Степень — это короткая запись для длинного произведения одинаковых множителей. Без неё не обойтись при упрощении выражений, вычислениях по формулам и работе с большими числами. Главная сложность темы не в вычислениях, а в путанице: показатель принимают за множитель, теряют скобки у отрицательного основания, складывают основания вместо показателей. Разберём определение, четыре свойства степеней и порядок действий, который убережёт от этих ошибок.

Основные понятия

Что такое степень

Когда одно и то же число нужно умножить само на себя много раз, выписывать все множители неудобно. Для этого и придумали степень.

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ (при $n > 1$ ) — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ .

В записи $a^{n}$ :

$a$ — основание степени, то число, которое умножают само на себя;
$n$ — показатель степени, он говорит, сколько множителей взять.

Натуральные показатели — это числа, которыми считают предметы: $1$, $2$, $3$, $4$ и дальше.

Например, $5^{3}$ означает три пятёрки, перемноженные между собой: $5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .

Читают такую запись как «пять в третьей степени» или «пять в кубе». Вторую степень обычно называют квадратом: $5^{2}$ — это «пять в квадрате».

Как работают знаки

Если основание положительное, результат тоже будет положительным — тут вариантов нет. А вот с отрицательным основанием всё решает показатель.

Чётный показатель даёт положительный результат. Минусы перемножаются попарно, и каждая пара даёт плюс.

Нечётный показатель даёт отрицательный результат. Один минус остаётся без пары.

Проверим на числе $- 2$ :

$(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2) = 4$ — показатель чётный, результат положительный;

$(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ — показатель нечётный, результат отрицательный.

Особые случаи

Три коротких правила, которые стоит запомнить.

Нуль в любой натуральной степени остаётся нулём: $0^{n} = 0$ .
Единица в любой натуральной степени остаётся единицей: $1^{n} = 1$ .
Любое число в первой степени равно самому себе: $a^{1} = a$ .

Главные свойства степени

Эти четыре правила позволяют упрощать выражения, не расписывая произведения целиком.

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Основания перемножаемых степеней должны совпадать. Тогда основание остаётся прежним, а показатели складываются:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Например: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7}$ .

Легко проверить: слева три двойки умножаются на четыре двойки — всего получается семь двоек.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Основание сохраняется, а показатели вычитаются:

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

Например: $5^{6} : 5^{2} = 5^{6 - 2} = 5^{4}$ .

В заданиях со степенями с натуральным показателем это свойство применяют при $m > n$ и $a \neq 0$ — иначе показатель перестанет быть натуральным.

Возведение степени в степень

Показатели перемножаются:

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Например: $(3^{2})^{4} = 3^{2 \cdot 4} = 3^{8}$ .

Возведение произведения в степень

Каждый множитель получает свою степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Например: $(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3}$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Пошаговый алгоритм решения

Чтобы не сбиться в вычислениях, придерживайся порядка.

Осмотри выражение целиком: где скобки, есть ли отрицательные числа, встречаются ли одинаковые основания.
Примени свойства степеней там, где они упрощают запись.
Выполни возведение в степень. По порядку действий оно идёт раньше умножения, деления, сложения и вычитания, но позже скобок.
Проверь знак результата, если основание было отрицательным.
Доведи вычисления до конца: выполни оставшиеся умножение, деление, сложение и вычитание.

Примеры с решением

Базовые вычисления

Условие

Найди значение выражения $7 \cdot 2^{4}$ .

Шаг 1. В выражении два действия: умножение и возведение в степень. Степень выполняется первой.

Шаг 2. Возводим в степень: $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Шаг 3. Умножаем полученное число на $7$: $7 \cdot 16 = 112$ .

Ответ: $112$.

Работа со знаками

Условие

Вычисли значение выражения $10 - x^{3}$ при $x = - 2$ .

Шаг 1. Подставляем число вместо буквы. Отрицательное значение обязательно берём в скобки, иначе минус не попадёт под степень: $10 - (- 2)^{3}$ .

Шаг 2. Возводим в степень. Основание отрицательное, показатель $3$ нечётный, значит, результат будет со знаком минус: $(- 2)^{3} = - 8$ .

Шаг 3. Подставляем результат обратно. Перед скобкой стоит минус, а в скобке отрицательное число — два минуса дают плюс: $10 - (- 8) = 10 + 8 = 18$ .

Ответ: $18$.

Упрощение по свойствам степеней

Условие

Найди значение выражения $\frac{3^{5} \cdot 3^{2}}{3^{4}}$ .

Шаг 1. Считать каждую степень отдельно долго — сначала упростим запись. В числителе перемножаются степени с одинаковым основанием, поэтому складываем показатели: $3^{5} \cdot 3^{2} = 3^{5 + 2} = 3^{7}$ .

Шаг 2. Выражение приняло вид $\frac{3^{7}}{3^{4}}$ .

Шаг 3. Дробная черта означает деление, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{3^{7}}{3^{4}} = 3^{7 - 4} = 3^{3}$ .

Шаг 4. Осталось посчитать: $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ .

Ответ: $27$.

Типичные ошибки

Умножение основания на показатель

Показатель — не множитель. Запись $3^{2}$ не означает $3 \cdot 2$ , поэтому ответ $6$ неверный.

Правильно: $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$ .

Путаница со скобками и минусом

Записи $(- 4)^{2}$ и $- 4^{2}$ выглядят почти одинаково, но дают разные ответы.

В $(- 4)^{2}$ скобки показывают, что в квадрат возводится всё число целиком вместе с минусом: $(- 4)^{2} = (- 4) \cdot (- 4) = 16$ .

В $- 4^{2}$ скобок нет, поэтому в квадрат возводится только четвёрка, а минус остаётся перед результатом: $- 4^{2} = - (4 \cdot 4) = - 16$ .

Сложение оснований

При умножении степеней складывать основания нельзя — запись $2^{3} \cdot 2^{2} = 4^{5}$ ошибочна.

Основание остаётся прежним, складываются только показатели: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5}$ .

Проверим: $2^{5} = 32$ , а $2^{3} \cdot 2^{2} = 8 \cdot 4 = 32$ . Сходится. А вот $4^{5}$ равно $1024$ — совсем другое число.

Самопроверка

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Вычисли $5 \cdot (- 2)^{2}$ .

Задание 2. Вычисли $3^{7} : 3^{5}$ .

Задание 3. Сравни числа $(- 1)^{4}$ и $(- 1)^{5}$ . Какое больше?

Задание 4. Вычисли $\frac{2^{8} \cdot (2^{3})^{2}}{2^{12}}$ .

Решение к заданию 1. Основание отрицательное, показатель чётный, поэтому степень получится положительной: $(- 2)^{2} = 4$ . Умножаем: $5 \cdot 4 = 20$ .

Ответ: $20$.

Решение к заданию 2. Основания одинаковые, значит, вычитаем показатели: $3^{7} : 3^{5} = 3^{7 - 5} = 3^{2} = 9$ .

Ответ: $9$.

Решение к заданию 3. У обеих степеней основание $- 1$ , но показатели разной чётности. Чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус: $(- 1)^{4} = 1$ , а $(- 1)^{5} = - 1$ . Положительное число больше отрицательного.

Ответ: больше $(- 1)^{4}$ .

Решение к заданию 4. Сначала разбираемся со скобкой — возводим степень в степень, перемножая показатели: $(2^{3})^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6}$ .

Теперь в числителе перемножаются степени с одинаковым основанием, складываем показатели: $2^{8} \cdot 2^{6} = 2^{8 + 6} = 2^{14}$ .

Осталось разделить, вычтя показатели: $\frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14 - 12} = 2^{2} = 4$ .

Ответ: $4$.

Заключение

Теперь ты умеешь возводить в степень числа с любым знаком, применять четыре свойства степеней и упрощать выражения, не расписывая произведения целиком. Помни главное про запись: показатель говорит, сколько раз взять основание множителем, а не на сколько его умножить.

Со знаками работает простое правило: у отрицательного основания чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус. И следи за скобками: $(- 4)^{2}$ и $- 4^{2}$ — это $16$ и $- 16$ , два разных числа.

Свойства степеней работают только при одинаковых основаниях, и при этом основание никогда не меняется — складываются, вычитаются или перемножаются только показатели. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для многочленов и формул сокращённого умножения.