Сложение и вычитание обыкновенных дробей: теория и примеры для 5–6 класса

У любой обыкновенной дроби есть две части, и каждая отвечает за своё.

Числитель — число над дробной чертой. Он показывает, сколько равных частей взяли.
Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое.

Возьмём дробь $\frac{3}{8}$. Тройка сверху — числитель, восьмёрка снизу — знаменатель. Читается это так: целое разбили на $8$ одинаковых долей и взяли из них $3$.

Дальше нам понадобится ещё одно понятие. Смешанное число — запись, в которой рядом стоят целая часть и дробная. Например, $2\frac{3}{5}$ означает две полные единицы и ещё три пятых доли сверх них.

Когда знаменатели одинаковые, складывать нужно только числители. Знаменатель переписывают без изменений.

Формула: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$.

Например, сложим $\frac{2}{7}$ и $\frac{3}{7}$: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}$.

Почему знаменатель не трогают? Он говорит о размере доли, а доли у обеих дробей одинаковые — седьмые. Складывая, мы просто считаем, сколько таких долей набралось: было две, добавили три, стало пять. Размер каждой доли при этом не поменялся.

Здесь всё устроено так же, только числители не складывают, а вычитают: из числителя первой дроби отнимают числитель второй. Знаменатель снова остаётся на месте.

Формула: $\frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.

Например: $\frac{7}{9}-\frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9}$.

Результат стоит сократить — числитель и знаменатель делятся на $3$: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Выходит, сложение и вычитание различаются одним действием в числителе. Всё остальное — одинаково.

А если знаменатели не совпадают? Тогда правило из предыдущих разделов не работает: складывать числители нельзя.

Причина в том, что доли получаются разного размера. Половина и треть — это куски разной величины, их не сложить простым пересчётом. Сравни: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ никак не может равняться $\frac{2}{5}$, ведь $\frac{2}{5}$ меньше даже одной половины, хотя мы прибавляли.

Выход один: сделать доли одинаковыми. Для этого дроби приводят к общему знаменателю.

Общий знаменатель — число, которое делится на знаменатель каждой дроби. Обычно берут наименьшее общее кратное знаменателей: тогда числа в записи получаются самыми маленькими.

Разберём на дробях $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Наименьшее число, которое делится и на $2$, и на $3$, — это $6$. Значит, обе дроби нужно записать шестыми долями. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на подходящее число:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$,

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.

Теперь доли одинаковые — шестые, и можно складывать числители: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

У каждой дроби свой множитель, и называется он дополнительным. Чтобы его найти, раздели общий знаменатель на знаменатель дроби. Для $\frac{1}{2}$ получится $6 : 2 = 3$, а для $\frac{1}{3}$ — $6 : 3 = 2$.

Значение дробей от такого умножения не меняется — работает основное свойство дроби. Меняется только запись: доли стали мельче, зато одинаковыми.

Как найти общий знаменатель

Проще всего действовать так.

Если больший знаменатель делится на меньший, он и будет общим. Например, для $3$ и $9$ общий знаменатель — $9$: приводить придётся только первую дробь.

Если не делится, ищи наименьшее общее кратное. Перебирай числа, кратные большему знаменателю, пока не найдёшь такое, которое делится и на меньший. Для $8$ и $6$: $8$ на $6$ не делится, $16$ тоже, а вот $24$ делится — это и есть общий знаменатель.

В крайнем случае можно просто перемножить знаменатели: их произведение всегда делится на каждый из них. Ошибки не будет, но числа выйдут крупнее, и в конце придётся сокращать.

Бывает, что от целого числа нужно отнять дробь. Напрямую это сделать не получится: у целого числа нет дробной части, из которой можно вычитать. Поэтому единицу «занимают» — превращают в дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемого.

Единицу можно записать дробью сколькими угодно способами: $1 = \frac{7}{7}$, $1 = \frac{12}{12}$, $1 = \frac{100}{100}$. Числитель и знаменатель равны — значит, взяли ровно столько долей, сколько их всего, то есть целое.

Знаменатель выбирают такой же, как у вычитаемой дроби. Дальше работает обычное правило вычитания.

Со смешанными числами удобно работать по частям: целые с целыми, дробные с дробными.

При сложении целые части складывают с целыми, дробные — с дробными. Может выйти так, что дробная часть окажется больше единицы, то есть станет неправильной дробью. Тогда из неё выделяют целое и передают его к целой части. Например: $1\frac{3}{5} + 2\frac{4}{5} = 3\frac{7}{5} = 4\frac{2}{5}$ — здесь из $\frac{7}{5}$ выделилась ещё одна единица, и троек стало четыре.

При вычитании порядок тот же, но появляется сложность: дробная часть уменьшаемого может оказаться меньше дробной части вычитаемого. Тогда занимают единицу у целой части и переводят её в доли. Целая часть при этом обязательно уменьшается на единицу.

Чтобы не запутаться, держись такого порядка.

1. Сравни знаменатели. Одинаковые — сразу переходи к пункту 3. Разные — начинай с приведения к общему знаменателю.
2. Подбери общий знаменатель, найди для каждой дроби свой дополнительный множитель и умножь на него числитель и знаменатель.
3. Работаешь со смешанными числами и вычитаешь? Проверь дробную часть уменьшаемого: если её не хватает, займи единицу у целой части.
4. Сложи или вычти целые части.
5. Сложи или вычти числители. Знаменатель просто перепиши.
6. Доведи ответ до аккуратного вида: сократи дробь и выдели целую часть, если получилась неправильная.

Разберём четыре задания, которые чаще всего встречаются в проверочных работах.

Сложение с одинаковыми знаменателями

Условие

Вычисли сумму $\frac{5}{11}$ и $\frac{6}{11}$.

Сложение с разными знаменателями: простой случай

Условие

Найди сумму $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{9}$.

Сложение с разными знаменателями через наименьшее общее кратное

Условие

Вычисли $\frac{3}{8} + \frac{5}{6}$.

Вычитание смешанных чисел с одалживанием

Условие

Реши пример $5\frac{1}{4}-2\frac{3}{4}$.

Складывать знаменатели

Нельзя: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{10}$.

Верно: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Знаменатель отвечает за размер доли, а не за их количество. Доли остались пятыми — значит, и в ответе знаменатель пятый. Заметь заодно, что неверный ответ $\frac{3}{10}$ меньше исходной дроби $\frac{2}{5}$, хотя мы прибавляли. Уже по этому видно, что где-то ошибка.

Складывать дроби с разными знаменателями напрямую

Нельзя: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$.

Верно: сначала привести к общему знаменателю $6$, а потом складывать: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Половина и треть — доли разного размера, складывать их как одинаковые нельзя. Проверить себя просто: сумма двух дробей всегда больше каждой из них, а $\frac{2}{5}$ меньше половины.

Забывать сокращать дробь

Ответ $\frac{4}{8}$ формально верен, но записан неаккуратно: числитель и знаменатель делятся на $4$.

Сокращаем и получаем окончательный вид: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Терять целую часть при одалживании

Когда занимаешь единицу у целой части, она уменьшается на $1$ — про это часто забывают.

Верно: $5\frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.

Неверно: $5\frac{1}{4} = 5\frac{5}{4}$.

Во втором случае дробная часть подросла, а целая осталась прежней — значит, число выросло на целую единицу и перестало быть равным исходному. Записывай этот шаг отдельной строкой, тогда не потеряешь.

Реши примеры самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. $\frac{5}{12} + \frac{4}{12}$

Задание 2. $\frac{1}{4} + \frac{5}{12}$

Задание 3. $\frac{7}{10}-\frac{2}{15}$

Задание 4. $4\frac{1}{7}-1\frac{3}{7}$

Теперь ты умеешь складывать и вычитать дроби и с одинаковыми знаменателями, и с разными, отнимать дробь от целого числа и работать со смешанными числами. Главное правило короткое: когда доли одинаковые, меняется только числитель, а знаменатель переписывается без изменений — ведь размер долей при сложении и вычитании не меняется.

Если знаменатели разные, сначала приведи дроби к общему знаменателю: найди число, которое делится на оба знаменателя, вычисли дополнительные множители и умножь на них обе части каждой дроби. Удобнее всего брать наименьшее общее кратное — тогда числа получатся мелкими и сокращать в конце почти не придётся.

Если дробной части не хватает для вычитания, займи единицу у целой части и переведи её в доли, не забыв уменьшить целую часть. А если после сложения дробная часть оказалась неправильной дробью, наоборот, выдели из неё целое. И последний шаг, который пропускают чаще всего: перед тем как записать ответ, посмотри, нельзя ли сократить дробь.

Эти навыки пригодятся на контрольных работах и станут основой для умножения и деления дробей — темы, которая идёт следом.