Текстовые задачи на составление уравнений встречаются в курсе алгебры и помогают готовиться к экзаменам по математике. В таких задачах нужно перевести условие с русского языка на язык переменных, выражений и равенств. Разберём, как выбрать неизвестную, составить уравнение и проверить ответ. На примерах покажем задачи на количество, числа и движение.
Как перевести текст в математическую модель
Любая текстовая задача решается через построение математической модели. На практике это перевод жизненной ситуации в математическую формулу. При составлении уравнения нужно найти две величины, которые описывают одно и то же, и приравнять их друг к другу.
Словесные подсказки указывают на математическое действие. Фраза «на пять яблок больше» означает сложение: $x + 5$. Оборот «в три раза меньше» требует деления: $x : 3$. Нужно внимательно читать каждое слово, потому что из этих деталей складывается уравнение.
Универсальный алгоритм решения
Чтобы не теряться в условии, действуй по плану.
- Выбери переменную. Определи, какую величину удобнее обозначить за $x$. Чаще всего это то, что нужно найти, или наименьшая из неизвестных величин.
- Вырази остальные данные. Запиши все неизвестные величины через выбранную переменную $x$.
- Найди связь для уравнения. В условии может быть указано общее количество, одинаковый остаток, равенство величин или разница между ними.
- Реши уравнение. Раскрой скобки, перенеси слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую, затем найди $x$.
- Сформулируй ответ. Перечитай вопрос задачи. Проверь, является ли найденный $x$ окончательным ответом или нужно выполнить ещё одно действие.
Разбор задач
Ниже — три задачи, которые похожи на типичные задания школьного курса алгебры.
Задача про фрукты в корзинах
Условие
В первой корзине было в 3 раза больше яблок, чем во второй. Когда из первой корзины взяли 8 яблок, а во вторую добавили 14 яблок, то в обеих корзинах плодов стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
Шаг 1. Выбираем переменную
Во второй корзине яблок меньше. Пусть первоначальное количество яблок во второй корзине равно $x$.
Шаг 2. Выражаем остальные данные
В первой корзине было в 3 раза больше яблок, значит, там было $3x$ яблок.
После изменений:
- в первой корзине стало $3x-8$ яблок;
- во второй корзине стало $x + 14$ яблок.
Шаг 3. Составляем уравнение
По условию после изменений яблок стало поровну. Приравниваем выражения: $3x-8 = x + 14$.
Шаг 4. Решаем уравнение
Переносим слагаемые с переменной влево, а числа вправо. При переносе через знак равенства меняем знак на противоположный:
$3x-x = 14 + 8$,
$2x = 22$,
$x = 11$.
Шаг 5. Записываем ответ
Мы нашли $x$ — первоначальное количество яблок во второй корзине. Значит, во второй корзине было 11 яблок.
В первой корзине было: $3 \cdot 11 = 33$.
Шаг 6. Проверка. Подставим найденные числа в условие: $33-8 = 25$ и $11 + 14 = 25$. Количество совпало, значит, задача решена верно.
Ответ: 33 яблока в первой корзине и 11 яблок во второй.
Задача про последовательные нечётные числа
Условие
Сумма двух последовательных нечётных чисел равна 152. Найди эти числа.
Шаг 1. Выбираем переменную
Пусть $x$ — меньшее нечётное число.
Шаг 2. Выражаем остальные данные
Последовательные нечётные числа отличаются на 2. Например, после числа 5 идёт число 7. Значит, второе число можно записать как $x + 2$.
Шаг 3. Составляем уравнение
По условию сумма чисел равна 152: $x + (x + 2) = 152$.
Шаг 4. Решаем уравнение
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$2x + 2 = 152$,
$2x = 152-2$,
$2x = 150$,
$x = 75$.
Шаг 5. Записываем ответ
Меньшее нечётное число равно 75. Второе число: $75 + 2 = 77$.
Проверим, что числа нечётные и идут подряд: $75$ и $77$ — оба не делятся на 2, между ними нет других нечётных чисел.
Ответ: 75 и 77.
Задача про движение по аллее
Условие
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении по аллее парка. Скорость первого на 1,5 километра в час больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Шаг 1. Выбираем переменную
Здесь удобно обозначить за переменную время, потому что оба пешехода идут одно и то же время. Пусть $t$ — время движения в часах, переменную можно обозначить любой буквой; для времени привычнее $t$.
Шаг 2. Выражаем остальные данные
Первый пешеход идёт быстрее. За время $t$ он отдалится от второго на расстояние, которое даёт разница скоростей.
Разница скоростей равна 1,5 километра в час, поэтому расстояние между пешеходами через $t$ часов равно $1{,}5t$ километра.
Итоговое расстояние дано в метрах: 300 метров. Переведём его в километры: $300\ \text{м} = 0{,}3\ \text{км}$.
Шаг 3. Составляем уравнение
Разница пройденных путей должна быть равна 0,3 километра: $1{,}5t = 0{,}3$.
Шаг 4. Решаем уравнение
Делим обе части уравнения на 1,5:
$t = 0{,}3 : 1{,}5$,
$t = 0{,}2$.
Мы получили время в часах.
Шаг 5. Записываем ответ
Вопрос задачи требует указать время в минутах. Переведём часы в минуты: $0{,}2 \cdot 60 = 12$.
Ответ: через 12 минут.
Типичные ошибки
При решении текстовых задач чаще всего ошибаются не в вычислениях, а в переводе условия на язык математики.
Ответ не на тот вопрос
- Как нельзя: найти переменную $x$ и сразу записать её в ответ.
- Как нужно: перечитай вопрос. Часто за $x$ берут скорость одного объекта, а найти нужно скорость другого. Перед ответом может понадобиться дополнительное действие.
Разные единицы измерения
- Как нельзя: складывать километры с метрами или минуты с часами.
- Как нужно: приводи все данные к одной системе измерений до составления уравнения. Если скорость дана в километрах в час, расстояние лучше перевести в километры.
Путаница предлогов «на» и «в»
- Как нельзя: путать предлоги «на» и «в».
- Как нужно: фраза «на 3 больше» означает $x + 3$, а выражение «в 3 раза больше» — $3 \cdot x$. Ошибка в предлоге меняет смысл задачи.
Проверка знаний
Попробуй применить алгоритм самостоятельно.
Задание 1. В двух ящиках лежат 40 деталей. В первом ящике лежит на 6 деталей больше, чем во втором. Сколько деталей находится во втором ящике?
Шаг 1. Если деталей во втором ящике $x$, то в первом будет $x + 6$.
Составим уравнение: $x + (x + 6) = 40$.
Шаг 2. Решим его:
$2x + 6 = 40$,
$2x = 34$,
$x = 17$.
Ответ: 17 деталей.
Задание 2. Сумма трёх последовательных целых чисел равна 30. Найди наименьшее число.
Шаг 1. Числа можно обозначить как $x$, $x + 1$ и $x + 2$.
Составим уравнение: $x + x + 1 + x + 2 = 30$.
Шаг 2. Упростим:
$3x + 3 = 30$,
$3x = 27$,
$x = 9$.
Ответ: 9.
Задание для общей проверки. Мастер изготавливает за один час на 4 детали больше, чем ученик. Работая вместе, за 3 часа они изготовили 60 деталей. Сколько деталей в час делает ученик?
Шаг 1. Пусть производительность ученика равна $x$ деталей в час. Тогда производительность мастера равна $x + 4$ деталей в час.
Вместе за один час они делают: $x + (x + 4)$.
Шаг 2. За 3 часа их общая выработка равна 60 деталям: $3 \cdot (x + x + 4) = 60$.
Разделим обе части на 3: $2x + 4 = 20$.
Перенесём 4 вправо: $2x = 16$.
Найдём неизвестное: $x = 8$.
Ответ: ученик делает 8 деталей в час.
Заключение
Составление уравнений помогает переводить текстовые задачи в понятную математическую форму. Теперь ты умеешь выбирать переменную, выражать остальные величины через $x$, находить равенство в условии и проверять, отвечает ли найденное значение на вопрос задачи. Особенно внимательно следи за словами «на» и «в», а также за единицами измерения. Эти навыки пригодятся в школьной алгебре и при подготовке к экзаменам по математике.
