Системы уравнений встречаются в задании № 20 ОГЭ по математике. В таких задачах нужно найти общие значения переменных, которые подходят сразу ко всем уравнениям системы. Ошибки чаще всего появляются из-за неверного выбора метода, потери одного из корней или неправильной записи ответа. Разберём основные способы решения, типичные примеры и ловушки, из-за которых теряют баллы.
Что нужно знать перед решением
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти общие решения. Решение системы — такой набор чисел, при подстановке которого каждое уравнение превращается в верное равенство.
Фигурная скобка означает слово «и»: оба уравнения должны выполняться одновременно.
На ОГЭ чаще всего помогают два метода.
Метод подстановки удобно использовать, когда из одного уравнения легко выразить одну переменную через другую. Затем это выражение подставляют во второе уравнение и получают уравнение с одной неизвестной.
Метод алгебраического сложения используют, когда можно сложить или вычесть уравнения так, чтобы одна из переменных исчезла. Иногда перед этим одно или оба уравнения умножают на подходящие числа.
Универсальный алгоритм решения системы
Чтобы не запутаться, действуй по шагам:
- Посмотри на систему и найди удобные элементы: переменные без коэффициентов, одинаковые выражения, похожие коэффициенты.
- Выбери метод: подстановку или алгебраическое сложение.
- Преобразуй систему так, чтобы получить одно уравнение с одной переменной.
- Реши получившееся уравнение.
- Для каждого найденного значения найди вторую переменную.
- Запиши ответ в виде пар $(x; y)$.
- Проверь найденные пары подстановкой в исходную систему.
Разбор заданий ОГЭ по математике № 20
Рассмотрим три типовые системы формата ОГЭ и разберём решение пошагово.
Метод алгебраического сложения
Условие
Дана система: $\begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61, \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x. \end{cases}$
Шаг 1. Выражать $x$ или $y$ напрямую неудобно: появятся корни. Зато во втором уравнении коэффициенты перед $x^2$ и $y^2$ в три раза больше, чем в первом.
Шаг 2. Умножим первое уравнение на $3$:
$\begin{cases} 15x^2 + 3y^2 = 183, \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x. \end{cases}$
Левые части стали одинаковыми. Значит, правые части тоже равны:
$183 = 61x.$
Шаг 3. Решим простое уравнение:
$61x = 183,$
$x = 3.$
Шаг 4. Найдём вторую переменную. Подставим $x = 3$ в первое уравнение исходной системы:
$5 \cdot 3^2 + y^2 = 61,$
$5 \cdot 9 + y^2 = 61,$
$45 + y^2 = 61,$
$y^2 = 16.$
Отсюда:
$y = 4$ или $y = -4.$
Ответ: $(3; 4), \, (3; -4)$.
Формулы сокращённого умножения
Условие
Дана система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 37, \\ xy = 6. \end{cases}$
Шаг 1. Из второго уравнения можно выразить $y = \frac{6}{x}$, но тогда получится дробное уравнение. Удобнее использовать формулы:
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2,$
$(x-y)^2 = x^2-2xy + y^2.$
В первом уравнении уже есть $x^2 + y^2$, а из второго можно получить $2xy$.
Шаг 2. Умножим второе уравнение на $2$:
$2xy = 12.$
Теперь сложим выражения:
$x^2 + y^2 + 2xy = 37 + 12,$
$x^2 + 2xy + y^2 = 49.$
Вычтем второе выражение из первого:
$x^2 + y^2-2xy = 37-12,$
$x^2-2xy + y^2 = 25.$
Получаем систему:
$\begin{cases} (x + y)^2 = 49, \\ (x-y)^2 = 25. \end{cases}$
Шаг 3. Если квадрат выражения равен $49$, само выражение равно $7$ или $-7$:
$x + y = 7$ или $x + y = -7.$
Если квадрат выражения равен $25$, само выражение равно $5$ или $-5$:
$x-y = 5$ или $x-y = -5.$
Нужно рассмотреть четыре системы.
Вариант 1
$\begin{cases} x + y = 7, \\ x-y = 5. \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2x = 12,$
$x = 6.$
Тогда:
$6 + y = 7,$
$y = 1.$
Получаем пару $(6; 1)$.
Вариант 2
$\begin{cases} x + y = 7, \\ x-y = -5. \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2x = 2,$
$x = 1.$
Тогда:
$1 + y = 7,$
$y = 6.$
Получаем пару $(1; 6)$.
Вариант 3
$\begin{cases} x + y = -7, \\ x-y = 5. \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2x = -2,$
$x = -1.$
Тогда:
$-1 + y = -7,$
$y = -6.$
Получаем пару $(-1; -6)$.
Вариант 4
$\begin{cases} x + y = -7, \\ x-y = -5. \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2x = -12,$
$x = -6.$
Тогда:
$-6 + y = -7,$
$y = -1.$
Получаем пару $(-6; -1)$.
Ответ: $(6; 1)$, $(1; 6)$, $(-1; -6)$, $(-6; -1)$.
Метод подстановки
Условие
Дана система:
$\begin{cases} x-y = 4, \\ x^2-2y = 11. \end{cases}$
Шаг 1. Это удобный случай для метода подстановки: в первом уравнении переменные стоят без числовых коэффициентов.
Шаг 2. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 4.$
Подставим $y + 4$ вместо $x$ во второе уравнение:
$(y + 4)^2-2y = 11.$
Шаг 3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:
$y^2 + 8y + 16-2y = 11,$
$y^2 + 6y + 16 = 11,$
$y^2 + 6y + 5 = 0.$
По теореме Виета:
$y_1 = -1,$
$y_2 = -5.$
Шаг 4. Вернёмся к формуле:
$x = y + 4.$
- Если $y = -1$, то: $x = -1 + 4 = 3.$ Получаем пару $(3; -1)$.
- Если $y = -5$, то: $x = -5 + 4 = -1.$ Получаем пару $(-1; -5)$.
Ответ: $(3; -1)$, $(-1; -5)$.
Типичные ошибки на экзамене
Потеря отрицательного корня
Ошибка:
$y^2 = 16,$ значит, $y = 4.$
Правильно:
$y^2 = 16,$ значит, $y = 4$ или $y = -4.$
Квадратное уравнение такого вида почти всегда даёт два значения, если правая часть положительна.
Путаница в записи ответа
Ошибка: записать ответ как $(y; x)$, например $(4; 3)$ вместо $(3; 4)$.
Правильно: пару записывают в порядке $(x; y)$. Сначала идёт значение $x$, затем значение $y$.
Неполное решение
Ошибка: найти только значения одной переменной и остановиться.
Правильно: система считается решённой только тогда, когда найдены все пары значений. Если получилось два значения $x$, для каждого из них нужно найти соответствующее значение $y$.
Сокращение без проверки
Иногда при преобразованиях можно потерять решение. Особенно это касается деления на выражение с переменной. Если делишь на $x$, $y$, $x-y$ или другое выражение, сначала нужно отдельно проверить случай, когда оно равно нулю.
Практика для самопроверки
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание на метод алгебраического сложения
Условие
Реши систему:
$\begin{cases} 2x + y = 3, \\ x^2-y = 5. \end{cases}$
Подсказка: можно сложить два уравнения, чтобы избавиться от $y$.
Шаг 1. Сложим уравнения:
$2x + y + x^2-y = 3 + 5,$
$x^2 + 2x = 8,$
$x^2 + 2x-8 = 0.$
Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
$x_1 = 2,$
$x_2 = -4.$
Шаг 3. Найдём $y$ из уравнения $2x + y = 3$.
- Если $x = 2$, то: $4 + y = 3,$ $y = -1.$
- Если $x = -4$, то: $-8 + y = 3,$ $y = 11.$
Ответ: $(2; -1)$, $(-4; 11)$.
Задание на формулы сокращённого умножения
Условие
Реши систему:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases}$
Шаг 1. Действуем так же, как в примере с формулами сокращённого умножения.
Умножим второе уравнение на $2$:
$2xy = 24.$
Шаг 2. Сложим:
$x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24,$
$(x + y)^2 = 49.$
Шаг 3. Вычтем:
$x^2-2xy + y^2 = 25-24,$
$(x-y)^2 = 1.$
Значит:
$x + y = 7$ или $x + y = -7,$
а также:
$x-y = 1$ или $x-y = -1.$
Шаг 4. Получаем четыре пары:
$(4; 3),$ $(3; 4),$ $(-3; -4),$ $(-4; -3).$
Ответ: $(4; 3)$, $(3; 4)$, $(-3; -4)$, $(-4; -3)$.
Заключение
Теперь ты умеешь решать системы уравнений из задания № 20 ОГЭ методами подстановки и алгебраического сложения. Главное — не забывай доводить решение до пар $(x; y)$, проверять отрицательные корни и правильно записывать ответ. Чтобы закрепить навык, рекомендуем решить 5–7 похожих систем в «100балльном банке».
Автор статьи
