Системы неравенств встречаются в задании № 13 ОГЭ по математике. В таких задачах нужно решить несколько неравенств и найти значения переменной, которые подходят ко всем условиям сразу. Ошибки чаще всего появляются при выборе скобок, отметке точек на координатной прямой и поиске общего участка. Разберём правила, алгоритм и типичные примеры.
Как работают системы неравенств
Система неравенств с одной переменной задаёт несколько условий, которые должны выполняться одновременно.
Решение системы — это значение переменной, при котором верно каждое неравенство из системы.
Например, если в системе записано $x > 2$ и $x < 5$, то подходят только числа, которые больше $2$ и меньше $5$. Ответом будет промежуток $(2; 5)$.
При записи ответа важно учитывать знак неравенства:
- если стоит строгий знак $<$ или $>$, точка на координатной прямой будет выколотой, а в ответе ставится круглая скобка;
- если стоит нестрогий знак $\le$ или $\ge$, точка будет закрашенной, а в ответе ставится квадратная скобка;
- рядом с бесконечностью всегда ставится круглая скобка: $(-\infty; 3)$, $[5; +\infty)$.
Если у неравенств нет общих решений, их пересечение пусто. Это записывают как $\varnothing$.
Алгоритм решения системы
Чтобы не запутаться, действуй по одному плану.
- Реши каждое неравенство отдельно.
- Нарисуй координатную прямую и отметь на ней найденные точки.
- Для строгих знаков поставь выколотые точки, для нестрогих — закрашенные.
- Заштрихуй решение каждого неравенства. Удобно одно решение отмечать сверху прямой, другое — снизу.
- Найди общую часть решений (пересечение промежутков).
- Запиши ответ в виде промежутка, одного числа или пустого множества.
Примеры заданий ОГЭ
Примеры ниже адаптированы под формат задания № 13 ОГЭ по математике.
Классическое пересечение
Условие
$\begin{cases} x + 3{,}6 \le 0, \\ x + 2 \le -1. \end{cases}$
Укажите решение системы.
Шаг 1. Решим первое неравенство: $x + 3{,}6 \le 0.$
Переносим $3{,}6$ в правую часть с противоположным знаком: $x \le -3{,}6.$
Шаг 2. Решим второе неравенство: $x + 2 \le -1.$
Переносим $2$ вправо: $x \le -1-2.$
Получаем: $x \le -3.$
Шаг 3. Отметим точки $-3{,}6$ и $-3$ на координатной прямой. Оба знака нестрогие, поэтому обе точки закрашенные.
Шаг 4. Для $x \le -3{,}6$ штриховка идёт влево от точки $-3{,}6$. Для $x \le -3$ штриховка идёт влево от точки $-3$.
Шаг 5. Общая часть — всё, что находится левее числа $-3{,}6$, включая само число $-3{,}6$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3{,}6]$.
Нет общих решений
Условие
Решите систему: $\begin{cases} 2x-4 > 0, \\ 3x + 9 \le 0. \end{cases}$
Шаг 1. Решим первое неравенство: $2x-4 > 0.$
Переносим $-4$ вправо: $2x > 4.$
Делим обе части на $2$: $x > 2.$
Шаг 2. Решим второе неравенство: $3x + 9 \le 0.$
Переносим $9$ вправо: $3x \le -9.$
Делим обе части на $3$: $x \le -3.$
Шаг 3. Отмечаем оба результата на одной координатной прямой. Точка $2$ выколотая, потому что знак строгий. Точка $-3$ закрашенная, потому что знак нестрогий.
Отбор корней на координатной прямой
Шаг 4. Для $x > 2$ штриховка идёт вправо от точки $2$. Для $x \le -3$ штриховка идёт влево от точки $-3$.
Шаг 5. Штриховки не пересекаются. Значит, общих решений нет.
Ответ: система не имеет решений, множество решений — $\varnothing$.
Одно число в ответе
Условие
Решите систему: $\begin{cases} x \ge 5, \\ x \le 5. \end{cases}$
Шаг 1. Неравенства уже решены, поэтому сразу отметим точку $5$ на координатной прямой.
Отбор корней на координатной прямой
Шаг 2. Точка $5$ закрашенная, потому что оба знака нестрогие.
Шаг 3. Для $x \ge 5$ штриховка идёт вправо от точки $5$. Для $x \le 5$ штриховка идёт влево от точки $5$.
Шаг 4. Единственное общее значение — сама точка $5$.
Ответ: $x = 5$.
Типичные ошибки на экзамене
Деление на отрицательное число без смены знака
Ошибка: $-2x > 6.$
Если разделить обе части на $-2$ и оставить знак прежним, получится неверный ответ: $x > -3.$
Правильно: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.
$-2x > 6 \Rightarrow x < -3.$
Правильный ответ: $x < -3$.
Путаница в скобках
Нельзя ставить круглую скобку возле закрашенной точки или квадратную скобку возле бесконечности.
Запомни:
- выколотая точка — круглая скобка;
- закрашенная точка — квадратная скобка;
- бесконечность — всегда круглая скобка.
Например: $x \le 4 \Rightarrow x \in (-\infty; 4],$ а не $(-\infty; 4)$.
Неверный выбор рисунка в тесте
В задании ОГЭ могут предложить несколько координатных прямых. Не выбирай вариант только по отмеченным точкам: нужно проверить направление штриховки.
Правильный рисунок показывает именно общий участок, где выполняются все неравенства системы.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание для самопроверки
Задание 1. Решите графически систему и укажите ответ: $\begin{cases} x > 4, \\ x \ge 7. \end{cases}$
Задание 2. Решите систему и найдите ответ: $\begin{cases} 4x + 8 \le 0, \\ x-1 > 2. \end{cases}$
Решение к заданию 1. Первое неравенство даёт $x > 4$, второе — $x \ge 7$. Общее пересечение начинается с числа $7$ и уходит вправо.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.
Решение к заданию 2. Решим первое неравенство: $4x + 8 \le 0 \Rightarrow 4x \le -8 \Rightarrow x \le -2.$
Решим второе неравенство: $x-1 > 2 \Rightarrow x > 3.$
Нужно одновременно выполнить условия $x \le -2$ и $x > 3$. Общих значений нет.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: множество решений — $\varnothing$.
Задание со звёздочкой
Решите систему: $\begin{cases} 5-x \le 2, \\ 2x + 4 > 6. \end{cases}$
Решим первое неравенство: $5-x \le 2.$
Переносим $5$ вправо: $-x \le -3.$
Делим на $-1$ и меняем знак неравенства: $x \ge 3.$
Решим второе неравенство: $2x + 4 > 6 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1.$
Общее пересечение условий $x \ge 3$ и $x > 1$ — промежуток от $3$ вправо, включая $3$.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in [3; +\infty)$.
Заключение
Теперь ты умеешь решать системы неравенств с одной переменной и находить пересечение промежутков. Ты знаешь, как правильно определять тип точки и скобки в зависимости от знака неравенства, а также не забудешь поменять знак при делении на отрицательное число. Эти навыки помогут тебе без ошибок справиться с заданием № 13 на ОГЭ. Чтобы закрепить тему, реши ещё несколько заданий № 13 в «100балльном банке».
Автор статьи
