стоит слева от большего, меньший знак вычитают из большего.

Примеры:

• $IV=5-1=4$;
• $IX=10-1=9$.

Ограничение повторений

Символы $I$, $X$, $C$, $M$ можно писать подряд не более трёх раз.

Например, число $30$ записывается как $XXX$. Но число $40$ нельзя записать как $XXXX$.

Знаки $V$, $L$, $D$ подряд не повторяют. Например, число $100$ нельзя записать как $LL$, потому что для него есть отдельный знак $C$.

Особые пары

Правило вычитания работает только для определённых пар:

• $IV=4$;
• $IX=9$;
• $XL=40$;
• $XC=90$;
• $CD=400$;
• $CM=900$.

Нельзя вычитать любой меньший знак из любого большего. Например, число $99$ нельзя записать как $IC$.

Чтобы перевести число из десятичной системы в римскую, действуй по алгоритму.

1. Разбей число на разрядные слагаемые: сотни, десятки, единицы.
2. Подбери римскую запись для каждого слагаемого.
3. Запиши получившиеся части подряд слева направо.

Например, число $44$ удобно разбить так: $44=40+4$.

Теперь переводим каждую часть:

• $40=XL$;
• $4=IV$.

Получаем: $44=XLIV$.

Чтобы перевести римское число в десятичную запись, используй другой алгоритм.

1. Просмотри запись слева направо.
2. Найди места, где меньший знак стоит перед большим.
3. Посчитай такие пары вычитанием.
4. Остальные знаки сложи как обычные значения.
5. Сложи все полученные части.

Например, в числе $XXIV$ в конце есть пара $IV$: $IV=5-1=4$.

Перед ней стоят два знака $X$: $X+X=10+10=20$.

Значит: $XXIV=20+4=24$.

Ниже — тренировочные задания для 5 класса. Они помогают закрепить правила перевода между десятичной и римской системами.

Условие

Запиши в римской системе счисления числа $44$, $98$, $450$.

Условие

Переведи римские числа $XXIV$ и $LIX$ в десятичную систему.

Условие

Расшифруй римское число $MCMXCIX$.

Повторять знак больше трёх раз

Нельзя записывать число $40$ как $XXXX$, а число $4$ как $IIII$.

Правильно:

• $40=XL$;
• $4=IV$.

Правило строго запрещает писать один и тот же символ больше трёх раз подряд.

Вычитать через разряд

Нельзя записывать число $99$ как $IC$, хотя внешне это похоже на «сто минус один».

Правильно переводить число по разрядам: $99=90+9$.

Тогда:

• $90=XC$;
• $9=IX$.

Значит:

$99=XCIX$.

Соседние разряды нельзя перепрыгивать при вычитании.

Повторять знаки V, L и D

Нельзя записывать число $100$ как $LL$.

Правильно: $100=C$.

Знаки $V$, $L$ и $D$ обозначают значения $5$, $50$ и $500$. Их подряд не повторяют.

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Переведи число $14$ в римскую систему.

Задание 2. Какое значение зашифровано в записи $XXIX$?

Задание 3. Как правильно записать число $140$?

Задание 4. Переведи число $394$ с подробным разложением.

Десятичная система является позиционной: значение цифры зависит от её разряда. Римская система устроена иначе: в ней используют знаки $I$, $V$, $X$, $L$, $C$, $D$, $M$, а числа собирают по правилам сложения и вычитания. Чтобы не ошибаться, раскладывай десятичное число на сотни, десятки и единицы, а затем записывай каждый разряд отдельно. При чтении римской записи сначала ищи особые пары $IV$, $IX$, $XL$, $XC$, $CD$, $CM$. Этот навык помогает увереннее работать с разрядным составом числа и аккуратнее выполнять задания по математике.