Модуль появляется в шестом классе сразу после отрицательных чисел, и поначалу кажется странным: почему $|-12|$ вдруг равно $12$, куда девается минус? Всё становится понятно, если помнить, что модуль — это не действие с числом, а расстояние на числовой прямой. А расстояние минусом быть не может. Разберём определение, правила раскрытия и простые примеры.
Что такое модуль числа
Записывают модуль двумя вертикальными чертами по бокам числа: $|a|$. Читается это как «модуль $a$».
Из определения сразу следует главное свойство. Расстояние показывает, насколько далеко точка от нуля, а «далеко на минус три отрезка» не бывает. Поэтому модуль никогда не бывает отрицательным: он либо положителен, либо равен нулю.
Модуль на числовой прямой
Посмотрим, как это работает. Возьмём число $5$. Точка с такой координатой стоит на пять единичных отрезков правее нуля, поэтому расстояние равно пяти: $|5| = 5$.
Теперь возьмём $-5$. Точка стоит на те же пять отрезков от нуля, только влево. Расстояние от этого не меняется, оно по-прежнему равно пяти: $|-5| = 5$.
Направление роли не играет — важно только, сколько шагов до нуля. Именно поэтому минус под знаком модуля исчезает.
Правила раскрытия модуля
Всего три случая, и они охватывают любое число.
- Число положительное — модуль равен самому числу: $|8| = 8$.
- Число равно нулю — модуль равен нулю: $|0| = 0$. Расстояние от нуля до нуля отсутствует.
- Число отрицательное — модуль равен противоположному числу, то есть тому же числу без минуса: $|-12| = 12$.
Проще всего запомнить так: модуль убирает знак минус, а больше ничего с числом не делает.
Алгоритм решения выражений с модулем
Если в примере несколько модулей и других действий, действуй по шагам.
- Найди все выражения, стоящие между вертикальными чертами.
- Выполни действия внутри каждого модуля — так же, как внутри скобок.
- Раскрой модуль: отрицательное число замени противоположным, положительное и нуль оставь как есть.
- Убери вертикальные черты.
- Доведи вычисления до конца по обычным правилам порядка действий.
Второй шаг пропускать нельзя. Модуль — это не круглые скобки, его нельзя «раскрыть по частям»: сначала внутри должно получиться одно число.
Разбор примеров
Вычисление составного выражения
Условие
Найди значение выражения $|-25| + |-15|-|10|$.
Шаг 1. Внутри модулей стоят готовые числа, считать там нечего. Сразу раскрываем каждый модуль по очереди.
Шаг 2. Число $-25$ отрицательное, поэтому берём противоположное: $|-25| = 25$.
Шаг 3. Число $-15$ тоже отрицательное: $|-15| = 15$.
Шаг 4. Число $10$ положительное, оно не меняется: $|10| = 10$.
Шаг 5. Подставляем найденные значения и считаем слева направо: $25 + 15-10$, то есть $40-10 = 30$.
Ответ: $30$.
Действия внутри модуля
Условие
Вычисли значение выражения $|7-12|-|-3|$.
Шаг 1. В первом модуле стоит не число, а выражение. Сначала выполняем действие внутри черт: $7-12 =-5$.
Шаг 2. Теперь первый модуль можно раскрыть. Внутри получилось отрицательное число: $|-5| = 5$.
Шаг 3. Раскрываем второй модуль: $|-3| = 3$.
Шаг 4. Выполняем оставшееся вычитание: $5-3 = 2$.
Проверка. Частая ошибка здесь — раскрыть первый модуль сразу, получив $7 + 12 = 19$. Так делать нельзя: модуль накрывает всё выражение целиком, а не каждое число по отдельности.
Ответ: $2$.
Простое уравнение с модулем
Условие
Реши уравнение $|x| = 14$.
Шаг 1. Переведём условие на язык расстояний. Нужно найти все точки прямой, которые отстоят от нуля ровно на $14$ единичных отрезков.
Шаг 2. Одна такая точка лежит справа от нуля — это число $14$. Значит, первый корень: $x = 14$.
Шаг 3. Вторая точка лежит слева от нуля на том же расстоянии — это число $-14$. Значит, второй корень: $x =-14$.
Рисунок к заданию
Шаг 4. Больше подходящих точек нет: в каждую сторону от нуля можно отойти на $14$ отрезков только одним способом.
Проверка. Подставим оба корня: $|14| = 14$ и $|-14| = 14$. Оба равенства верные.
Ответ: $x = 14$ и $x = -14$.
Типичные ошибки и ловушки
Ищут решение там, где его нет
Как ошибаются: пытаются решить уравнение $|x| =-7$ и подбирают числа.
Как правильно: такое уравнение решений не имеет. Модуль — это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным, поэтому равняться $-7$ он не может ни при каком $x$.
Теряют минус перед модулем
Как ошибаются: записывают $-|-9| = 9$, считая, что два минуса дают плюс.
Как правильно: внешний минус к числу внутри черт не относится. Сначала раскрываем модуль, потом применяем внешний знак: $-|-9| =-9$.
Путают модуль с круглыми скобками
Как ошибаются: в выражении $|3-8|$ убирают черты и меняют знаки у каждого числа, получая $3 + 8 = 11$.
Как правильно: модуль относится ко всему выражению сразу. Сначала считаем внутри: $3-8 =-5$. Потом раскрываем модуль: $|-5| = 5$.
Забывают про второй корень
Как ошибаются: в уравнении $|x| = 6$ находят только $x = 6$.
Как правильно: на нужном расстоянии от нуля лежат две точки — справа и слева. Корней два: $6$ и $-6$. Единственный корень бывает только у уравнения $|x| = 0$, потому что нуль отстоит от нуля лишь сам от себя.
Проверка знаний
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Найди значение выражения $|-42| : |-7|$.
Задание 2. Вычисли $|4-11| + |-3|$.
Задание 3. Реши уравнение $|x| = 5$.
Задание 4. Реши уравнение $|x| = 0$.
Решение к заданию 1. Раскрываем оба модуля: $|-42| = 42$ и $|-7| = 7$. Делим: $42 : 7 = 6$. Заметь, что после раскрытия модулей оба числа стали положительными, поэтому и частное положительное.
Ответ: $6$.
Решение к заданию 2. Сначала выполняем действие внутри первого модуля: $4-11 =-7$. Раскрываем модули: $|-7| = 7$ и $|-3| = 3$. Складываем: $7 + 3 = 10$.
Ответ: $10$.
Решение к заданию 3. Ищем точки, отстоящие от нуля на пять отрезков. Их две: одна справа, другая слева.
Ответ: $x = 5$ и $x = -5$.
Решение к заданию 4. Расстояние равно нулю только у самой точки отсчёта — отходить от нуля не нужно вообще. Поэтому корень здесь единственный.
Ответ: $x = 0$.
Заключение
Теперь ты умеешь находить модуль любого числа, вычислять выражения с модулями и решать простые уравнения вида $|x| = a$. Главное — помнить, откуда всё берётся: модуль показывает расстояние от числа до нуля на координатной прямой, поэтому отрицательным он не бывает никогда.
Три правила раскрытия сводятся к одному: модуль убирает минус и больше ничего не меняет. Но действует он на всё выражение внутри черт целиком, а не на каждое число по отдельности — сначала посчитай внутри, потом раскрывай.
И про уравнения: $|x| = a$ при положительном $a$ даёт два корня, $a$ и $-a$, потому что на нужном расстоянии от нуля есть две точки. При $a = 0$ корень один, а при отрицательном $a$ корней нет вовсе. Эти навыки пригодятся на контрольных работах в шестом классе и станут основой для действий с рациональными числами.
