Степень — это короткая запись для длинного произведения одинаковых множителей. Без неё не обойтись при упрощении выражений, вычислениях по формулам и работе с большими числами. Главная сложность темы не в вычислениях, а в путанице: показатель принимают за множитель, теряют скобки у отрицательного основания, складывают основания вместо показателей. Разберём определение, четыре свойства степеней и порядок действий, который убережёт от этих ошибок.
Основные понятия
Что такое степень
Когда одно и то же число нужно умножить само на себя много раз, выписывать все множители неудобно. Для этого и придумали степень.
Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ (при $n > 1$) — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.
В записи $a^n$:
- $a$ — основание степени, то число, которое умножают само на себя;
- $n$ — показатель степени, он говорит, сколько множителей взять.
Натуральные показатели — это числа, которыми считают предметы: $1$, $2$, $3$, $4$ и дальше.
Например, $5^3$ означает три пятёрки, перемноженные между собой: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Читают такую запись как «пять в третьей степени» или «пять в кубе». Вторую степень обычно называют квадратом: $5^2$ — это «пять в квадрате».
Как работают знаки
Если основание положительное, результат тоже будет положительным — тут вариантов нет. А вот с отрицательным основанием всё решает показатель.
Чётный показатель даёт положительный результат. Минусы перемножаются попарно, и каждая пара даёт плюс.
Нечётный показатель даёт отрицательный результат. Один минус остаётся без пары.
Проверим на числе $-2$:
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$ — показатель чётный, результат положительный;
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ — показатель нечётный, результат отрицательный.
Особые случаи
Три коротких правила, которые стоит запомнить.
- Нуль в любой натуральной степени остаётся нулём: $0^n = 0$.
- Единица в любой натуральной степени остаётся единицей: $1^n = 1$.
- Любое число в первой степени равно самому себе: $a^1 = a$.
Главные свойства степени
Эти четыре правила позволяют упрощать выражения, не расписывая произведения целиком.
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Основания перемножаемых степеней должны совпадать. Тогда основание остаётся прежним, а показатели складываются:
Например: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
Легко проверить: слева три двойки умножаются на четыре двойки — всего получается семь двоек.
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Основание сохраняется, а показатели вычитаются:
Например: $5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$.
В заданиях со степенями с натуральным показателем это свойство применяют при $m > n$ и $a \ne 0$ — иначе показатель перестанет быть натуральным.
Возведение степени в степень
Показатели перемножаются:
Например: $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Возведение произведения в степень
Каждый множитель получает свою степень:
Например: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы не сбиться в вычислениях, придерживайся порядка.
- Осмотри выражение целиком: где скобки, есть ли отрицательные числа, встречаются ли одинаковые основания.
- Примени свойства степеней там, где они упрощают запись.
- Выполни возведение в степень. По порядку действий оно идёт раньше умножения, деления, сложения и вычитания, но позже скобок.
- Проверь знак результата, если основание было отрицательным.
- Доведи вычисления до конца: выполни оставшиеся умножение, деление, сложение и вычитание.
Примеры с решением
Базовые вычисления
Условие
Найди значение выражения $7 \cdot 2^4$.
Шаг 1. В выражении два действия: умножение и возведение в степень. Степень выполняется первой.
Шаг 2. Возводим в степень: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Шаг 3. Умножаем полученное число на $7$: $7 \cdot 16 = 112$.
Ответ: $112$.
Работа со знаками
Условие
Вычисли значение выражения $10-x^3$ при $x=-2$.
Шаг 1. Подставляем число вместо буквы. Отрицательное значение обязательно берём в скобки, иначе минус не попадёт под степень: $10-(-2)^3$.
Шаг 2. Возводим в степень. Основание отрицательное, показатель $3$ нечётный, значит, результат будет со знаком минус: $(-2)^3=-8$.
Шаг 3. Подставляем результат обратно. Перед скобкой стоит минус, а в скобке отрицательное число — два минуса дают плюс: $10-(-8) = 10 + 8 = 18$.
Ответ: $18$.
Упрощение по свойствам степеней
Условие
Найди значение выражения $\frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}$.
Шаг 1. Считать каждую степень отдельно долго — сначала упростим запись. В числителе перемножаются степени с одинаковым основанием, поэтому складываем показатели: $3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$.
Шаг 2. Выражение приняло вид $\frac{3^7}{3^4}$.
Шаг 3. Дробная черта означает деление, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\dfrac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3$.
Шаг 4. Осталось посчитать: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Ответ: $27$.
Типичные ошибки
Умножение основания на показатель
Показатель — не множитель. Запись $3^2$ не означает $3 \cdot 2$, поэтому ответ $6$ неверный.
Правильно: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Путаница со скобками и минусом
Записи $(-4)^2$ и $-4^2$ выглядят почти одинаково, но дают разные ответы.
В $(-4)^2$ скобки показывают, что в квадрат возводится всё число целиком вместе с минусом: $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$.
В $-4^2$ скобок нет, поэтому в квадрат возводится только четвёрка, а минус остаётся перед результатом: $-4^2=-(4 \cdot 4)=-16$.
Сложение оснований
При умножении степеней складывать основания нельзя — запись $2^3 \cdot 2^2 = 4^5$ ошибочна.
Основание остаётся прежним, складываются только показатели: $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$.
Проверим: $2^5 = 32$, а $2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32$. Сходится. А вот $4^5$ равно $1024$ — совсем другое число.
Самопроверка
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Вычисли $5 \cdot (-2)^2$.
Задание 2. Вычисли $3^7 : 3^5$.
Задание 3. Сравни числа $(-1)^4$ и $(-1)^5$. Какое больше?
Задание 4. Вычисли $\dfrac{2^8 \cdot (2^3)^2}{2^{12}}$.
Решение к заданию 1. Основание отрицательное, показатель чётный, поэтому степень получится положительной: $(-2)^2 = 4$. Умножаем: $5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: $20$.
Решение к заданию 2. Основания одинаковые, значит, вычитаем показатели: $3^7 : 3^5 = 3^{7-5} = 3^2 = 9$.
Ответ: $9$.
Решение к заданию 3. У обеих степеней основание $-1$, но показатели разной чётности. Чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус: $(-1)^4 = 1$, а $(-1)^5=-1$. Положительное число больше отрицательного.
Ответ: больше $(-1)^4$.
Решение к заданию 4. Сначала разбираемся со скобкой — возводим степень в степень, перемножая показатели: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.
Теперь в числителе перемножаются степени с одинаковым основанием, складываем показатели: $2^8 \cdot 2^6 = 2^{8+6} = 2^{14}$.
Осталось разделить, вычтя показатели: $\frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$.
Заключение
Теперь ты умеешь возводить в степень числа с любым знаком, применять четыре свойства степеней и упрощать выражения, не расписывая произведения целиком. Помни главное про запись: показатель говорит, сколько раз взять основание множителем, а не на сколько его умножить.
Со знаками работает простое правило: у отрицательного основания чётный показатель даёт плюс, нечётный — минус. И следи за скобками: $(-4)^2$ и $-4^2$ — это $16$ и $-16$, два разных числа.
Свойства степеней работают только при одинаковых основаниях, и при этом основание никогда не меняется — складываются, вычитаются или перемножаются только показатели. Эти навыки пригодятся на контрольных работах по алгебре и станут основой для многочленов и формул сокращённого умножения.
