Линейные неравенства: теория и разбор заданий ОГЭ

Решить неравенство — значит найти все подходящие значения переменной. В уравнении ответом часто бывает одно число, а в неравенстве ответ обычно записывают как промежуток на числовой прямой.

Например, запись $x>3$ означает, что подходят все числа больше трёх: $4$, $10$, $100$, $3,5$ и так далее.

Для правильной записи ответа нужно различать строгие и нестрогие неравенства.

Рядом со знаком бесконечности $\infty$ всегда ставится только круглая скобка: $(-\infty ;5]$, $[2;+\infty )$.

С линейными неравенствами работают почти так же, как с уравнениями. Слагаемые можно переносить из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.

Например: $4x-7>9$.
Переносим $-7$ вправо и меняем знак:
$4x>9+7$,
$4x>16$,
$x>4$.

Есть правило, из-за которого чаще всего теряют баллы.

Знак $<$ превращается в $>$, знак $>$ — в $<$, знак $\le$ — в $\ge$, знак $\ge$ — в $\le$.
Проверим на простом примере. Верно, что $5>3$. Умножим обе части на $-1$. Получится $-5$ и $-3$. Чтобы утверждение осталось верным, знак нужно перевернуть: $-5<-3$.

Чтобы не запутаться на экзамене, действуй по шагам.

1. Раскрой скобки, если они есть.
2. Перенеси слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую.
3. Приведи подобные слагаемые.
4. Раздели обе части на коэффициент при $x$.
5. Если делишь на отрицательное число, переверни знак неравенства.
6. Отметь ответ на числовой прямой: выколотая точка для строгого знака, закрашенная — для нестрогого.
7. Запиши ответ промежутком.

Примеры ниже адаптированы под формат задания № 13 ОГЭ по математике.

Пример с переносом слагаемых

Условие
Укажите решение неравенства: $4x-4\ge 9x+6$.

Пример с раскрытием скобок

Условие
Укажите решение неравенства: $2x-3(x-7)\le 3$.

Пример со строгим знаком

Условие
Найдите решение неравенства: $5x-2(2x-8)<-5$.

Не перевернули знак при делении на отрицательное число

Неправильно:
$-2x>4$,
$x>-2$.
Ошибка в том, что обе части разделили на $-2$, но знак оставили прежним.
Правильно:
$-2x>4$,
$x<-2$.
При делении на отрицательное число знак $>$ меняется на $<$.

Перепутали круглую и квадратную скобку

Если получилось $x\ge 3$, число $3$ входит в ответ. Значит, нужна квадратная скобка: $x\in [3;+\infty )$.
Запись $(3;+\infty )$ была бы неверной, потому что круглая скобка исключает число $3$ из ответа.

Потеряли минус при раскрытии скобок

Неправильно:
$-5(x-2)=-5x-10$.
Правильно:
$-5(x-2)=-5x+10$.
Коэффициент перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри. Минус на минус даёт плюс.

Реши три неравенства самостоятельно, а затем проверь ответы.
Задание 1. $6x+2>x-8$.
Задание 2. $4(x-1)\le 7x+5$.
Задание 3. $10-2(x+3)\ge -4x-6$.

Линейное неравенство решается почти как линейное уравнение: нужно собрать переменные в одной части, числа — в другой и найти $x$. Главное отличие — при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Строгие знаки $<$ и $>$ дают выколотую точку и круглую скобку, а нестрогие $\le$ и $\ge$ — закрашенную точку и квадратную скобку. Если уверенно применять эти правила, задания № 13 ОГЭ по математике становятся стандартными и предсказуемыми.