Графический метод в задачах с параметром и модулем (ЕГЭ № 18)

Общая схема:

1. Перенести все слагаемые с параметром в одну сторону так, чтобы параметр оказался снаружи, например: $F(x)=a$ или $F(x)=k(a)·x+b(a)$.
2. Построить график функции $y=F(x)$ без параметра (с модулями, раскрытыми по определению).
3. Понять, как меняется правая часть при изменении $a$. Чаще всего это:
   • горизонтальная прямая $y=a$;
   • семейство параллельных прямых $y=ax+b$;
   • семейство прямых, проходящих через фиксированную точку.
4. Перемещать эту прямую и считать количество точек пересечения с графиком $y=F(x)$.
5. Выписать $a$, при которых количество пересечений соответствует условию.

Важные закономерности для модулей:

• Точки излома графика $y=F(x)$ находятся там, где подмодульное выражение равно нулю.
• На каждом промежутке между точками излома функция $F(x)$ — элементарная (линейная, квадратичная и так далее), её график строится как часть параболы или прямой.
• Если модуль стоит от квадратного трёхчлена, график — «галочка» из двух кусков параболы.

Полезные приёмы:

• Модуль в числителе дроби, равной нулю: сначала ищи нули числителя (графически — пересечение с осью $x$), затем выкалывай точки, где знаменатель обращается в ноль.
• Модуль и линейная функция с параметром: часто выгодно выразить $a=\frac{|\dots |+\dots }{\dots }$ и строить график правой части.
• «Наименьшее значение функции меньше $-2$» — это то же самое, что «существует $x$, при котором $f(x)<-2$», и удобно решать графически: строить $f(x)$ и смотреть, при каких $a$ её минимум опускается ниже $-2$.

Условие

При каких значениях параметра $a$ уравнение

имеет ровно два различных решения?

Решение

Шаг 1. Переход к системе (условие дроби)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Шаг 2. Раскрытие модуля и выражение $a$

При $x\ge 0$: $|4x|=4x$, уравнение числителя даёт $4x-x-3-a=0\Rightarrow a=3x-3$.

При $x<0$: $|4x|=-4x$, уравнение числителя даёт $-4x-x-3-a=0\Rightarrow a=-5x-3$.

Условие неравенства знаменателя: $x^2-x-a\ne 0\Rightarrow a\ne x^2-x$.

Таким образом, мы работаем на плоскости $(x;a)$ со следующими линиями:

Шаг 3. Построение на параметрической плоскости

• Первая прямая ($a=3x-3$): при $x=0$ даёт $a=-3$, при $x=1$ даёт $a=0$, возрастает.
• Вторая прямая ($a=-5x-3$): при $x=0$ даёт $a=-3$, при $x=-1$ даёт $a=2$, убывает.
• Парабола $a=x^2-x$: вершина в $x=0,5$, $a=-0,25$; нули: $x=0$ и $x=1$ ($a=0$).

Шаг 4. Определение количества решений без ОДЗ

При фиксированном $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает две полупрямые:

• При $a<-3$: пересечений нет.
• При $a=-3$: одна точка $x=0$.
• При $a>-3$: два пересечения (одно с левой ветвью, одно с правой).

Значит, без учёта ОДЗ ровно два решения при всех $a>-3$.

Шаг 5. Учёт ОДЗ (выкалывание точек на параболе)

Нужно исключить те $a$, при которых хотя бы одно из пересечений попадает на параболу $a=x^2-x$ (там знаменатель обращается в ноль).

Находим точки пересечения параболы с каждой из прямых.

С левой прямой $a=-5x-3$:

Корни: $x=-1$ и $x=-3$.

Подставляем в $a=-5x-3$: при $x=-1$: $a=5-3=2$; при $x=-3$: $a=15-3=12$.

С правой прямой $a=3x-3$:

Корни: $x=1$ и $x=3$.

Подставляем в $a=3x-3$: при $x=1$: $a=3-3=0$; при $x=3$: $a=9-3=6$.

Таким образом, при $a=2,12,0,6$ один из корней обнуляет знаменатель и должен быть отброшен. При этих $a$ решений становится не два, а одно. Нам же нужно ровно два.

Шаг 6. Запись ответа

Исходно два решения есть при $a>-3$. Исключаем «плохие» значения $a$: $0,2,6,12$. Также при $a=-3$ изначально было одно решение — оно тоже не подходит.

Ответ: $a\in (-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty )$.

Условие

Найди все значения $a$, при каждом из которых уравнение

либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Решение

Шаг 1. Вводим две функции

Уравнение $f(x)=g(x)$ — задача о пересечении двух графиков.

Шаг 2. Раскрываем модуль в $f(x)$

Корни подмодульного выражения: $2x^2-3x-2=0\to x=-\frac{1}{2}$ и $x=2$.

• На $(-\infty ;-\frac{1}{2}]\cup [2;+\infty )$ — парабола ветвями вверх.
• На $(-\frac{1}{2};2)$ — парабола ветвями вниз.

Вершина нижней параболы: $x_B=\frac{3}{4}$, $f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{25}{8}=3,125$.

Шаг 3. Исследуем правую часть $g(x)$

Это парабола ветвями вниз. Вершина: $x_B=-2$, $g(-2)=a+8$. При увеличении $a$ парабола смещается вверх вдоль прямой $x=-2$.

Шаг 4. Условие задачи

Нужно, чтобы графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ либо не пересекались (0 решений), либо пересекались ровно в одной точке (единственное решение).

Шаг 5. Находим критическое значение $a$ (касание)

При уменьшении $a$ парабола $g(x)$ опускается. Критический момент — касание с левой ветвью $f(x)$ (где $x\le -0,5$), потому что там обе параболы ветвями вверх и возможно единственное касание.

На $x\le -0,5$: $f(x)=2x^2-3x-2$.

Уравнение $2x^2-3x-2=-2x^2-8x+a$ преобразуется:

Касание: дискриминант равен нулю.

Находим точку касания:

Умножаем на 16: $64x^2+80x+25=0$.

Дискриминант $6400-6400=0$, корень $x=-{\displaystyle \frac{80}{128}}=-{\displaystyle \frac{5}{8}}=-0,625$.

$-0,625<-0,5$ — точка принадлежит левой ветви.

Шаг 6. Анализ количества решений

• При $a<-{\displaystyle \frac{57}{16}}$: парабола $g(x)$ ниже, пересечений нет → 0 решений.
• При $a=-{\displaystyle \frac{57}{16}}$: касание → 1 решение.
• При $a>-{\displaystyle \frac{57}{16}}$: появляются два или более пересечений → условие не выполняется.

Ответ: $a\in (-\infty ;-{\displaystyle \frac{57}{16}}]$.

Условие

Найди все значения параметра $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше $-2$.

Решение

Шаг 1. Переформулировка

Функция $f(x)$ непрерывна и при $x\to \pm \infty$ стремится к $+\infty$. Значит, она достигает своего наименьшего значения.

Условие $minf(x)<-2$ равносильно существованию хотя бы одного $x$, для которого

Переносим:

Шаг 2. Вводим две функции

Заметим: $g(x)=a(2-x)-1$. Все прямые $g(x)$ проходят через фиксированную точку $(2;-1)$.

Шаг 3. Строим график $f(x)$

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Нули: $x=2$ и $x=-1$.

Это «галочка»:

• на $(-\infty ;-1]\cup [2;+\infty )$ — парабола ветвями вверх;
• на $(-1;2)$ — парабола ветвями вниз (вершина в $x=0,5$, $y=2,25$).

В точке $(2;-1)$ график $f(x)$ не лежит (там $f(2)=0$).

Шаг 4. Анализ семейства прямых

Прямые вращаются вокруг точки $(2;-1)$. Нам нужно, чтобы хотя бы в одной точке $f(x)<g(x)$.

Шаг 5. Находим граничные $a$

Первая граница: прямая проходит через точку излома $x=-1$.

$f(-1)=0$.

$g(-1)=a(2-(-1))-1=3a-1$.

Условие $f(-1)<g(-1)$: $0<3a-1\Rightarrow a>\frac{1}{3}$.

При $a>\frac{1}{3}$ в точке $x=-1$ уже выполнено неравенство.

При $a=\frac{1}{3}$: $f(-1)=g(-1)=0$ (равенство, не подходит, так как нужно строгое $f(x)<-2$).

Вторая граница: касание с правой ветвью ($x\ge 2$).

На $x\ge 2$: $f(x)=x^2-x-2$.

Уравнение $x^2-x-2=-ax+2a-1$:

Дискриминант:

$D=0$ при $a=-1$ и $a=-5$.

• При $a=-1$: корень $x=1$ (не подходит, $x\ge 2$ не выполняется).
• При $a=-5$: корень $x=3$ (подходит, $x=3\ge 2$).

При $a=-5$ касание в $x=3$. При $a<-5$ прямая становится круче (положительный наклон) и пересекает правую ветвь, оказываясь выше $f(x)$ в некоторой области → условие выполняется.

При $-5<a\le \frac{1}{3}$ прямая везде не выше $f(x)$ → $minf(x)\ge -2$.

Шаг 6. Записываем ответ

Теперь ты умеешь:

• превращать уравнение с параметром и модулем в $F(x)=a$ или в сравнение двух графиков;
• строить графики кусочно-заданных функций после раскрытия модуля;
• анализировать количество корней, перемещая горизонтальную прямую $y=a$ (или семейство прямых);
• учитывать ОДЗ как выколотые точки на графике;
• решать задачи на «наименьшее значение меньше числа» через анализ характерных точек и касания.

С этими приёмами ты сможешь уверенно решать задание № 18 ЕГЭ — даже с самыми хитрыми модулями.