Графический метод в задачах с параметром и модулем (ЕГЭ № 18)

Общая схема:

1. Перенести все слагаемые с параметром в одну сторону так, чтобы параметр оказался снаружи, например: $F(x) = a$ или $F(x) = k(a) \cdot x + b(a)$.
2. Построить график функции $y = F(x)$ без параметра (с модулями, раскрытыми по определению).
3. Понять, как меняется правая часть при изменении $a$. Чаще всего это:
   • горизонтальная прямая $y = a$;
   • семейство параллельных прямых $y = ax + b$;
   • семейство прямых, проходящих через фиксированную точку.
4. Перемещать эту прямую и считать количество точек пересечения с графиком $y = F(x)$.
5. Выписать $a$, при которых количество пересечений соответствует условию.

Важные закономерности для модулей:

• Точки излома графика $y = F(x)$ находятся там, где подмодульное выражение равно нулю.
• На каждом промежутке между точками излома функция $F(x)$ — элементарная (линейная, квадратичная и так далее), её график строится как часть параболы или прямой.
• Если модуль стоит от квадратного трёхчлена, график — «галочка» из двух кусков параболы.

Полезные приёмы:

• Модуль в числителе дроби, равной нулю: сначала ищи нули числителя (графически — пересечение с осью $x$), затем выкалывай точки, где знаменатель обращается в ноль.
• Модуль и линейная функция с параметром: часто выгодно выразить $a = \frac{|\ldots| + \ldots}{\ldots}$ и строить график правой части.
• «Наименьшее значение функции меньше $−2$» — это то же самое, что «существует $x$, при котором $f(x) < −2$», и удобно решать графически: строить $f(x)$ и смотреть, при каких $a$ её минимум опускается ниже $−2$.

Условие

При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно два различных решения?

Решение

Шаг 1. Переход к системе (условие дроби)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Шаг 2. Раскрытие модуля и выражение $a$

При $x \geq 0$: $|4x| = 4x$, уравнение числителя даёт $4x − x − 3 − a = 0 \Rightarrow a = 3x − 3$.

При $x < 0$: $|4x| = −4x$, уравнение числителя даёт $−4x − x − 3 − a = 0 \Rightarrow a = −5x − 3$.

Условие неравенства знаменателя: $x^2 − x − a \neq 0 \Rightarrow a \neq x^2 − x$.

Таким образом, мы работаем на плоскости $(x;\, a)$ со следующими линиями:

Шаг 3. Построение на параметрической плоскости

• Первая прямая ($a = 3x − 3$): при $x = 0$ даёт $a = −3$, при $x = 1$ даёт $a = 0$, возрастает.
• Вторая прямая ($a = −5x − 3$): при $x = 0$ даёт $a = −3$, при $x = −1$ даёт $a = 2$, убывает.
• Парабола $a = x^2 − x$: вершина в $x = 0{,}5$, $a = −0{,}25$; нули: $x = 0$ и $x = 1$ ($a = 0$).

Шаг 4. Определение количества решений без ОДЗ

При фиксированном $a$ горизонтальная прямая $y = a$ пересекает две полупрямые:

• При $a < −3$: пересечений нет.
• При $a = −3$: одна точка $x = 0$.
• При $a > −3$: два пересечения (одно с левой ветвью, одно с правой).

Значит, без учёта ОДЗ ровно два решения при всех $a > −3$.

Шаг 5. Учёт ОДЗ (выкалывание точек на параболе)

Нужно исключить те $a$, при которых хотя бы одно из пересечений попадает на параболу $a = x^2 − x$ (там знаменатель обращается в ноль).

Находим точки пересечения параболы с каждой из прямых.

С левой прямой $a = −5x − 3$:

Корни: $x = −1$ и $x = −3$.

Подставляем в $a = −5x − 3$: при $x = −1$: $a = 5 − 3 = 2$; при $x = −3$: $a = 15 − 3 = 12$.

С правой прямой $a = 3x − 3$:

Корни: $x = 1$ и $x = 3$.

Подставляем в $a = 3x − 3$: при $x = 1$: $a = 3 − 3 = 0$; при $x = 3$: $a = 9 − 3 = 6$.

Таким образом, при $a = 2,\ 12,\ 0,\ 6$ один из корней обнуляет знаменатель и должен быть отброшен. При этих $a$ решений становится не два, а одно. Нам же нужно ровно два.

Шаг 6. Запись ответа

Исходно два решения есть при $a > −3$. Исключаем «плохие» значения $a$: $0,\ 2,\ 6,\ 12$. Также при $a = −3$ изначально было одно решение — оно тоже не подходит.

Ответ: $a \in (−3;\, 0) \cup (0;\, 2) \cup (2;\, 6) \cup (6;\, 12) \cup (12;\, +\infty)$.

Условие

Найди все значения $a$, при каждом из которых уравнение

либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Решение

Шаг 1. Вводим две функции

Уравнение $f(x) = g(x)$ — задача о пересечении двух графиков.

Шаг 2. Раскрываем модуль в $f(x)$

Корни подмодульного выражения: $2x^2 − 3x − 2 = 0 \;\to\; x = −\tfrac{1}{2}$ и $x = 2$.

• На $(−\infty;\,−\tfrac{1}{2}] \cup [2;\,+\infty)$ — парабола ветвями вверх.
• На $(−\tfrac{1}{2};\,2)$ — парабола ветвями вниз.

Вершина нижней параболы: $x_B = \tfrac{3}{4}$, $f\!\left(\tfrac{3}{4}\right) = \tfrac{25}{8} = 3{,}125$.

Шаг 3. Исследуем правую часть $g(x)$

Это парабола ветвями вниз. Вершина: $x_B = −2$, $g(−2) = a + 8$. При увеличении $a$ парабола смещается вверх вдоль прямой $x = −2$.

Шаг 4. Условие задачи

Нужно, чтобы графики $y = f(x)$ и $y = g(x)$ либо не пересекались (0 решений), либо пересекались ровно в одной точке (единственное решение).

Шаг 5. Находим критическое значение $a$ (касание)

При уменьшении $a$ парабола $g(x)$ опускается. Критический момент — касание с левой ветвью $f(x)$ (где $x \leq −0{,}5$), потому что там обе параболы ветвями вверх и возможно единственное касание.

На $x \leq −0{,}5$: $f(x) = 2x^2 − 3x − 2$.

Уравнение $2x^2 − 3x − 2 = −2x^2 − 8x + a$ преобразуется:

Касание: дискриминант равен нулю.

Находим точку касания:

Умножаем на 16: $64x^2 + 80x + 25 = 0$.

Дискриминант $6400 − 6400 = 0$, корень $x = −\dfrac{80}{128} = −\dfrac{5}{8} = −0{,}625$.

$−0{,}625 < −0{,}5$ — точка принадлежит левой ветви.

Шаг 6. Анализ количества решений

• При $a < −\dfrac{57}{16}$: парабола $g(x)$ ниже, пересечений нет → 0 решений.
• При $a = −\dfrac{57}{16}$: касание → 1 решение.
• При $a > −\dfrac{57}{16}$: появляются два или более пересечений → условие не выполняется.

Ответ: $a \in \left(−\infty;\; −\dfrac{57}{16}\right]$.

Условие

Найди все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше $−2$.

Решение

Шаг 1. Переформулировка

Функция $f(x)$ непрерывна и при $x \to \pm\infty$ стремится к $+\infty$. Значит, она достигает своего наименьшего значения.

Условие $\min f(x) < −2$ равносильно существованию хотя бы одного $x$, для которого

Переносим:

Шаг 2. Вводим две функции

Заметим: $g(x) = a(2 − x) − 1$. Все прямые $g(x)$ проходят через фиксированную точку $(2;\,−1)$.

Шаг 3. Строим график $f(x)$

$x^2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)$. Нули: $x = 2$ и $x = −1$.

Это «галочка»:

• на $(−\infty;\,−1] \cup [2;\,+\infty)$ — парабола ветвями вверх;
• на $(−1;\,2)$ — парабола ветвями вниз (вершина в $x = 0{,}5$, $y = 2{,}25$).

В точке $(2;\,−1)$ график $f(x)$ не лежит (там $f(2) = 0$).

Шаг 4. Анализ семейства прямых

Прямые вращаются вокруг точки $(2;\,−1)$. Нам нужно, чтобы хотя бы в одной точке $f(x) < g(x)$.

Шаг 5. Находим граничные $a$

Первая граница: прямая проходит через точку излома $x = −1$.

$f(−1) = 0$.

$g(−1) = a(2 − (−1)) − 1 = 3a − 1$.

Условие $f(−1) < g(−1)$: $0 \lt 3a − 1 \Rightarrow a \gt \frac{1}{3}$.

При $a > \tfrac{1}{3}$ в точке $x = −1$ уже выполнено неравенство.

При $a = \tfrac{1}{3}$: $f(−1) = g(−1) = 0$ (равенство, не подходит, так как нужно строгое $f(x) < −2$).

Вторая граница: касание с правой ветвью ($x \geq 2$).

На $x \geq 2$: $f(x) = x^2 − x − 2$.

Уравнение $x^2 − x − 2 = −ax + 2a − 1$:

Дискриминант:

$D = 0$ при $a = −1$ и $a = −5$.

• При $a = −1$: корень $x = 1$ (не подходит, $x \geq 2$ не выполняется).
• При $a = −5$: корень $x = 3$ (подходит, $x = 3 \geq 2$).

При $a = −5$ касание в $x = 3$. При $a < −5$ прямая становится круче (положительный наклон) и пересекает правую ветвь, оказываясь выше $f(x)$ в некоторой области → условие выполняется.

При $−5 < a \leq \tfrac{1}{3}$ прямая везде не выше $f(x)$ → $\min f(x) \geq −2$.

Шаг 6. Записываем ответ

Теперь ты умеешь:

• превращать уравнение с параметром и модулем в $F(x) = a$ или в сравнение двух графиков;
• строить графики кусочно-заданных функций после раскрытия модуля;
• анализировать количество корней, перемещая горизонтальную прямую $y = a$ (или семейство прямых);
• учитывать ОДЗ как выколотые точки на графике;
• решать задачи на «наименьшее значение меньше числа» через анализ характерных точек и касания.

С этими приёмами ты сможешь уверенно решать задание № 18 ЕГЭ — даже с самыми хитрыми модулями.