Фигуры на квадратной решётке часто встречаются в задании 18 ОГЭ по математике. В таких задачах нельзя оценивать площадь или длину на глаз: ответ должен получиться точным. Основные инструменты — это формулы площадей, достраивание до прямоугольника и теорема Пифагора. Разберём, как выбирать метод и не терять баллы из-за неполных клеток.
Как устроены задачи на квадратной решётке
В заданиях ОГЭ размер одной клетки обычно равен $1 \times 1$. Значит, сторона клетки равна $1$, а площадь клетки равна $1$ квадратной единице.
Главные точки на рисунке — узлы решётки, то есть точки пересечения линий сетки. Если вершины фигуры лежат в узлах, можно точно считать горизонтальные и вертикальные расстояния по клеткам.
Стандартные формулы площадей
Если основание, высота и диагонали фигуры лежат на линиях сетки, площадь находится по обычным формулам.
Для треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
Для трапеции: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота.
Для ромба: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
В таких случаях достаточно аккуратно посчитать клетки вдоль линий сетки и подставить значения в формулу.
Теорема Пифагора для наклонных отрезков
Наклонный отрезок нельзя измерять прямым подсчётом клеток. Его нужно достроить до прямоугольного треугольника так, чтобы катеты шли по линиям сетки.
Для прямоугольного треугольника работает теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты.
Если наклонный отрезок — гипотенуза, нужно посчитать горизонтальный и вертикальный катеты, затем найти длину через корень.
Метод достраивания до прямоугольника
Метод достраивания помогает находить площади сложных треугольников и четырёхугольников, стороны которых идут под наклоном.
Алгоритм такой:
- Заключи фигуру в прямоугольник, стороны которого идут по линиям решётки.
- Найди площадь большого прямоугольника.
- Найди площади лишних прямоугольных треугольников по краям.
- Вычти лишние площади из площади прямоугольника.
Площадь каждого лишнего прямоугольного треугольника находится по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — катеты.
Формула Пика для многоугольников
Формула Пика позволяет найти площадь многоугольника, если все его вершины лежат в узлах решётки.
$S = B + \frac{\Gamma}{2}-1$, где:
- $B$ — количество узлов решётки внутри фигуры;
- $\Gamma$ — количество узлов решётки на границе фигуры.
Формулу Пика можно применять только к многоугольникам с вершинами в узлах решётки. Если хотя бы одна вершина не попадает точно в узел, этот способ не подходит.
Алгоритм решения задачи
Чтобы не ошибиться в задании на клетчатой бумаге, действуй по шагам:
- Прочитай условие и определи, что нужно найти: длину, площадь, тангенс или другой элемент.
- Отметь вершины фигуры и проверь, лежат ли они в узлах решётки.
- Выбери метод: стандартная формула, теорема Пифагора, достраивание до прямоугольника или формула Пика.
- Посчитай клетки только по линиям сетки.
- Запиши вычисления и проверь, выглядит ли ответ логично.
Примеры решения задач ОГЭ
Примеры ниже составлены в формате заданий на квадратную решётку из ОГЭ по математике.
Нахождение длины наклонного отрезка
Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Концы отрезка лежат в узлах решётки. Найдите длину $BD$.
Шаг 1. Отрезок $BD$ идёт под наклоном, поэтому напрямую считать клетки вдоль него нельзя.
Шаг 2. Достраиваем отрезок до прямоугольного треугольника. Его катеты равны $3$ и $4$.
Шаг 3. Применяем теорему Пифагора: $BD^2 = 3^2 + 4^2$.
Шаг 4. Вычисляем:
$BD^2 = 9 + 16 = 25$,
$BD = \sqrt{25} = 5$.
Рисунок к заданию
Ответ: 5.
Вычисление площади методом достраивания до прямоугольника
Условие
На клетчатой бумаге изображён треугольник $ABC$. Его вершины находятся в точках $A(1; 1)$, $B(5; 4)$, $C(6; 2)$. Найдите площадь треугольника.
Шаг 1. Достроим треугольник до прямоугольника, где:
ширина: $6-1 = 5$;
высота: $4-1 = 3$.
Найдём его площадь: $S_{\text{прямоугольника}} = 5 \cdot 3 = 15$.
Шаг 2. Найдём площади трёх прямоугольных треугольников:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$,
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$,
$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 = 2{,}5$.
Шаг 3. Площадь треугольника $ABC$ тогда: $S_{ABC} = S_{\text{прямоугольника}}–S_1–S_2–S_3 = 15–6–1–2{,}5 = 5{,}5$.
Рисунок к заданию
Ответ: 5,5.
Вычисление тангенса угла
Условие
На клетчатой бумаге изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.
Шаг 1. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tg A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
Шаг 2. Подставляем значения: $\tg A = \frac{4}{2} = 2$.
Рисунок к заданию
Ответ: 2.
Применение формулы Пика
Условие
На клетчатой бумаге изображена фигура. Найдите её площадь.
Используем формулу Пика:
$S = B + \frac{\Gamma}{2}-1$, где:
- $B = 7$ — количество узлов решётки внутри фигуры;
- $\Gamma = 9$ — количество узлов решётки на границе фигуры.
$S = 7 + \frac{9}{2}-1 = 10{,}5$.
Рисунок к заданию
Ответ: 10,5.
Типичные ошибки на экзамене
Ошибка 1. Оценивать неполные клетки на глаз.
Так делать нельзя: площадь получится приблизительной. Надёжнее достроить фигуру до прямоугольника или разбить её на прямоугольные треугольники.
Ошибка 2. Измерять наклонный отрезок по клеткам.
Если отрезок идёт под наклоном, его длину находят через прямоугольный треугольник и теорему Пифагора.
Ошибка 3. Применять формулу Пика к неподходящей фигуре.
Формула Пика работает только для многоугольников, вершины которых лежат в узлах решётки. Для фигур с округлыми краями или вершинами вне узлов она не подходит.
Ошибка 4. Путать синус, косинус и тангенс.
Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если в задаче просят синус, нужно брать отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для косинуса — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Проверка знаний
Реши мини-задачи самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. Чему равна площадь трапеции, изображённой на рисунке?
Задание 2. Чему равна длина наклонного отрезка?
Задание 3. Чему равен тангенс угла, изображённого на рисунке?
Решение к заданию 1. По рисунку определяем высоту трапеции — она равна $4$ клеткам.
Тогда площадь трапеции равна: $\frac{3 + 9}{2} \cdot 4 = 24$.
Рисунок к заданию
Ответ: 24.
Решение к заданию 2. По теореме Пифагора: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Рисунок к заданию
Ответ: 10.
Решение к заданию 3. Тангенс равен: $\frac{7}{2} = 3{,}5$.
Рисунок к заданию
Ответ: 3,5.
Задача повышенного уровня
Условие
Найдите площадь ромба, диагонали которого идут по линиям сетки.
Задачу можно решить через формулу площади ромба по диагоналям:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$,
$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$.
Рисунок к заданию
Ответ: 12.
Заключение
В задачах на квадратной решётке важно опираться на узлы и линии сетки, а не на зрительную оценку. Теперь ты умеешь находить наклонные отрезки через теорему Пифагора, вычислять площади методом достраивания и понимать, когда можно применять формулу Пика. Перед ответом всегда проверяй, какие элементы фигуры лежат на линиях сетки, а какие нужно достроить. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».
Автор статьи
