Арифметическая прогрессия встречается в задании № 14 ОГЭ по математике. Ошибки в этой теме часто появляются из-за попытки решать задачи подбором: так легко сбиться в номерах членов прогрессии или потерять знак разности. В статье разберём основные формулы, покажем, как выбирать нужную, и потренируемся на типовых задачах в формате ОГЭ.
Теория по частям
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.
Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой $d$. Первое число последовательности обозначают $a_1$, второе — $a_2$, а член с номером $n$ — $a_n$.
Разность прогрессии может быть положительной, отрицательной или равной нулю:
- если $d > 0$, числа увеличиваются, прогрессия возрастает;
- если $d < 0$, числа уменьшаются, прогрессия убывает;
- если $d = 0$, все числа последовательности одинаковые.
Чтобы найти конкретный член прогрессии, используют формулу $n$-го члена:
$a_n = a_1 + d(n-1)$
Смысл формулы простой: берём первое число и прибавляем разность столько раз, сколько шагов нужно сделать до нужного номера. Например, чтобы найти восьмой член, нужно сделать семь шагов от первого.
Если нужно сложить первые $n$ членов прогрессии, используют формулу суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Если последний член неизвестен, можно использовать другую запись той же формулы:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Ещё одно полезное свойство — характеристическое свойство арифметической прогрессии. Любой член прогрессии, кроме первого и последнего в конечной последовательности, равен среднему арифметическому своих соседей:
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n + 1}}{2}$
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться в условии, действуй по шагам.
- Найди стартовое значение. Обычно оно играет роль $a_1$.
- Определи шаг изменения величины. Если значение увеличивается, разность положительная. Если уменьшается, перед числом нужен минус.
- Пойми, что именно спрашивают: значение в конкретный день, ряд или момент либо сумму за весь период.
- Выпиши данные и выбери формулу.
- Подставь числа и аккуратно выполни вычисления.
- Проверь ответ на здравый смысл: знак, порядок величины и номер члена прогрессии.
Примеры с решениями
Разберём несколько типовых задач на арифметическую прогрессию.
Поиск конкретного члена прогрессии
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Шаг 1. Выделяем данные.
Первый ряд — это стартовая точка: $a_1 = 25$.
Фраза «на 3 места больше» показывает разность: $d = 3$.
Шаг 2. Нужно найти количество мест в восьмом ряду, значит, ищем $a_8$.
Шаг 3. Используем формулу $n$-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$.
Подставляем значения:
$a_8 = 25 + 3 \cdot (8-1)$,
$a_8 = 25 + 3 \cdot 7$,
$a_8 = 25 + 21 = 46$.
Ответ: 46 мест.
Поиск неизвестной разности через сумму
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше, чем в предыдущий день. Известно, что в первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано в четвёртый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Шаг 1. Выписываем данные.
Общий итог за 16 дней: $S_{16} = 640$.
Первый день: $a_1 = 10$.
Количество дней: $n = 16$.
Шаг 2. Нужно найти количество открыток в четвёртый день, то есть $a_4$. Для этого сначала найдём разность $d$.
Шаг 3. Используем формулу суммы: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Подставляем данные:
$640 = \frac{2 \cdot 10 + d(16-1)}{2} \cdot 16$,
$640 = \frac{20 + 15d}{2} \cdot 16$.
Делим 16 на 2: $640 = (20 + 15d) \cdot 8$.
Делим обе части на 8:
$80 = 20 + 15d$,
$15d = 60$,
$d = 4$.
Шаг 4. Теперь найдём четвёртый член прогрессии:
$a_4 = 10 + 4 \cdot (4-1)$,
$a_4 = 10 + 12 = 22$.
Ответ: 22 открытки.
Физический процесс с нулевой минутой
При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на 7,5 °C в минуту. Найдите температуру реагента спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла −8,7 °C.
Шаг 1. Начальная температура: $a_1 = -8{,}7$.
Температура уменьшается, поэтому разность отрицательная: $d = -7{,}5$.
Шаг 2. В этой задаче важно не ошибиться с номером члена прогрессии.
Начальная температура дана в момент начала опыта, то есть до истечения первой минуты. После одной минуты будет следующее состояние, которое соответствует $a_2$. Значит, спустя 6 минут нужно искать $a_7$.
Шаг 3. Подставляем данные в формулу:
$a_7 = a_1 + d(7-1)$,
$a_7 = -8{,}7 + (-7{,}5) \cdot 6$,
$a_7 = -8{,}7-45 = -53{,}7$.
Ответ: −53,7 °C.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
В задачах на арифметическую прогрессию чаще всего теряют баллы из-за невнимательного чтения условия.
Смещение номеров в физических процессах
Ошибка: искать шестой член $a_6$, если сказано, что прошло 6 минут от начального замера.
Как правильно: учитывать, что начальный замер уже играет роль $a_1$. Через одну минуту получается $a_2$, поэтому спустя 6 минут нужно искать $a_7$.
Неверный знак разности
Ошибка: записать $d = 2$, если в условии сказано, что каждый следующий ряд содержит на два места меньше.
Как правильно: обращать внимание на слова-маркеры. Слова «уменьшается», «дешевеет», «остывает», «становится меньше» указывают на отрицательную разность.
Путаница между членом прогрессии и суммой
Ошибка: использовать формулу суммы, если нужно узнать результат за один конкретный день.
Как правильно: сначала определить вопрос задачи. Если спрашивают значение в конкретный день, ряд или момент, нужна формула $a_n$. Если спрашивают общий результат за период, нужна формула $S_n$.
Самопроверка
Реши задачи самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задача 1. За первый день строитель уложил 5 метров тротуарной плитки, а каждый следующий день он укладывал на 2 метра больше. Сколько метров было уложено ровно за шестой день?
Задача 2. Числовой ряд начинается с числа 12, а каждое следующее число в нём меньше на 4. Найдите сумму первых пяти чисел этого ряда.
Задача 3. Вычислите десятый элемент числовой последовательности, если первое значение равно 7, а разность составляет 3.
Решение к задаче 1
Ищем значение за конкретный день:
$a_6 = 5 + 2 \cdot (6-1)$,
$a_6 = 5 + 2 \cdot 5 = 15$.
Ответ: 15 метров.
Решение к задаче 2
Ищем сумму первых пяти членов:
$S_5 = \frac{2 \cdot 12 + (-4) \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$,
$S_5 = \frac{24-16}{2} \cdot 5$,
$S_5 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20.
Решение к задаче 3
Используем формулу $n$-го члена:
$a_{10} = 7 + 3 \cdot (10-1)$,
$a_{10} = 7 + 3 \cdot 9 = 34$.
Ответ: 34.
Задача со звёздочкой
Улитка ползёт по дереву. За первую минуту она проползла 10 сантиметров, а за каждую следующую минуту проползает на 1 сантиметр меньше. За какое время улитка преодолеет ровно 52 сантиметра?
Шаг 1. По условию известны:
$S_n = 52$, $a_1 = 10$, $d = -1$.
Шаг 2. Подставляем данные в формулу суммы:
$52 = \frac{2 \cdot 10 + (-1)(n-1)}{2} \cdot n$,
$52 = \frac{20-n + 1}{2} \cdot n$,
$52 = \frac{21-n}{2} \cdot n$.
Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на 2: $104 = (21-n)n$.
Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону:
$104 = 21n-n^2$,
$n^2-21n + 104 = 0$.
Находим дискриминант:
$D = (-21)^2-4 \cdot 1 \cdot 104$,
$D = 441-416 = 25$.
Корни уравнения:
$n_1 = \frac{21-5}{2} = 8$,$n_2 = \frac{21 + 5}{2} = 13$.
Математически подходят два корня, но по смыслу задачи выбираем 8 минут. При 13 минутах в модели появились бы нулевые и отрицательные расстояния за отдельные минуты, что противоречит реальному движению улитки.
Ответ: 8 минут.
Заключение
В задачах на арифметическую прогрессию важно сначала понять, что именно дано и что требуется найти. Формула $a_n = a_1 + d(n-1)$ нужна для отдельного члена прогрессии, а формулы суммы — для общего результата за несколько шагов. Перед вычислениями всегда проверяй знак разности и номер нужного члена. Особенно внимательно читай задачи про время: начальный момент часто соответствует $a_1$, а не $a_0$. Для закрепления темы реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
Автор статьи
