Геометрическая прогрессия часто встречается в задании № 14 ОГЭ по математике. Ошибки обычно появляются в самом начале решения, когда нужно понять, как меняется величина: прибавляется одно и то же число или каждый раз умножается на один и тот же множитель. Разберём, как распознать геометрическую прогрессию, записать её формулу и не ошибиться с номером нужного члена последовательности.
Как работает геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Число, на которое умножается каждый член последовательности для получения следующего, называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой $q$.
Если известны два соседних члена прогрессии, знаменатель можно найти делением следующего члена на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Чтобы не умножать числа много раз подряд, используют формулу $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Здесь $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — номер нужного члена.
У геометрической прогрессии есть полезное свойство: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
То есть квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей. Если все члены прогрессии положительные, это свойство можно понимать как правило геометрического среднего.
Иногда нужно найти сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для этого используют формулу: $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.
Эта формула работает при $q \neq 1$. Если $q = 1$, все члены прогрессии одинаковые, поэтому сумма находится так: $S_n = n \cdot b_1$.
Алгоритм решения задач
Задачи на геометрическую прогрессию удобно решать по одному шаблону.
- Прочитай условие и найди ключевые слова. Фразы «в несколько раз», «увеличивается вдвое», «уменьшается втрое», «каждый раз на столько-то процентов» обычно указывают на умножение.
- Определи первый член прогрессии $b_1$. Это число, с которого начинается процесс.
- Найди знаменатель $q$. Если величина увеличивается на $P\%$, то $q = 1 + \frac{P}{100}$. Если уменьшается на $P\%$, то $q = 1-\frac{P}{100}$. Если масса уменьшается вдвое, то $q = \frac{1}{2}$.
- Определи номер нужного члена. Это самый частый источник ошибок: начальное значение уже считается первым членом.
- Подставь данные в формулу и проверь ответ на здравый смысл.
Примеры заданий
Полураспад изотопа
В начальный момент времени масса изотопа составляет 148 мг. Период его полураспада равен 4 минутам. Это означает, что каждые 4 минуты масса уменьшается ровно вдвое. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 37 мг.
Шаг 1. Масса уменьшается вдвое, значит, это геометрическая прогрессия.
Начальная масса: $b_1 = 148$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{2}$.
Шаг 2. Посчитаем по шагам, потому что периодов немного.
Через один период, то есть через 4 минуты: $b_2 = 148 \cdot \frac{1}{2} = 74$.
Через второй период, ещё через 4 минуты: $b_3 = 74 \cdot \frac{1}{2} = 37$.
Шаг 3. Масса 37 мг получилась после двух периодов полураспада. Один период длится 4 минуты, значит: $2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8 минут.
Размножение бактерий
Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд, если вначале была одна бактерия?
Шаг 1. Количество бактерий каждый раз увеличивается в 3 раза, значит: $q = 3$.
В начальный момент, то есть при $t = 0$, была одна бактерия: $b_1 = 1$.
Шаг 2. За 5 секунд происходит 5 циклов деления. Начальное значение уже считается первым членом прогрессии. Тогда после одного периода получаем второй член, после двух периодов — третий и так далее, поэтому через 5 секунд нужно найти шестой член:
$b_6 = 1 \cdot 3^{6-1}$,
$b_6 = 1 \cdot 3^5$.
Вычислим степень: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243 бактерии.
Распад вещества за известное время
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Шаг 1. Масса уменьшается вдвое, значит, знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{2}$.
Начальная масса: $b_1 = 640$.
Шаг 2. Найдём количество периодов распада: $42 : 7 = 6$.
Прошло 6 периодов. Начальное значение — первый член прогрессии, поэтому после шести периодов нужно найти седьмой член: $b_7 = 640 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6$.
Шаг 3. Так как $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$, получаем $b_7 = 640 \cdot \frac{1}{64} = 10$.
Ответ: 10.
Типичные ошибки
Ошибка с индексами
Нельзя автоматически считать, что через 5 периодов нужно искать $b_5$.
Если начальное значение записано как $b_1$, то:
- после одного периода получается $b_2$;
- после двух периодов получается $b_3$;
- после пяти периодов получается $b_6$.
То есть номер члена на единицу больше количества прошедших периодов.
Путаница между «на» и «в»
Предлог в условии помогает понять тип прогрессии.
Если величина меняется на одно и то же число, это арифметическая прогрессия:
- увеличивается на 5,
- уменьшается на 12,
- каждый день прибавляют по 3.
Если величина меняется в несколько раз, это геометрическая прогрессия:
- увеличивается в 2 раза,
- уменьшается втрое,
- каждый раз становится в 1,5 раза больше.
Слишком сложное решение там, где можно считать по шагам
Формулы полезны, когда периодов много. Но если в задаче спрашивают про третий или четвёртый шаг, часто быстрее просто последовательно умножить числа.
Например, если масса уменьшается вдвое и нужно найти значение через три периода, можно записать: $80 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10$.
Такой способ хорошо подходит и для проверки ответа, найденного по формуле.
Самопроверка
Задание на знаменатель прогрессии
Известно, что первый член геометрической прогрессии равен 2, а второй равен 10. Найдите знаменатель $q$.
Знаменатель равен отношению следующего члена к предыдущему: $q = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5.
Задание на формулу
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии работает только для положительного знаменателя $q$?
Нет, формула работает для любых значений $q$, кроме нуля. При этом правило геометрического среднего удобно применять именно для положительных данных.
Задание на последовательные отскоки
Мячик падает с высоты 80 см. Каждый раз он отскакивает на высоту, в два раза меньшую предыдущей. Какова будет высота после третьего отскока?
Считаем по шагам:
- после первого отскока: $80 : 2 = 40$ см;
- после второго отскока: $40 : 2 = 20$ см;
- после третьего отскока: $20 : 2 = 10$ см.
Ответ: 10 см.
Заключение
Теперь ты умеешь распознавать геометрическую прогрессию в текстовых задачах ОГЭ и отличать её от арифметической прогрессии. Главный признак — изменение величины в несколько раз или на определённый процент. При решении особенно внимательно считай периоды: начальное значение уже считается первым членом прогрессии. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на прогрессии в «100балльном банке».
Автор статьи
