Линейные неравенства регулярно встречаются в задании № 13 ОГЭ по математике. В этой теме чаще всего ошибаются из-за знака минус: при делении на отрицательное число знак неравенства нужно переворачивать. Разберём основные правила, научимся записывать ответ промежутком и решим три типовых задания. В конце будут задания для самопроверки с ответами.
Что такое линейное неравенство
Линейные неравенства с одной переменной имеют вид $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$. Буква $x$ обозначает переменную, а $a$ и $b$ — обычные числа. При этом $a$ не должно равняться нулю.
Решить неравенство — значит найти все подходящие значения переменной. В уравнении ответом часто бывает одно число, а в неравенстве ответ обычно записывают как промежуток на числовой прямой.
Например, запись $x > 3$ означает, что подходят все числа больше трёх: $4$, $10$, $100$, $3{,}5$ и так далее.
Строгие и нестрогие знаки
Для правильной записи ответа нужно различать строгие и нестрогие неравенства.
| Знак | Как читается | Точка на числовой прямой | Скобка в ответе |
|---|---|---|---|
| $>$ | больше | выколотая | круглая |
| $<$ | меньше | выколотая | круглая |
| $\ge$ | больше или равно | закрашенная | квадратная |
| $\le$ | меньше или равно | закрашенная | квадратная |
Строгие неравенства используют знаки $<$ и $>$. Если число не входит в ответ, на числовой прямой ставят выколотую точку, а в промежутке используют круглую скобку.
Нестрогие неравенства используют знаки $\le$ и $\ge$. Если число входит в ответ, на числовой прямой ставят закрашенную точку, а в промежутке используют квадратную скобку.
Рядом со знаком бесконечности $\infty$ всегда ставится только круглая скобка: $(-\infty; 5]$, $[2; +\infty)$.
Главное правило смены знака
С линейными неравенствами работают почти так же, как с уравнениями. Слагаемые можно переносить из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.
Например: $4x-7 > 9$.
Переносим $-7$ вправо и меняем знак:
$4x > 9 + 7$,
$4x > 16$,
$x > 4$.
Есть правило, из-за которого чаще всего теряют баллы.
Если умножить или разделить обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства нужно перевернуть.
Знак $<$ превращается в $>$, знак $>$ — в $<$, знак $\le$ — в $\ge$, знак $\ge$ — в $\le$.
Проверим на простом примере. Верно, что $5 > 3$. Умножим обе части на $-1$. Получится $-5$ и $-3$. Чтобы утверждение осталось верным, знак нужно перевернуть: $-5 < -3$.
Алгоритм решения линейного неравенства
Чтобы не запутаться на экзамене, действуй по шагам.
- Раскрой скобки, если они есть.
- Перенеси слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую.
- Приведи подобные слагаемые.
- Раздели обе части на коэффициент при $x$.
- Если делишь на отрицательное число, переверни знак неравенства.
- Отметь ответ на числовой прямой: выколотая точка для строгого знака, закрашенная — для нестрогого.
- Запиши ответ промежутком.
Разбор типовых заданий ОГЭ
Примеры ниже адаптированы под формат задания № 13 ОГЭ по математике.
Пример с переносом слагаемых
Условие
Укажите решение неравенства: $4x-4 \ge 9x + 6$.
Шаг 1. Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо. При переносе меняем знаки: $4x-9x \ge 6 + 4$.
Приведём подобные слагаемые: $-5x \ge 10$.
Шаг 2. Теперь нужно найти $x$. Делим обе части на $-5$. Так как делим на отрицательное число, знак неравенства переворачивается: $x \le -2$.
Шаг 3. Знак нестрогий, поэтому точка $-2$ входит в ответ. На числовой прямой она будет закрашенной, а штриховка пойдёт влево.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.
Пример с раскрытием скобок
Условие
Укажите решение неравенства: $2x-3(x-7) \le 3$.
Шаг 1. Сначала раскроем скобки. Коэффициент $-3$ умножаем на каждое слагаемое внутри скобок: $2x-3x + 21 \le 3$.
Приведём подобные слагаемые и перенесём число $21$ вправо: $-x \le 3-21$.
Шаг 2. Вычислим правую часть: $-x \le -18$.
Умножим обе части на $-1$. Знак неравенства нужно перевернуть: $x \ge 18$.
Шаг 3. Знак нестрогий, поэтому число $18$ входит в ответ. На числовой прямой точка будет закрашенной, а штриховка пойдёт вправо.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in [18; +\infty)$.
Пример со строгим знаком
Условие
Найдите решение неравенства: $5x-2(2x-8) < -5$.
Шаг 1. Раскроем скобки: $5x-4x + 16 < -5$.
Приведём подобные слагаемые и перенесём число $16$ вправо: $x < -5-16$.
Вычислим: $x < -21$.
Шаг 2. Коэффициент перед $x$ положительный, поэтому знак неравенства не меняется.
Шаг 3. Знак строгий, значит, число $-21$ не входит в ответ. На числовой прямой точка будет выколотой, а в промежутке около числа ставится круглая скобка.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in (-\infty; -21)$.
Типичные ошибки
Не перевернули знак при делении на отрицательное число
Неправильно:
$-2x > 4$,
$x > -2$.
Ошибка в том, что обе части разделили на $-2$, но знак оставили прежним.
Правильно:
$-2x > 4$,
$x < -2$.
При делении на отрицательное число знак $>$ меняется на $<$.
Перепутали круглую и квадратную скобку
Если получилось $x \ge 3$, число $3$ входит в ответ. Значит, нужна квадратная скобка: $x \in [3; +\infty)$.
Запись $(3; +\infty)$ была бы неверной, потому что круглая скобка исключает число $3$ из ответа.
Потеряли минус при раскрытии скобок
Неправильно:
$-5(x-2) = -5x-10$.
Правильно:
$-5(x-2) = -5x + 10$.
Коэффициент перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри. Минус на минус даёт плюс.
Самопроверка
Реши три неравенства самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. $6x + 2 > x-8$.
Задание 2. $4(x-1) \le 7x + 5$.
Задание 3. $10-2(x + 3) \ge -4x-6$.
Задание 1. $6x + 2 > x-8$.
Переносим слагаемые: $6x-x > -8-2$.
Приводим подобные: $5x > -10$.
Делим на $5$. Знак сохраняется: $x > -2$.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.
Задание 2. $4(x-1) \le 7x + 5$.
Раскрываем скобки: $4x-4 \le 7x + 5$.
Переносим слагаемые: $4x-7x \le 5 + 4$.
Приводим подобные: $-3x \le 9$.
Делим на $-3$ и меняем знак: $x \ge -3$.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.
Задание 3. $10-2(x + 3) \ge -4x-6$.
Раскрываем скобки: $10-2x-6 \ge -4x-6$.
Переносим слагаемые: $-2x + 4x \ge -6-10 + 6$.
Приводим подобные: $2x \ge -10$.
Делим на $2$. Знак сохраняется: $x \ge -5$.
Отбор корней на координатной прямой
Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.
Заключение
Линейное неравенство решается почти как линейное уравнение: нужно собрать переменные в одной части, числа — в другой и найти $x$. Главное отличие — при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Строгие знаки $<$ и $>$ дают выколотую точку и круглую скобку, а нестрогие $\le$ и $\ge$ — закрашенную точку и квадратную скобку. Если уверенно применять эти правила, задания № 13 ОГЭ по математике становятся стандартными и предсказуемыми.
Автор статьи
