Текстовые задачи на составление уравнений встречаются в курсе алгебры и помогают готовиться к экзаменам по математике. В таких задачах нужно перевести условие с русского языка на язык переменных, выражений и равенств. Разберём, как выбрать неизвестную, составить уравнение и проверить ответ. На примерах покажем задачи на количество, числа и движение.

Как перевести текст в математическую модель

Любая текстовая задача решается через построение математической модели. На практике это перевод жизненной ситуации в математическую формулу. При составлении уравнения нужно найти две величины, которые описывают одно и то же, и приравнять их друг к другу.

Словесные подсказки указывают на математическое действие. Фраза «на пять яблок больше» означает сложение: $x + 5$ . Оборот «в три раза меньше» требует деления: $x : 3$. Нужно внимательно читать каждое слово, потому что из этих деталей складывается уравнение.

Универсальный алгоритм решения

Чтобы не теряться в условии, действуй по плану.

Выбери переменную. Определи, какую величину удобнее обозначить за $x$ . Чаще всего это то, что нужно найти, или наименьшая из неизвестных величин.
Вырази остальные данные. Запиши все неизвестные величины через выбранную переменную $x$ .
Найди связь для уравнения. В условии может быть указано общее количество, одинаковый остаток, равенство величин или разница между ними.
Реши уравнение. Раскрой скобки, перенеси слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую, затем найди $x$ .
Сформулируй ответ. Перечитай вопрос задачи. Проверь, является ли найденный $x$ окончательным ответом или нужно выполнить ещё одно действие.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач

Ниже — три задачи, которые похожи на типичные задания школьного курса алгебры.

Задача про фрукты в корзинах

Условие

В первой корзине было в 3 раза больше яблок, чем во второй. Когда из первой корзины взяли 8 яблок, а во вторую добавили 14 яблок, то в обеих корзинах плодов стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

Шаг 1. Выбираем переменную

Во второй корзине яблок меньше. Пусть первоначальное количество яблок во второй корзине равно $x$ .

Шаг 2. Выражаем остальные данные

В первой корзине было в 3 раза больше яблок, значит, там было $3 x$ яблок.

После изменений:

в первой корзине стало $3 x - 8$ яблок;
во второй корзине стало $x + 14$ яблок.

Шаг 3. Составляем уравнение

По условию после изменений яблок стало поровну. Приравниваем выражения: $3 x - 8 = x + 14$ .

Шаг 4. Решаем уравнение

Переносим слагаемые с переменной влево, а числа вправо. При переносе через знак равенства меняем знак на противоположный:

$3 x - x = 14 + 8$ ,

$2 x = 22$ ,

$x = 11$ .

Шаг 5. Записываем ответ

Мы нашли $x$ — первоначальное количество яблок во второй корзине. Значит, во второй корзине было 11 яблок.

В первой корзине было: $3 \cdot 11 = 33$ .

Шаг 6. Проверка. Подставим найденные числа в условие: $33 - 8 = 25$ и $11 + 14 = 25$ . Количество совпало, значит, задача решена верно.

Ответ: 33 яблока в первой корзине и 11 яблок во второй.

Задача про последовательные нечётные числа

Условие

Сумма двух последовательных нечётных чисел равна 152. Найди эти числа.

Шаг 1. Выбираем переменную

Пусть $x$ — меньшее нечётное число.

Шаг 2. Выражаем остальные данные

Последовательные нечётные числа отличаются на 2. Например, после числа 5 идёт число 7. Значит, второе число можно записать как $x + 2$ .

Шаг 3. Составляем уравнение

По условию сумма чисел равна 152: $x + (x + 2) = 152$ .

Шаг 4. Решаем уравнение

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2 x + 2 = 152$ ,

$2 x = 152 - 2$ ,

$2 x = 150$ ,

$x = 75$ .

Шаг 5. Записываем ответ

Меньшее нечётное число равно 75. Второе число: $75 + 2 = 77$ .

Проверим, что числа нечётные и идут подряд: $75$ и $77$ — оба не делятся на 2, между ними нет других нечётных чисел.

Ответ: 75 и 77.

Задача про движение по аллее

Условие

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении по аллее парка. Скорость первого на 1,5 километра в час больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Шаг 1. Выбираем переменную

Здесь удобно обозначить за переменную время, потому что оба пешехода идут одно и то же время. Пусть $t$ — время движения в часах, переменную можно обозначить любой буквой; для времени привычнее $t$ .

Шаг 2. Выражаем остальные данные

Первый пешеход идёт быстрее. За время $t$ он отдалится от второго на расстояние, которое даёт разница скоростей.

Разница скоростей равна 1,5 километра в час, поэтому расстояние между пешеходами через $t$ часов равно $1, 5 t$ километра.

Итоговое расстояние дано в метрах: 300 метров. Переведём его в километры: $300 м = 0, 3 км$ .

Шаг 3. Составляем уравнение

Разница пройденных путей должна быть равна 0,3 километра: $1, 5 t = 0, 3$ .

Шаг 4. Решаем уравнение

Делим обе части уравнения на 1,5:

$t = 0, 3 : 1, 5$ ,

$t = 0, 2$ .

Мы получили время в часах.

Шаг 5. Записываем ответ

Вопрос задачи требует указать время в минутах. Переведём часы в минуты: $0, 2 \cdot 60 = 12$ .

Ответ: через 12 минут.

Типичные ошибки

При решении текстовых задач чаще всего ошибаются не в вычислениях, а в переводе условия на язык математики.

Ответ не на тот вопрос

Как нельзя: найти переменную $x$ и сразу записать её в ответ.
Как нужно: перечитай вопрос. Часто за $x$ берут скорость одного объекта, а найти нужно скорость другого. Перед ответом может понадобиться дополнительное действие.

Разные единицы измерения

Как нельзя: складывать километры с метрами или минуты с часами.
Как нужно: приводи все данные к одной системе измерений до составления уравнения. Если скорость дана в километрах в час, расстояние лучше перевести в километры.

Путаница предлогов «на» и «в»

Как нельзя: путать предлоги «на» и «в».
Как нужно: фраза «на 3 больше» означает $x + 3$ , а выражение «в 3 раза больше» — $3 \cdot x$ . Ошибка в предлоге меняет смысл задачи.

Проверка знаний

Попробуй применить алгоритм самостоятельно.

Задание 1. В двух ящиках лежат 40 деталей. В первом ящике лежит на 6 деталей больше, чем во втором. Сколько деталей находится во втором ящике?

Шаг 1. Если деталей во втором ящике $x$ , то в первом будет $x + 6$ .

Составим уравнение: $x + (x + 6) = 40$ .

Шаг 2. Решим его:

$2 x + 6 = 40$ ,

$2 x = 34$ ,

$x = 17$ .

Ответ: 17 деталей.

Задание 2. Сумма трёх последовательных целых чисел равна 30. Найди наименьшее число.

Шаг 1. Числа можно обозначить как $x$ , $x + 1$ и $x + 2$ .

Составим уравнение: $x + x + 1 + x + 2 = 30$ .

Шаг 2. Упростим:

$3 x + 3 = 30$ ,

$3 x = 27$ ,

$x = 9$ .

Ответ: 9.

Задание для общей проверки. Мастер изготавливает за один час на 4 детали больше, чем ученик. Работая вместе, за 3 часа они изготовили 60 деталей. Сколько деталей в час делает ученик?

Шаг 1. Пусть производительность ученика равна $x$ деталей в час. Тогда производительность мастера равна $x + 4$ деталей в час.

Вместе за один час они делают: $x + (x + 4)$ .

Шаг 2. За 3 часа их общая выработка равна 60 деталям: $3 \cdot (x + x + 4) = 60$ .

Разделим обе части на 3: $2 x + 4 = 20$ .

Перенесём 4 вправо: $2 x = 16$ .

Найдём неизвестное: $x = 8$ .

Ответ: ученик делает 8 деталей в час.

Заключение

Составление уравнений помогает переводить текстовые задачи в понятную математическую форму. Теперь ты умеешь выбирать переменную, выражать остальные величины через $x$ , находить равенство в условии и проверять, отвечает ли найденное значение на вопрос задачи. Особенно внимательно следи за словами «на» и «в», а также за единицами измерения. Эти навыки пригодятся в школьной алгебре и при подготовке к экзаменам по математике.

Составление уравнений по задаче: теория и разбор примеров для 7 класса

Как перевести текст в математическую модель

Универсальный алгоритм решения