Модуль появляется в шестом классе сразу после отрицательных чисел, и поначалу кажется странным: почему $| - 12 |$ вдруг равно $12$, куда девается минус? Всё становится понятно, если помнить, что модуль — это не действие с числом, а расстояние на числовой прямой. А расстояние минусом быть не может. Разберём определение, правила раскрытия и простые примеры.

Что такое модуль числа

Записывают модуль двумя вертикальными чертами по бокам числа: $| a |$ . Читается это как «модуль $a$ ».

Из определения сразу следует главное свойство. Расстояние показывает, насколько далеко точка от нуля, а «далеко на минус три отрезка» не бывает. Поэтому модуль никогда не бывает отрицательным: он либо положителен, либо равен нулю.

Модуль на числовой прямой

Посмотрим, как это работает. Возьмём число $5$. Точка с такой координатой стоит на пять единичных отрезков правее нуля, поэтому расстояние равно пяти: $| 5 | = 5$ .

Теперь возьмём $- 5$ . Точка стоит на те же пять отрезков от нуля, только влево. Расстояние от этого не меняется, оно по-прежнему равно пяти: $| - 5 | = 5$ .

Модуль числа 5 и -5 на числовой прямой показывает одинаковое расстояние до нуля.

Направление роли не играет — важно только, сколько шагов до нуля. Именно поэтому минус под знаком модуля исчезает.

Противоположные числа на числовой прямой равноудалены от нуля, их модули равны.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Правила раскрытия модуля

Всего три случая, и они охватывают любое число.

Число положительное — модуль равен самому числу: $| 8 | = 8$ .
Число равно нулю — модуль равен нулю: $| 0 | = 0$ . Расстояние от нуля до нуля отсутствует.
Число отрицательное — модуль равен противоположному числу, то есть тому же числу без минуса: $| - 12 | = 12$ .

Проще всего запомнить так: модуль убирает знак минус, а больше ничего с числом не делает.

Алгоритм решения выражений с модулем

Если в примере несколько модулей и других действий, действуй по шагам.

Найди все выражения, стоящие между вертикальными чертами.
Выполни действия внутри каждого модуля — так же, как внутри скобок.
Раскрой модуль: отрицательное число замени противоположным, положительное и нуль оставь как есть.
Убери вертикальные черты.
Доведи вычисления до конца по обычным правилам порядка действий.

Второй шаг пропускать нельзя. Модуль — это не круглые скобки, его нельзя «раскрыть по частям»: сначала внутри должно получиться одно число.

Разбор примеров

Вычисление составного выражения

Условие

Найди значение выражения $| - 25 | + | - 15 | - | 10 |$ .

Шаг 1. Внутри модулей стоят готовые числа, считать там нечего. Сразу раскрываем каждый модуль по очереди.

Шаг 2. Число $- 25$ отрицательное, поэтому берём противоположное: $| - 25 | = 25$ .

Шаг 3. Число $- 15$ тоже отрицательное: $| - 15 | = 15$ .

Шаг 4. Число $10$ положительное, оно не меняется: $| 10 | = 10$ .

Шаг 5. Подставляем найденные значения и считаем слева направо: $25 + 15 - 10$ , то есть $40 - 10 = 30$ .

Ответ: $30$.

Действия внутри модуля

Условие

Вычисли значение выражения $| 7 - 12 | - | - 3 |$ .

Шаг 1. В первом модуле стоит не число, а выражение. Сначала выполняем действие внутри черт: $7 - 12 = - 5$ .

Шаг 2. Теперь первый модуль можно раскрыть. Внутри получилось отрицательное число: $| - 5 | = 5$ .

Шаг 3. Раскрываем второй модуль: $| - 3 | = 3$ .

Шаг 4. Выполняем оставшееся вычитание: $5 - 3 = 2$ .

Проверка. Частая ошибка здесь — раскрыть первый модуль сразу, получив $7 + 12 = 19$ . Так делать нельзя: модуль накрывает всё выражение целиком, а не каждое число по отдельности.

Ответ: $2$.

Простое уравнение с модулем

Условие

Реши уравнение $| x | = 14$ .

Шаг 1. Переведём условие на язык расстояний. Нужно найти все точки прямой, которые отстоят от нуля ровно на $14$ единичных отрезков.

Шаг 2. Одна такая точка лежит справа от нуля — это число $14$. Значит, первый корень: $x = 14$ .

Шаг 3. Вторая точка лежит слева от нуля на том же расстоянии — это число $- 14$ . Значит, второй корень: $x = - 14$ .

Уравнение с модулем x = 14 показывает две точки на числовой прямой: 14 и -14. — Рисунок к заданию

Шаг 4. Больше подходящих точек нет: в каждую сторону от нуля можно отойти на $14$ отрезков только одним способом.

Проверка. Подставим оба корня: $| 14 | = 14$ и $| - 14 | = 14$ . Оба равенства верные.

Ответ: $x = 14$ и $x = - 14$ .

Типичные ошибки и ловушки

Ищут решение там, где его нет

Как ошибаются: пытаются решить уравнение $| x | = - 7$ и подбирают числа.

Как правильно: такое уравнение решений не имеет. Модуль — это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным, поэтому равняться $- 7$ он не может ни при каком $x$ .

Теряют минус перед модулем

Как ошибаются: записывают $- | - 9 | = 9$ , считая, что два минуса дают плюс.

Как правильно: внешний минус к числу внутри черт не относится. Сначала раскрываем модуль, потом применяем внешний знак: $- | - 9 | = - 9$ .

Путают модуль с круглыми скобками

Как ошибаются: в выражении $| 3 - 8 |$ убирают черты и меняют знаки у каждого числа, получая $3 + 8 = 11$ .

Как правильно: модуль относится ко всему выражению сразу. Сначала считаем внутри: $3 - 8 = - 5$ . Потом раскрываем модуль: $| - 5 | = 5$ .

Забывают про второй корень

Как ошибаются: в уравнении $| x | = 6$ находят только $x = 6$ .

Как правильно: на нужном расстоянии от нуля лежат две точки — справа и слева. Корней два: $6$ и $- 6$ . Единственный корень бывает только у уравнения $| x | = 0$ , потому что нуль отстоит от нуля лишь сам от себя.

Проверка знаний

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

Задание 1. Найди значение выражения $| - 42 | : | - 7 |$ .

Задание 2. Вычисли $| 4 - 11 | + | - 3 |$ .

Задание 3. Реши уравнение $| x | = 5$ .

Задание 4. Реши уравнение $| x | = 0$ .

Решение к заданию 1. Раскрываем оба модуля: $| - 42 | = 42$ и $| - 7 | = 7$ . Делим: $42 : 7 = 6$ . Заметь, что после раскрытия модулей оба числа стали положительными, поэтому и частное положительное.

Ответ: $6$.

Решение к заданию 2. Сначала выполняем действие внутри первого модуля: $4 - 11 = - 7$ . Раскрываем модули: $| - 7 | = 7$ и $| - 3 | = 3$ . Складываем: $7 + 3 = 10$ .

Ответ: $10$.

Решение к заданию 3. Ищем точки, отстоящие от нуля на пять отрезков. Их две: одна справа, другая слева.

Ответ: $x = 5$ и $x = - 5$ .

Решение к заданию 4. Расстояние равно нулю только у самой точки отсчёта — отходить от нуля не нужно вообще. Поэтому корень здесь единственный.

Ответ: $x = 0$ .

Заключение

Теперь ты умеешь находить модуль любого числа, вычислять выражения с модулями и решать простые уравнения вида $| x | = a$ . Главное — помнить, откуда всё берётся: модуль показывает расстояние от числа до нуля на координатной прямой, поэтому отрицательным он не бывает никогда.

Три правила раскрытия сводятся к одному: модуль убирает минус и больше ничего не меняет. Но действует он на всё выражение внутри черт целиком, а не на каждое число по отдельности — сначала посчитай внутри, потом раскрывай.

И про уравнения: $| x | = a$ при положительном $a$ даёт два корня, $a$ и $- a$ , потому что на нужном расстоянии от нуля есть две точки. При $a = 0$ корень один, а при отрицательном $a$ корней нет вовсе. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для действий с рациональными числами.